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Potenzreihe kompl. Koeff.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:50 Mo 14.08.2017
Autor: X3nion

Guten Abend zusammen!

Im Forster steht ein Satz über Reziprokes einer Potenzreihe, zu dessen Beweis ich eine Mini-Frage habe:

Satz Sei f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n} [/mm] eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten und Konvergenzradius 0 < r [mm] \le \infty. [/mm] Es gelte f(0) = [mm] a_{0} \not= [/mm] 0. Dann gibt es ein [mm] \rho [/mm] mit 0 < [mm] \rho \le [/mm] r, sodass f(z) [mm] \not= [/mm] 0 für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit |z| < [mm] \rho [/mm] und sich 1/f im Kreis

[mm] \{z \in \IC: |z| < \rho \} [/mm] in eine Potenzreihe

[mm] \frac{1}{f(z)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n} [/mm]

entwickeln lässt.


Beweis

Es genügt zu zeigen: Es gibt eine Potenzreihe g(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n} [/mm] mit einem positiven Konvergenzradius [mm] \rho \le [/mm] r, sodass

f(z) g(z) = 1 für alle |z| < [mm] \rho. [/mm]

Das Cauchy-Produkt der Potenzreihen f und g muss gleich der trivialen Potenzreihe 1 sein.

[mm] f(n)=\begin{cases} a_{0}b_{0} = 1 \\ a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0} = 0 \\ a_{0}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0} = 0 a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n-1} + ... + a_{n}b_{0} = 0\\ \end{cases} [/mm]

Daraus kann man, ausgehend von [mm] b_{0} [/mm] := [mm] \frac{1}{a_{0}} [/mm] rekursiv alle [mm] b_n [/mm] berechnen gemäß

[mm] b_{n} [/mm] := - [mm] \frac{1}{a_{0}} \summe_{k=0}^{n-1} a_{n-k}b_{k} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1.

Es bleibt nur noch zu zeigen, dass die damit eindeutig bestimmte Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius hat. Dies beweisen wir jetzt:

O.B.d.A sei [mm] a_{0} [/mm] = 1 (andernfalls multipliziere man f mit der Konstanten 1 / [mm] a_{0} [/mm] und g mit [mm] a_{0}). [/mm]

Da die Reihe

[mm] f_{1}(z) [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n} [/mm]

für |z| < r absolut konvergiert und [mm] f_{1}(0) [/mm] = 0, gibt es ein 0 < [mm] \rho [/mm] < r mit

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}|\rho^{n} \le [/mm] 1.

Behauptung : es gilt [mm] |b_{n}|\rho^{n} \le [/mm] 1 für alle n [mm] \ge [/mm] 0.

Beweis durch vollständige Induktion.

Induktionsanfang klar, da [mm] b_{0} [/mm] = 1.

Induktionsschritt. Sei schon bekannt, dass [mm] |b_{k}|\rho^{k} \le [/mm] 1 für alle k < n. Aus der Definition von [mm] b_{n} [/mm] folgt

[mm] |b_{n}|\rho^{n} \le \summe_{k=0}^{n-1} |a_{n-k}|\rho^{n-k}|b_{k}|\rho^{k} \le \summe_{k=0}^{n-1} |a_{n-k}|\rho^{n-k} \le \summe_{m=1}^{\infty}|a_{m}|\rho^{m} \le [/mm] 1.

Damit ist die Behauptung bewiesen. Es folgt, dass die Potenzreihe

g(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n} [/mm] einen Konvergenzradius [mm] \ge \rho [/mm] hat, q.e.d.


--------------------------


Meine Mini-Frage dazu: Wieso folgt aus alldem, dass die Potenzreihe g(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n} [/mm] einen Konvergenzradius [mm] \ge \rho [/mm] hat?



Wäre euch wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Potenzreihe kompl. Koeff.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:19 Mo 14.08.2017
Autor: fred97


> Guten Abend zusammen!
>  
> Im Forster steht ein Satz über Reziprokes einer
> Potenzreihe, zu dessen Beweis ich eine Mini-Frage habe:
>  
> Satz Sei f(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n}[/mm] eine
> Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten und
> Konvergenzradius 0 < r [mm]\le \infty.[/mm] Es gelte f(0) = [mm]a_{0} \not=[/mm]
> 0. Dann gibt es ein [mm]\rho[/mm] mit 0 < [mm]\rho \le[/mm] r, sodass f(z)
> [mm]\not=[/mm] 0 für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit |z| < [mm]\rho[/mm] und sich 1/f im
> Kreis
>  
> [mm]\{z \in \IC: |z| < \rho \}[/mm] in eine Potenzreihe
>  
> [mm]\frac{1}{f(z)}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n}[/mm]
>  
> entwickeln lässt.
>  
>
> Beweis
>  
> Es genügt zu zeigen: Es gibt eine Potenzreihe g(z) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n}[/mm] mit einem positiven
> Konvergenzradius [mm]\rho \le[/mm] r, sodass
>  
> f(z) g(z) = 1 für alle |z| < [mm]\rho.[/mm]
>  
> Das Cauchy-Produkt der Potenzreihen f und g muss gleich der
> trivialen Potenzreihe 1 sein.
>  
> [mm]f(n)=\begin{cases} a_{0}b_{0} = 1 \\ a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0} = 0 \\ a_{0}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0} = 0 a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n-1} + ... + a_{n}b_{0} = 0\\ \end{cases}[/mm]
>  
> Daraus kann man, ausgehend von [mm]b_{0}[/mm] := [mm]\frac{1}{a_{0}}[/mm]
> rekursiv alle [mm]b_n[/mm] berechnen gemäß
>  
> [mm]b_{n}[/mm] := - [mm]\frac{1}{a_{0}} \summe_{k=0}^{n-1} a_{n-k}b_{k}[/mm]
> für k [mm]\ge[/mm] 1.
>  
> Es bleibt nur noch zu zeigen, dass die damit eindeutig
> bestimmte Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius hat.
> Dies beweisen wir jetzt:
>  
> O.B.d.A sei [mm]a_{0}[/mm] = 1 (andernfalls multipliziere man f mit
> der Konstanten 1 / [mm]a_{0}[/mm] und g mit [mm]a_{0}).[/mm]
>  
> Da die Reihe
>  
> [mm]f_{1}(z)[/mm] := [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}[/mm]
>  
> für |z| < r absolut konvergiert und [mm]f_{1}(0)[/mm] = 0, gibt es
> ein 0 < [mm]\rho[/mm] < r mit
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}|\rho^{n} \le[/mm] 1.
>  
> Behauptung : es gilt [mm]|b_{n}|\rho^{n} \le[/mm] 1 für alle n [mm]\ge[/mm]
> 0.
>  
> Beweis durch vollständige Induktion.
>
> Induktionsanfang klar, da [mm]b_{0}[/mm] = 1.
>  
> Induktionsschritt. Sei schon bekannt, dass [mm]|b_{k}|\rho^{k} \le[/mm]
> 1 für alle k < n. Aus der Definition von [mm]b_{n}[/mm] folgt
>  
> [mm]|b_{n}|\rho^{n} \le \summe_{k=0}^{n-1} |a_{n-k}|\rho^{n-k}|b_{k}|\rho^{k} \le \summe_{k=0}^{n-1} |a_{n-k}|\rho^{n-k} \le \summe_{m=1}^{\infty}|a_{m}|\rho^{m} \le[/mm]
> 1.
>  
> Damit ist die Behauptung bewiesen. Es folgt, dass die
> Potenzreihe
>  
> g(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n}[/mm] einen
> Konvergenzradius [mm]\ge \rho[/mm] hat, q.e.d.
>  
>
> --------------------------
>  
>
> Meine Mini-Frage dazu: Wieso folgt aus alldem, dass die
> Potenzreihe g(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n}[/mm] einen
> Konvergenzradius [mm]\ge \rho[/mm] hat?


Wir ziehen die n-te Wurzel und erhalten:

[mm] $\wurzel[n]{|b_n|} \rho \le [/mm] 1$  für alle n. Siehst Du nun, wie die Formel von Cauchy - Hadamard die Beh. liefert ?




>  
>
>
> Wäre euch wie immer sehr dankbar!
>  
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                
Bezug
Potenzreihe kompl. Koeff.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Mo 14.08.2017
Autor: X3nion


> Wir ziehen die n-te Wurzel und erhalten:

[mm] \wurzel[n]{|b_n|} \rho \le [/mm] 1 für alle n.

> Siehst Du nun, wie die Formel von Cauchy - Hadamard die Beh. liefert ?

Hallo Fred und Danke für den Tipp!

a) Es folgt, dass auch [mm] \lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n} [/mm] * [mm] \rho \le [/mm] 1, im Falle der Existenz von lim sup.

Ist nun [mm] \lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n} [/mm] < 1,
So konvergiert die Potenzreihe absolut und es gilt für den Konvergenzradius R:

[mm] \rho \le [/mm] R = [mm] \frac{1}{\lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n}} [/mm]

Würde dies passen?


b) Eine kurze Frage noch: Eingangs der Beweises steht, dass es genügt, die Existenz einer Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n} [/mm]

mit einem positiven Konvergenzradius [mm] \rho \le [/mm] r zu finden,
sodass f(z) * g(z) = 1 für alle |z| < [mm] \rho. [/mm]

Gegen Ende steht wiederum geschrieben, dass es nun genügt zu zeigen, dass die Potenzreihe einen Konvergenzradius [mm] \ge \rho [/mm] hat (also nicht mehr [mm] \rho \le [/mm] r).

Ist dies so, dass mit im Falle [mm] \rho [/mm] > 0 mit [mm] \rho \le [/mm] r die Behauptung erfüllt ist, aber auch mit [mm] \rho [/mm] > r, da aus [mm] \rho [/mm] > r folgt, dass die Potenzreihe auch für irgendein [mm] \rho \le [/mm] r konvergiert?



Viele Grüße,
X3nion




Bezug
                        
Bezug
Potenzreihe kompl. Koeff.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Di 15.08.2017
Autor: fred97


> > Wir ziehen die n-te Wurzel und erhalten:
>
> [mm]\wurzel[n]{|b_n|} \rho \le[/mm] 1 für alle n.
> > Siehst Du nun, wie die Formel von Cauchy - Hadamard die
> Beh. liefert ?
>
> Hallo Fred und Danke für den Tipp!
>  
> a) Es folgt, dass auch [mm]\lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n}[/mm]
> * [mm]\rho \le[/mm] 1, im Falle der Existenz von lim sup.
>  
> Ist nun [mm]\lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n}[/mm] < 1,

Was soll das denn ??? Wozu ???


>  So konvergiert die Potenzreihe absolut

Das kannst Du streichen !



>  und es gilt für
> den Konvergenzradius R:
>  
> [mm]\rho \le[/mm] R = [mm]\frac{1}{\lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n}}[/mm]
>  
> Würde dies passen?

Ja, aus $ [mm] \lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n} [/mm] $ * $ [mm] \rho \le [/mm] $ 1 folgt R [mm] \ge \rho. [/mm]


>  
>
> b) Eine kurze Frage noch: Eingangs der Beweises steht, dass
> es genügt, die Existenz einer Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n}[/mm]
>  
> mit einem positiven Konvergenzradius [mm]\rho \le[/mm] r zu finden,
>  sodass f(z) * g(z) = 1 für alle |z| < [mm]\rho.[/mm]
>  
> Gegen Ende steht wiederum geschrieben, dass es nun genügt
> zu zeigen, dass die Potenzreihe einen Konvergenzradius [mm]\ge \rho[/mm]
> hat (also nicht mehr [mm]\rho \le[/mm] r).
>  
> Ist dies so, dass mit im Falle [mm]\rho[/mm] > 0 mit [mm]\rho \le[/mm] r die
> Behauptung erfüllt ist, aber auch mit [mm]\rho[/mm] > r, da aus
> [mm]\rho[/mm] > r folgt, dass die Potenzreihe auch für irgendein
> [mm]\rho \le[/mm] r konvergiert?

Genau so ist es .


>  
>
>
> Viele Grüße,
>  X3nion
>  
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Potenzreihe kompl. Koeff.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Mi 16.08.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred und Danke, nun ist es mir klar!


Viele Grüße,
X3nion

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