Potenzreihe mit m. f. NF < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mi 02.12.2009 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge. Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k} [/mm] für alle [mm] z\in\IC [/mm] mit [mm] |z|\le1; z\not=1 [/mm] konvergiert. |
So zu zeigen, dass die Reihe für z=1 nicht unbedingt konvergiert, ist ja noch einfach: Wähle z. B. [mm] a_{k}:=\bruch{1}{k}
[/mm]
Doch wie zeige ich, dass der Konvergenzradius mindestens 1 ist?
[mm] R=(\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|)^{-1}
[/mm]
Man weiß ja nichts weiter bis auf, dass man 0 durch 0 teilt und der Zähler wegen Monotonie niemals größer ist als der Nenner. Kann man so argumentieren, dass der limes auf jeden Fall kleiner gleich 1 also der Kehrwert mindestens 1 ist?
Damit wäre ja gezeigt, dass die Reihe für alle z im Einheitskreis konvergiert.
Aber wie ist das mit denen auf dem Einheitskreis [mm] |z|=1;z\not=1 [/mm] ?
Kann man dabei argumentieren, dass die Potenzen von z auf dem Einheitskreis nach Definition der Multiplikation umherwandern, es also immer Summanden gibt, die andere ausgleichen, sodass die Summe konvergiert? Aber wie zeigt man das formal?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](a_{n})[/mm] eine monoton fallende Nullfolge. Zeigen Sie,
> dass die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}[/mm] für alle
> [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]|z|\le1; z\not=1[/mm] konvergiert.
> So zu zeigen, dass die Reihe für z=1 nicht unbedingt
> konvergiert, ist ja noch einfach: Wähle z. B.
> [mm]a_{k}:=\bruch{1}{k}[/mm]
Nein, das kannst Du nicht machen ! Die Folge [mm] (a_k) [/mm] ist vorgegeben !
> Doch wie zeige ich, dass der Konvergenzradius mindestens 1
> ist?
Für z =-1 ist die reihe nach dem Leibnizkriterium konvergent !
FRED
>
> [mm]R=(\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|)^{-1}[/mm]
> Man weiß ja nichts weiter bis auf, dass man 0 durch 0
> teilt und der Zähler wegen Monotonie niemals größer ist
> als der Nenner. Kann man so argumentieren, dass der limes
> auf jeden Fall kleiner gleich 1 also der Kehrwert
> mindestens 1 ist?
>
> Damit wäre ja gezeigt, dass die Reihe für alle z im
> Einheitskreis konvergiert.
> Aber wie ist das mit denen auf dem Einheitskreis
> [mm]|z|=1;z\not=1[/mm] ?
> Kann man dabei argumentieren, dass die Potenzen von z auf
> dem Einheitskreis nach Definition der Multiplikation
> umherwandern, es also immer Summanden gibt, die andere
> ausgleichen, sodass die Summe konvergiert? Aber wie zeigt
> man das formal?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:59 Mi 02.12.2009 | | Autor: | valoo |
Wieso kann ich nicht sagen, dass das für z=1 nicht unbedingt konvergiert, da monoton fallende Nullfolgen existieren sodass die Reihe divergiert. Die Folge ist doch beliebig, nur monoton fallend und Nullfolge muss sie sein und das ist 1/k ja.
Und wie zeigt man die Konvergenz für alle anderen z mit |z|=1?
Es gibt den Tipp, dass man für |z|=1 betrachten soll, dass die Folge der Partialsummen eine Cauchy-Folge bilden. Irgendwie soll das mit sinus und cosinus gehen, was dann nach Additionstheorem irgendwie der sinus sein soll, der gegen eins geht. Aber ich weiß nicht, wie das gehen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 04.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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