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Potenzreihen: Quotientenkriterium
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Fr 18.12.2015
Autor: sonic5000

Aufgabe
Welchem allgemeinen Bildungsgesetz unterliegt die folgende Reihe? Untersuchen Sie diese Reihe mit Hilfe des Quotientenkriteriums auf Konvergenz bzw. Divergenz:

[mm] \br{1}{1*2^1}+\br{1}{3*2^3}+\br{1}{5*2^5}+\br{1}{7*2^7}+... [/mm]

Hallo,
mein Ansatz:

Bildungsgesetz:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)*2^{(2n-1)}} [/mm]

Nachdem ich das Quotientenkriterium angewendet habe komme ich auf:

[mm] \lim_{n\to\infty}\br{(2n-1)*2^{(2n-1)}}{(2n+1)*2^{(2n+1)}} [/mm]

Hier kann ich nun schon sehen das der Nenner größer wird und das Ergebnis somit <1 bleibt. Also konvergiert die Reihe...

Im Buch steht es etwas eleganter:

[mm] \lim_{n\to\infty}\br{2+\br{1}{n}}{4(2+\br{3}{n})}=\br{1}{4}<1 [/mm]

Habe ich einen Fehler in meiner Rechnung und wenn Nein wie komme ich auf diese Vereinfachung?





        
Bezug
Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Fr 18.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Welchem allgemeinen Bildungsgesetz unterliegt die folgende
> Reihe? Untersuchen Sie diese Reihe mit Hilfe des
> Quotientenkriteriums auf Konvergenz bzw. Divergenz:

>

> [mm]\br{1}{1*2^1}+\br{1}{3*2^3}+\br{1}{5*2^5}+\br{1}{7*2^7}+...[/mm]
> Hallo,
> mein Ansatz:

>

> Bildungsgesetz:

>

> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)*2^{(2n-1)}}[/mm] [ok]

>

> Nachdem ich das Quotientenkriterium angewendet habe komme
> ich auf:

>

> [mm]\lim_{n\to\infty}\br{(2n-1)*2^{(2n-1)}}{(2n+1)*2^{(2n+1)}}[/mm] [ok]

>

> Hier kann ich nun schon sehen das der Nenner größer wird
> und das Ergebnis somit <1 bleibt. Also konvergiert die
> Reihe...

Jo, mit scharfem Blick und etwas "schwammig"

Vereinfache etwas, damit es "jeder" sehen kann ;-)

>

> Im Buch steht es etwas eleganter:

>

> [mm]\lim_{n\to\infty}\br{2+\br{1}{n}}{4(2+\br{3}{n})}=\br{1}{4}<1[/mm]

Hmm, sollte da nicht [mm]\frac{2\red{-}\frac{1}{n}}{4\cdot{}\left(2+\frac{\red{1}}{n}\right)}[/mm] stehen?

Bei deinem Term kannst du die Zweierpotenzen zu [mm]\frac{1}{4}[/mm] vereinfachen, bei [mm]\frac{2n-1}{2n+1}[/mm] jeweils [mm]n[/mm] oder [mm]2n[/mm] ausklammern und kommst ebenfalls auf den GW [mm]\frac{1}{4}[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]

>

> Habe ich einen Fehler in meiner Rechnung und wenn Nein wie
> komme ich auf diese Vereinfachung?

Siehe oben

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Potenzreihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Fr 18.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

ah, ok, die haben wohl in der Lösung die Reihendarstellung

[mm]\sum\limits_{n=\red 0}^{\infty}\frac{1}{(2n\red +1)\cdot{}2^{2n\red +1}}[/mm] gewählt - läuft aber auf dasselbe Ergebnis heraus ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Fr 18.12.2015
Autor: sonic5000


> Hmm, sollte da nicht
> [mm]\frac{2\red{-}\frac{1}{n}}{4\cdot{}\left(2+\frac{\red{1}}{n}\right)}[/mm]
> stehen?

Im Buch steht folgendes:

[mm] \lim_{n\to\infty}\left|\br{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\br{2n+1}{4*(2n+3)}=\lim_{n\to\infty}\br{2+\br{1}{n}}{4*(2+\br{3}{n})}=\br{1}{4}<1 [/mm]

O.k. manchmal sind auch Fehler im Buch, aber bei diesem eher selten...



Bezug
                        
Bezug
Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Fr 18.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> > Hmm, sollte da nicht
> >
> [mm]\frac{2\red{-}\frac{1}{n}}{4\cdot{}\left(2+\frac{\red{1}}{n}\right)}[/mm]
> > stehen?

>

> Im Buch steht folgendes:

>

> [mm]\lim_{n\to\infty}\left|\br{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\br{2n+1}{4*(2n+3)}=\lim_{n\to\infty}\br{2+\br{1}{n}}{4*(2+\br{3}{n})}=\br{1}{4}<1[/mm]

>

> O.k. manchmal sind auch Fehler im Buch, aber bei diesem
> eher selten...

Ist kein Fehler, die haben die ungeraden Zahlen durch [mm]2n+1[/mm] - beginnend mit [mm]n=0[/mm] dargestellt, wohingegen du bei [mm]n=1[/mm] gestartet bist mit der Darstellung [mm]2n-1[/mm]

Beides ist richtig ...

Gruß

schachuzipus

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