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Potenzreihen: Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:32 Di 16.11.2004
Autor: Floyd

hallo!

Hätte ein dringendes Anliegen:

Es geht um folgende Aufgabe:
Welche Funktionen werden durch die Potenzreihen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^{3n}/(3n)! [/mm] ,
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} z^{4n+1}/(4n+1)! [/mm]
dargestellt?

Das erste ähnelt auf den ersten Blick exp(z) und die Zweite erinnert mich einwenig an sin(z) [mm] z\in \IC. [/mm]
Aber ich weiß wirklich nicht wie ich hier vorgehen muss!
Ich bin somit für jeden Vorschlag dankbar!

mfg Floyd

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Potenzreihen: Einheitswurzeln
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Mi 17.11.2004
Autor: Gnometech

Gruß!

Diese Aufgabe hat etwas gedauert... aber wir haben mit vereinten Kräften im Büro was rausbekommen. :-)

Es gilt doch: $cosh(x) = [mm] \frac{e^x + e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}$ [/mm]

Der Trick ist nun, mit den Einheitswurzeln zu arbeiten. Sei [mm] $\zeta \in \IC$ [/mm] eine nicht-triviale 3. Einheitswurzel, also [mm] $\zeta^3 [/mm] = 1$ und [mm] $\zeta^2 [/mm] = [mm] \bar{\zeta}$. [/mm]

Es gilt: $1 + [mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^2 [/mm] = 0$ (Denn wenn man das mit [mm] $\zeta$ [/mm] multipliziert, kommt wieder der Ausdruck heraus und da [mm] $\zeta \not= [/mm] 1$ muß der Ausdruck 0 sein.

Betrachten wir nun: $f(z) := [mm] e^z [/mm] + [mm] e^{\zeta z} [/mm] + [mm] e^{\zeta^2 z}$ [/mm]

Dann folgt: $f(z) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k(1 + \zeta^k + \zeta^{2k})}{k!}$ [/mm]

Falls $k$ durch 3 teilbar ist, ergibt das einfach 3. Andernfalls ist der Ausdruck in der Klammer 0, also fallen die Summanden weg. Insgesamt ergibt sich:

[mm] $\frac{f(z)}{3} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{3k}}{(3k)!}$ [/mm]

Und das war der erste Streich. Der zweite geht bestimmt so ähnlich - versuch es mal! :-)

Lars

Bezug
                
Bezug
Potenzreihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:47 Do 18.11.2004
Autor: Floyd

hallo!

Danke für die Antwort!

Bei der zweiten Reihe verwendet man übrigens die 8. Einheitswurzeln.

mfg Floyd

Bezug
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