Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Fr 25.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe: (korrigierte Version)
Bestimme den Konvergenzradius von den Potenzreihen
1) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^n
[/mm]
2) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2^n}{n} x^{3n}
[/mm]
3) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(x+2)^{n^{2}}}{5^n}
[/mm]
4) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n^2(x-1)^n}{n!}
[/mm]
Meine Lösung lautet:
1) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(2n)!}{n! n!} x^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)n!}{ n(n-1)(n-2)...(n-n+1) n!} x^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)} x^n [/mm]
[mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|\bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)}|} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{(2n)^{n}+...}{n^{n}+...}} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{(2n)^{n}}{n^{n}}} =\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \bruch{2n}{n} [/mm] = 2
Also R = 0,5
2) [mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{2^{n}}{n}|} [/mm] = 2 [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}} [/mm] = 2 [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} n^{ \bruch{1}{n}} [/mm] = 0
Also R = [mm] \infty
[/mm]
Die Frage ist, rechnet man den Radius anders wenn das [mm] x^{n} [/mm] statt [mm] x^{3n} [/mm] wäre? Was für Unterschied macht diese 3n?
3) [mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{1}{5^{n}}|} =\bruch{1}{5}
[/mm]
Also R = 5
Aber was ist mit [mm] (x+2)^{n^{2}}? [/mm] Ändert das den Konvergenzradius? Kann man sagen, [mm] (x+2)^{n^{2}} [/mm] konvergiert wenn (x+2)<1 ist, d.h. x<-1? Wenn das so wäre, was ist der Zusammenhang zwischen x<-1 und R = 5? Ich verstehe nicht, wann diese Potenzreihe konvergiert.
4) [mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{n^{2}}{n!}|} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n^{2}}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)}} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{(n-1)(n-2)...(n-n+1)}} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}+...} = \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n^{2}}{n^{n}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \bruch{1}{n}.n^{\bruch{2}{n}}}= [/mm] 0*1= 0
Also R [mm] =\infty
[/mm]
Bin mir nicht sicher, ob meine Lösungen richtig sind. Ich wäre für jede Erklärung sehr dankbar.
Grüße
|
|
| |
|
Hallo ftm2037,
> Hallo,
>
> ich habe folgende Aufgabe:
>
>
> Bestimme den Konvergenzradius von den Potenzreihen
Achte auf die Laufindizes, die Reihe laufen doch für $n=0$ bis [mm] $\infty$
[/mm]
> 1) [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ n} x^n[/mm]
>
> 2) [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2^n}{n} x^{3n}[/mm]
>
> 3) [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{(x+2)^{n^{2}}}{5^n}[/mm]
>
> 4) [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{n^2(x-1)^n}{n!}[/mm]
>
> Meine Lösung lautet:
>
> 1) [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ n} x^n[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{(2n)!}{n! n!} x^n[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)n!}{ n(n-1)(n-2)...(n-n+1) n!} x^n[/mm]
> = [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)} x^n[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
> =
> [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|\bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)}|}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{(2n)^{n}+...}{n^{n}+...}}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{(2n)^{n}}{n^{n}}} =\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \bruch{2n}{n}[/mm]
> = 2
Hmm, ich komme da mit der Formel [mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\vektor{2n+2\\n+1}}{\vektor{2n\\n}}$ [/mm] auf $r=4$, mithin Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}=\frac{1}{4}$
[/mm]
>
> Also R = 0,5
>
> 2) [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{2^{n}}{n}|}[/mm]
> = 2 [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = 2 [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} n^{ \bruch{1}{n}}[/mm]
> = 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$, [/mm] also hier [mm] $R=\frac{1}{2}$
[/mm]
> Also R = [mm]\infty[/mm]
>
> Die Frage ist, rechnet man den Radius anders wenn das [mm]x^{n}[/mm]
> statt [mm]x^{3n}[/mm] wäre? Was für Unterschied macht diese 3n?
Nun, es ist [mm] $x^{3n}=\left(x^3\right)^n$
[/mm]
Also konvergiert die Potenzreihe (mit der korrigierten Rechnung) für [mm] $\left|x^3\right|<\frac{1}{2}$, [/mm] also [mm] $|x|<\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
[/mm]
>
> 3) [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{1}{5^{n}}|} =\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Also R = 5
> Aber was ist mit [mm](x+2)^{n^{2}}?[/mm] Ändert das den
> Konvergenzradius? Kann man sagen, [mm](x+2)^{n^{2}}[/mm] konvergiert
> wenn (x+2)<1 ist, d.h. x<-1? Wenn das so wäre, was ist der
> Zusammenhang zwischen x<-1 und R = 5? Ich verstehe nicht,
> wann diese Potenzreihe konvergiert.
>
> 4) [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{n^{2}}{n!}|}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n^{2}}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)}}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{(n-1)(n-2)...(n-n+1)}}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}+...} = \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n^{2}}{n^{n}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \bruch{1}{n}.n^{\bruch{2}{n}}}=[/mm]
> 0*1= 0
>
> Also R [mm]=\infty[/mm]
Hier habe ich die Rechnung nicht kontrolliert, einfacher ist aber wieder die Formel [mm] $r=\frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
[/mm]
Gerade wegen der Fakultät, da kürzt sich doch das meiste schön weg!
>
> Bin mir nicht sicher, ob meine Lösungen richtig sind. Ich
> wäre für jede Erklärung sehr dankbar.
>
> Grüße
>
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> 3) [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x+2)^{n^{2}}}{5^n}$
[/mm]
> 3) [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{1}{5^{n}}|} =\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Also R = 5
> Aber was ist mit [mm](x+2)^{n^{2}}?[/mm] Ändert das den
> Konvergenzradius? Kann man sagen, [mm](x+2)^{n^{2}}[/mm] konvergiert
> wenn (x+2)<1 ist, d.h. x<-1? Wenn das so wäre, was ist der
> Zusammenhang zwischen x<-1 und R = 5? Ich verstehe nicht,
> wann diese Potenzreihe konvergiert.
>
Berechne [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[\red{n^2}]{\left|\frac{1}{5^n}\right|}$
[/mm]
Das ist [mm] $=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{5^{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{1}=1$
[/mm]
Also Konvergenzradius $R=1$ und du hat Konvergenz für $|x+2|<1$, also [mm] $x\in(-3,-1)$ [/mm] und entsprechend Divergenz für $|x+2|>1$.
Wie es an den Randpunkten $x=-3, x=-1$ aussieht, kannst du ja spaßeshalber mal prüfen, ist aber nicht gefragt, du sollst ja "lediglich" den K-Radius bestimmen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 Sa 26.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Sorry, ich habe auf Index nicht geachtet. Jetzt ist aber korrigiert.
zu 1):
Ich habe auch mit der anderen Formel [mm] \bruch{1}{4} [/mm] rausbekommen. Verstehe aber den Unterschied nicht.
zu 2):
Ja, da ist ein Fehler. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{\bruch{1}{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1}=1
[/mm]
Also dann R = [mm] \wurzel[3]{0,5}
[/mm]
zu 3):
Ich verstehe nicht warum [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n^{2}]{\bruch{1}{5^{n}}} [/mm] ? Wieso [mm] n^{2}?
[/mm]
zu 4):
Das interessiert mich einfach dieser Zusammenhang zwischen R und x_Bereich.
Danke für die Antwort.
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Sorry, ich habe auf Index nicht geachtet. Jetzt ist aber
> korrigiert.
Ok 
>
> zu 1):
>
> Ich habe auch mit der anderen Formel [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> rausbekommen. Verstehe aber den Unterschied nicht.
Welchen Unterschied?
Zwischen den beiden Berechnungsweisen?
Nun, du kannst immer die Formel von Cauchy-Hadamard benutzen, die du auch durchgehend verwendet hast. Sie ist angelehnt an und hergeleitet aus dem Wurzelkriterium für "gewöhnliche" Reihen.
Alternativ kannst du [mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] berechnen in Anlehnung an das Quotientenkriterium.
Der Konvergenzradius ist dann [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}:=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}:=0$
[/mm]
Diese Formel kannst du aber nicht immer hernehmen, der Quotient [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] muss schon definiert sein.
Wenn du sie aber verwenden kannst, ist sie oftmals einfacher als Cauchy-Hadamard, etwa bei der Reihe mit der Fakultät oder der ersten mit den Binomialkoeffizienten.
Du kannst dir ja mal allg. für eine Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n$ [/mm] die letztere Formel aus dem QK herleiten ...
>
> zu 2):
>
> Ja, da ist ein Fehler. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{\bruch{1}{n}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1}=1[/mm]
> Also dann R = [mm]\wurzel[3]{0,5}[/mm]
Jo, steht ja auch schon oben ...
>
> zu 3):
>
> Ich verstehe nicht warum [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n^{2}]{\bruch{1}{5^{n}}}[/mm]
> ? Wieso [mm]n^{2}?[/mm]
Deine Reihe hat so wie sie dasteht nicht die Form einer Potenzreihe wegen des "hoch [mm] n^2"
[/mm]
Substituiere [mm] $n^2:=k$, [/mm] dann hast du [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5^{\sqrt{k}}}\cdot{}(x+2)^k$, [/mm] also eine Potenzreihe wie sie im Buche steht (der Form nach )
Hier berechnest du gem. Cauchy-Hadamard doch [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\frac{1}{5^{\sqrt{k}}}\right|}$
[/mm]
Was dasselbe ist wie [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\frac{1}{5^n}}$
[/mm]
>
> zu 4):
>
> Das interessiert mich einfach dieser Zusammenhang zwischen
> R und x_Bereich.
Na, was sagt denn Cauchy-Hadamard über die Konvergenz von [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n$, [/mm] wenn du den Konvergenzradius R berechnet hast?
Doch Konvergenz für [mm] $|x-x_0|
Hier hast du [mm] $R=\infty$, [/mm] also Konvergenz für [mm] $|x-1|<\infty$
[/mm]
Das sind alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ...
Nehmen wir nochmal ein Bsp.
Nehmen wir an, in der ersten Potenzreihe würde statt [mm] $x^n$ [/mm] eher [mm] $(x+3)^n$ [/mm] stehen.
Es ergäbe sich natürlich derselbe Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{4}$ [/mm] und du hättest gewiss Konvergenz für [mm] $|x+3|<\frac{1}{4}$, [/mm] also für $-3,25<x<-2,75$ und gewiss Divergenz für [mm] $|x+3|>\frac{1}{4}$, [/mm] also für $x<-3,25$ und $x>-2,75$
Wie es an den Randpunkten aussieht, muss man separat untersuchen, aber das habe ich oben ja schon geschrieben.
Da du hier nur den Konvergenzradius berechnen musst, ist das aber nebensächlich.
>
> Danke für die Antwort.
>
> Grüße
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 So 27.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Danke für die Hilfe!
Grüße
|
|
|
|
