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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Di 16.11.2010 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, für welche x [mm] \in [/mm] R die folgenden Reihen konvergieren, und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert:
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^{2k+1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} kx^{k} [/mm] |
Wie fange ich bei dieser Fragestellung an?
Ich muss erst beweisen, dass die Folge konvergent ist:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein N [mm] \in \IN, [/mm] sodass | [mm] a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N
Aber inwieweit hilft mir das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 16.11.2010 | | Autor: | wauwau |
du hast hier Reihen und keine Folgen!
welche konvergenz kriterien hast du schon gelernt?
betrachte die Folge der Partialsummen und vergleich mit geometrischer Reihe.....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Di 16.11.2010 | | Autor: | low_head |
Die Folge der Partialsummen zu a) wäre:
[mm] S_{n}= \summe_{k=0}^{\infty} x^{2k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{2n+2}}{1-x^{n+1}}
[/mm]
oder nicht?
bzw. wenn das nicht stimmt, wie berechne ich sie dann richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Folge der Partialsummen zu a) wäre:
>
> [mm]S_{n}= \summe_{k=0}^{\infty} x^{2k+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-x^{2n+2}}{1-x^{n+1}}[/mm]
>
> oder nicht?
Nein.
[mm]S_{n}=\summe_{k=0}^{n} x^{2k+1}=x* \summe_{k=0}^{n} (x^2)^k = [/mm] ??ß#
Jetzt Summenformel füe die endliche geometrische Reihe , aber richtig !
FRED
> bzw. wenn das nicht stimmt, wie berechne ich sie dann
> richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Di 16.11.2010 | | Autor: | low_head |
Woah meine erste Partialsumme:
[mm] S_{n} [/mm] = x * [mm] \summe_{i=0}^{n} (x^{2})^{k} [/mm]
[mm] S_{n}=x(1+x^{2*1}+...+x^{2*n}) [/mm] (erste Gleichung)
[mm] x*S_{n}=x(x^{2*1}+...+x^{2*n+1}) [/mm] (zweite Gleichung)
Subtrahieren:
[mm] S_{n}-x*S_{n}=x(1-x^{2n+1}) [/mm]
Vereinfachen:
[mm] S_{n}(1-x)=x(1-x^{2n+1}) [/mm]
[mm] S_{n}=x\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}
[/mm]
Richtig?
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Hallo low_head,
> Woah meine erste Partialsumme:
>
> [mm]S_{n}[/mm] = x * [mm]\summe_{i=0}^{n} (x^{2})^{k}[/mm]
>
> [mm]S_{n}=x(1+x^{2*1}+...+x^{2*n})[/mm] (erste Gleichung)
>
> [mm]x*S_{n}=x(x^{2*1}+...+x^{2*n+1})[/mm] (zweite Gleichung)
>
In der Summe [mm]x*S_{n}[/mm] treten nur gerade Potenzen auf,
somit fällt auch bei der Bildung von [mm]S_{n}-x*S_{n}[/mm] nichts weg.
> Subtrahieren:
> [mm]S_{n}-x*S_{n}=x(1-x^{2n+1})[/mm]
>
> Vereinfachen:
> [mm]S_{n}(1-x)=x(1-x^{2n+1})[/mm]
> [mm]S_{n}=x\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}[/mm]
>
> Richtig?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Di 16.11.2010 | | Autor: | low_head |
und wie gehe ich dann vor?
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Hallo low_head,
> und wie gehe ich dann vor?
Nun, bilde [mm]S_{n}[/mm] und [mm]x^{2}*S_{n}[/mm]
und subtrahiere diese voneinander.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 16.11.2010 | | Autor: | low_head |
Dann würde sie doch so aussehen:
[mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x^{2}}
[/mm]
oder bin ich total verwirrt nun?
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Hallo low_head,
> Dann würde sie doch so aussehen:
>
> [mm]\bruch{1-x^{n+1}}{1-x^{2}}[/mm]
Poste doch mal, wie Du auf dieses Ergebnis kommst.
>
> oder bin ich total verwirrt nun?
Schreib doch die Summen [mm]S_{n}[/mm] und [mm]x^{2}*S_{n}[/mm]
untereinander und subtrahiere sie voneinander.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 18.11.2010 | | Autor: | low_head |
So ich habs nochmal berechnet und hab nun das raus:
[mm] \bruch{1-(x^2)^{n+1}}{1-x^2}
[/mm]
Wie geh ich nun vor?
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Hallo low_head,
> So ich habs nochmal berechnet und hab nun das raus:
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> [mm]\bruch{1-(x^2)^{n+1}}{1-x^2}[/mm]
Da ist ein "x" verlorengegangen:
[mm]S_{n}=\blue{x}*\bruch{1-(x^2)^{n+1}}{1-x^2}[/mm]
>
> Wie geh ich nun vor?
Bilde den Grenzwert von [mm]S_{n}[/mm] für [mm]n \rightarrow \infty[/mm]
Und untersuche für welche x dies einen festen Wert liefert.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Do 18.11.2010 | | Autor: | low_head |
Wie berechne ich denn den Grenzwert?
Ich mache das zum ersten mal, daher fällt es mir etwas.. "sehr" schwer.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn [mm] x^n [/mm] oder x^2n wenn x>1 ist für grosse n
was wenn x<1 ist x=1? wenn man nichts sieht muss man halt auch mal rumprobieren. x=2, x=10 x=1/2, x=1/10 und dann noch ein paar negative zahlen!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Di 16.11.2010 | | Autor: | himbrom |
Hallo,
Du kannst beide Reihen mit der geometrischen Reihe
[mm]\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}[/mm]
vergleichen, welche für [mm]|x|<1[/mm] konvergiert. Ableiten nach [mm]x[/mm] auf beiden Seiten liefert außerdem Faktoren [mm]k[/mm] unter der Summe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 16.11.2010 | | Autor: | phibie |
wie kann man bei der zweiten Reihe zeigen dass sie konvergiert bzw. was macht man mit dem k vor dem [mm] (x^k) [/mm] damit man es in die formel für den grenzwert einsetzen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
differenzier mal die Reihe f(x)=[mm]\summe_{i=1}^{\infty} x^k[/mm]=1/(1-x)
vielleicht kommst du dann auf ne gute Idee?
gruss leduart
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