Potenzreihen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie die Entwicklungspunkte, Koeffizienten und Konvergenzbereiche
der folgenden Potenzreihen an.
Aufgabe a)
[mm] (x-1)+(2!)(x-1)^2+(3!)(x-1)^3+...+(n!)(x-1)^n+... [/mm]
Lösungsansatz:
[mm] x_{o}=1 [/mm] , [mm] a_{n}=n! [/mm] , Reihe: [mm] \summe_{n=1}^\infty n!*(x-1)^n
[/mm]
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}|}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n!}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{r}=\infty [/mm]
[mm] r=\bruch{1}{\infty}
[/mm]
Kovergenz nur im Punkt [mm] x_{o}=1
[/mm]
Aufgabe b)
[mm] 1+\bruch{1}{1^2}x+\bruch{1}{2^2}x^2+\bruch{1}{3^2}x^3+...+\bruch{1}{n^2}x^n...
[/mm]
[mm] x_{0}=0 [/mm] , [mm] a_{n}=\bruch{1}{n^2} [/mm] , Reihe: [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^2}*x^n
[/mm]
Reihe konvergiert wenn |x|<1
[mm] q=\bruch{1}{n^2}
[/mm]
[mm] r=\bruch{1}{n^2}*\bruch{n^2}{n^2-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n^2-1} [/mm] |
Guten Tag alle zusammen,
meine Frage ist stimmen meine Lösungen soweit für die Entwicklungspunkte, Koeffizienten und Konvergenzbereiche?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Sa 23.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie die Entwicklungspunkte, Koeffizienten und
> Konvergenzbereiche
> der folgenden Potenzreihen an.
>
> Aufgabe a)
>
> [mm](x-1)+(2!)(x-1)^2+(3!)(x-1)^3+...+(n!)(x-1)^n+...[/mm]
>
> Lösungsansatz:
>
> [mm]x_{o}=1[/mm] , [mm]a_{n}=n![/mm] , Reihe: [mm]\summe_{n=1}^\infty n!*(x-1)^n[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n!}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{r}=\infty[/mm]
>
> [mm]r=\bruch{1}{\infty}[/mm]
>
> Kovergenz nur im Punkt [mm]x_{o}=1[/mm]
Bis hier ist alles O.K.
>
> Aufgabe b)
>
> [mm]1+\bruch{1}{1^2}x+\bruch{1}{2^2}x^2+\bruch{1}{3^2}x^3+...+\bruch{1}{n^2}x^n...[/mm]
>
> [mm]x_{0}=0[/mm] , [mm]a_{n}=\bruch{1}{n^2}[/mm] , Reihe: [mm]\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^2}*x^n[/mm]
>
> Reihe konvergiert wenn |x|<1
>
> [mm]q=\bruch{1}{n^2}[/mm]
Was soll q sein ???? Es war doch [mm]a_n=\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> [mm]r=\bruch{1}{n^2}*\bruch{n^2}{n^2-1}[/mm]
Was treibst Du hier ???????
FRED
>
> [mm]=\bruch{1}{n^2-1}[/mm]
> Guten Tag alle zusammen,
>
> meine Frage ist stimmen meine Lösungen soweit für die
> Entwicklungspunkte, Koeffizienten und Konvergenzbereiche?
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.DEan
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Ich habe gedacht das man evtl. die geometrische Reihe verwenden kann.
Zweiter Versuch:
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2n}}{n^{2n+1}}
[/mm]
Daraus würde ja folgen r=n |
Guten Tag Fred,
ISt der Konvergenz Bereich dann + [mm] \infty [/mm] ?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 23.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe gedacht das man evtl. die geometrische Reihe
> verwenden kann.
>
> Zweiter Versuch:
>
> [mm]\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2n}}{n^{2n+1}}[/mm]
Unfug ! Es ist doch $ [mm] a_n=\bruch{1}{n^2} [/mm] $ , also
[mm]\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2}{(n+1)^2}[/mm]
>
> Daraus würde ja folgen r=n
Unfug ! Es ist r=1.
>
> Guten Tag Fred,
>
> ISt der Konvergenz Bereich dann + [mm]\infty[/mm] ?
Nein. Wegen r=1 konv. die Potenzreihe für |x|<1 und divergiert für |x|>1.
Wie siehts in den Punkten x=1 und x=-1 aus ?
FRED
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.DEan
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | In den Punkten x=1 , x=-1 müsste Konvergenz herrschen.
Weil wenn |x|<1 die Reihe konvergiert und für |x|>1 divergiert, es gilt also:
Die Reihe ist konvergent wenn -1<x<1 |
vielen Dank für deine Hilfe die Aussage über die Konvergenz müsste ja jetzt mit dem richtigen r passen oder?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
|
|
|
| |
|
Hallo,
> In den Punkten x=1 , x=-1 müsste Konvergenz herrschen.
???
Bei x=1 ist das ja trivial (weshalb?) aber wie kommst du zu der abenteuerlichen Ansicht, dass im Fall x=-1 hier Konvergenz vorliegt?
Aber das musst du dann auch noch zeigen/begründen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Sa 23.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > In den Punkten x=1 , x=-1 müsste Konvergenz herrschen.
>
> ???
>
> Bei x=1 ist das ja trivial (weshalb?) aber wie kommst du zu
> der abenteuerlichen Ansicht, dass im Fall x=-1 hier
> Konvergenz vorliegt?
????
In x=-1 haben wir Konvergenz !
FRED
>
> >
> > Weil wenn |x|<1 die Reihe konvergiert und für |x|>1
> > divergiert, es gilt also:
> >
> > Die Reihe ist konvergent wenn -1<x<1
>
> Auch das ist falsch (in dem Sinn, dass du den Fall x=1 hier
> ausschließt), und es widerspricht dem, was du oben
> geschrieben hast. Du solltest viel gründlicher an solche
> Aufgaben herangehen, sonst wirst du mit dieser Thematik
> nicht weit kommen!
>
>
> Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
>
> In x=-1 haben wir Konvergenz !
>
> FRED
Ups: da hast Du völlig Recht. ich habe versehentlich die erste Potenzreihe aus dem Themenstart betrachtet.
Vielen Dank für den Hinweis&schönes Wochenende.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Sa 23.03.2013 | | Autor: | JamesDean |
Hey guys;
Also jetzt bin ich verwirrt ist meine Aussage jetzt richtig oder falsch gewesen?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo JamesDean,
die Reihe aus Aufgabe b) konvergiert für [mm] -1\le{x}\le{1}. [/mm] Es reicht aber nicht aus, zu sagen, dies müsste so sein, sondern man muss es zeigen. Im Fall der Aufgabe b) reicht jedoch der Hinweis, dass es sich in beiden kritischen Fällen, also für x=-1 und x=1 um elementare und bekannte Reihen in dem Sinn handelt, als dass man ihr Konvergenzverhalten nebst Grenzwerten kennt und in aller Regel verwenden darf.
Meine Zweifel am Fall x=-1 beruhten auf einem Irrtum, weil ich aus Versehen die Reihe aus a) betrachtet habe. Auf diesen Fehler hat mich FRED dankenswerterweise hingewiesen.
Was lernen wir daraus? Diophant muss besser aufpassen und manchmal ist es doch besser, pro Thread nur eine Aufgabe zu behandeln. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Sa 23.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo JamesDean,
>
> die Reihe aus Aufgabe b) konvergiert für [mm]-1\le{x}\le{1}.[/mm]
> Es reicht aber nicht aus, zu sagen, dies müsste so sein,
> sondern man muss es zeigen. Im Fall der Aufgabe b) reicht
> jedoch der Hinweis, dass es sich in beiden kritischen
> Fällen, also für x=-1 und x=1 um elementare und bekannte
> Reihen in dem Sinn handelt, als dass man ihr
> Konvergenzverhalten nebst Grenzwerten kennt und in aller
> Regel verwenden darf.
Hallo Diophant,
genauso wie bei den Gleichungen, die nach Dir benannt sind, sollte man darauf hinweisen, dass die Konvergenz der Reihe in x=1 auf den berühmten Mathematiker Picward Rat - Sextell zurück geht und die Konvergenz der Reihe in x=-1 eine entscheidende Rolle gespielt hat bei der Suche nach der optimalen Anzahl der Zähne, nämlich 52, im Leibniz Butterkeks.
Ohne das wären wir alle um einiges ärmer. Die Zahl 42 ist damit aus dem Rennen.
>
> Meine Zweifel am Fall x=-1 beruhten auf einem Irrtum, weil
> ich aus Versehen die Reihe aus a) betrachtet habe. Auf
> diesen Fehler hat mich FRED dankenswerterweise
> hingewiesen.
Gruß FRED
>
> Was lernen wir daraus? Diophant muss besser aufpassen und
> manchmal ist es doch besser, pro Thread nur eine Aufgabe zu
> behandeln.
>
>
> Gruß, Diophant
|
|
|
|
