Potenzreihen; Konvergenzradien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
(1) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n+1})*x^n [/mm] |
Meine Idee war:
[mm] 1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k} [/mm] =: [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{\summe_{k=1}^{n+2} \bruch{1}{k}}{\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k}}| [/mm] = [mm] |\bruch{\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k} + \bruch{1}{n+2}}{\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k}}| [/mm] = |1 + [mm] \bruch{\bruch{1}{n+2}}{\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k}}| \to [/mm] 1+0 = 1 (n [mm] \to \infty) \Rightarrow [/mm] R=1
Oder zerschießt mir die Divergenz von [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k} [/mm] diese Idee?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Fr 12.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechne die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
> (1) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n+1})*x^n[/mm]
>
> Meine Idee war:
>
> [mm]1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k}[/mm]
> =: [mm]a_{n}[/mm]
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] = [mm]|\bruch{\summe_{k=1}^{n+2} \bruch{1}{k}}{\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k}}|[/mm]
> = [mm]|\bruch{\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k} + \bruch{1}{n+2}}{\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k}}|[/mm]
> = |1 + [mm]\bruch{\bruch{1}{n+2}}{\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k}}| \to[/mm]
> 1+0 = 1 (n [mm]\to \infty) \Rightarrow[/mm] R=1
> Oder zerschießt mir die Divergenz von [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k}[/mm]
> diese Idee?
Nein, alles ist O.K.
Noch eine Möglichkeit: es ist $1 [mm] \le a_n \le [/mm] n+1$, also 1 [mm] \le \wurzel[n]{a_n} \le \wurzel[n]{n+1}
[/mm]
Jetzt n [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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| Aufgabe | | (3) [mm] \summe_{n=0}^{n\infty} \wurzel{\bruch{n!}{n^n}}*x^n [/mm] |
Hier war mein Weg:
[mm] |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] = [mm] |\bruch{\wurzel{\bruch{n!}{n^n}}}{\wurzel{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}}| [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{\bruch{n!}{n^n}}{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{(n+1)^{n+1}*n!}{(n+1)!*n^n}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{(n+1)^n}{n^n}} [/mm] = [mm] \wurzel{(\bruch{n+1}{n})^n} [/mm] = [mm] \wurzel{(1+\bruch{1}{n})^n} \to \wurzel{e} [/mm] (n [mm] \to \infty) \Rightarrow [/mm] R = [mm] \wurzel{e}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 12.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Alles bestens
FRED
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| Aufgabe | | (2) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 3^{(2+(-1)^n)*n}*x^n [/mm] |
Jetzt zu den Aufgaben, bei denen ich mich total unsicher bin:
[mm] 3^{(2+(-1)^n)*n} [/mm] = [mm] (3^{2+(-1)^n})^n
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel[n]{(3^{2+(-1)^n})^n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3^{2+(-1)^n}} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty) \Rightarrow [/mm] R=0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 12.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> (2) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 3^{(2+(-1)^n)*n}*x^n[/mm]
> Jetzt zu
> den Aufgaben, bei denen ich mich total unsicher bin:
>
> [mm]3^{(2+(-1)^n)*n}[/mm] = [mm](3^{2+(-1)^n})^n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{\wurzel[n]{(3^{2+(-1)^n})^n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3^{2+(-1)^n}} \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty) \Rightarrow[/mm]
> R=0
Nein. Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] 3^{(2+(-1)^n)*n}. [/mm] Dann ist [mm] \wurzel[n]{|a_n|}= 3^{(2+(-1)^n}
[/mm]
Jetzt berechen mal [mm] \wurzel[2k]{|a_{2k}|} [/mm] und [mm] \wurzel[2k+1]{|a_{2k+1}|} [/mm] und dann lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
FRED
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> Nein. Sei [mm]a_n[/mm] = [mm]3^{(2+(-1)^n)*n}.[/mm] Dann ist
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|}= 3^{(2+(-1)^n}[/mm]
>
> Jetzt berechen mal [mm]\wurzel[2k]{|a_{2k}|}[/mm] und
> [mm]\wurzel[2k+1]{|a_{2k+1}|}[/mm] und dann lim sup
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
>
> FRED
Ich bin ja vielleicht auch blöd... Hier hab ich die Aufgabe richtig getippt, aber auf meinem Zettel hab ich mit [mm] 3^{(2n+(-1)^n)} [/mm] gerechnet...
So ist natürlich klar, dass eine Fallunterscheidung was bringt:
[mm] \wurzel[2k]{|a_{2k}|} [/mm] = [mm] 3^{2+1} [/mm] = [mm] 3^3 [/mm] = 27
[mm] \wurzel[2k+1]{|a_{2k+1}|} [/mm] = [mm] 3^{2-1} [/mm] = 3
[mm] \Rightarrow [/mm] lim sup [mm] (\bruch{1}{\wurzel[n]{|a_n|}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{27} \Rightarrow R=\bruch{1}{27}
[/mm]
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Hallo fagottator,
> > Nein. Sei [mm]a_n[/mm] = [mm]3^{(2+(-1)^n)*n}.[/mm] Dann ist
> > [mm]\wurzel[n]{|a_n|}= 3^{(2+(-1)^n}[/mm]
> >
> > Jetzt berechen mal [mm]\wurzel[2k]{|a_{2k}|}[/mm] und
> > [mm]\wurzel[2k+1]{|a_{2k+1}|}[/mm] und dann lim sup
> > [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
> >
> > FRED
>
> Ich bin ja vielleicht auch blöd... Hier hab ich die
> Aufgabe richtig getippt, aber auf meinem Zettel hab ich mit
> [mm]3^{(2n+(-1)^n)}[/mm] gerechnet...
Kann passieren 
> So ist natürlich klar, dass eine Fallunterscheidung was
> bringt:
> [mm]\wurzel[2k]{|a_{2k}|}[/mm] = [mm]3^{2+1}[/mm] = [mm]3^3[/mm] = 27
> [mm]\wurzel[2k+1]{|a_{2k+1}|}[/mm] = [mm]3^{2-1}[/mm] = 3
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](\bruch{1}{lim sup \wurzel[n]{|a_n|}})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{27} \Rightarrow R=\bruch{1}{27}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | | (4) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n+2}*x^{2n} [/mm] |
So, eine hab ich noch...
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n+2}*x^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n+2}*(x^2)^n. [/mm] Also substituiere ich [mm] x^2 [/mm] = y und betrachte jetzt die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n+2}*y^n.
[/mm]
[mm] |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] = [mm] |\bruch{n^2(2^{n+1}+2)}{(2^n+2)(n+1)^2}| [/mm] = [mm] |\bruch{2^{n+1}+2}{(2^n+2)(n+1)}| [/mm] = [mm] |\bruch{2^n*2+2}{(2^n+2)(n+1)}| [/mm] = [mm] |\bruch{2(2^n+1)}{(2^n+2)(n+1)}| [/mm] = [mm] |\bruch{2}{n+1} \bruch{2^n+1}{2^n+2}| \to [/mm] |0*1| = 0 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
[mm] \Rightarrow R_{y}=0 \Rightarrow R_{x^2} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow R_{x} [/mm] = [mm] \wurzel{0} [/mm] = 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Fr 12.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> (4) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n+2}*x^{2n}[/mm]
> So,
> eine hab ich noch...
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n+2}*x^{2n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n+2}*(x^2)^n.[/mm] Also
> substituiere ich [mm]x^2[/mm] = y und betrachte jetzt die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n+2}*y^n.[/mm]
>
> [mm]|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{n^2(2^{n+1}+2)}{(2^n+2)(n+1)^2}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{2^{n+1}+2}{(2^n+2)(n+1)}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{2^n*2+2}{(2^n+2)(n+1)}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{2(2^n+1)}{(2^n+2)(n+1)}|[/mm] = [mm]|\bruch{2}{n+1} \bruch{2^n+1}{2^n+2}| \to[/mm]
> |0*1| = 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
Nach dem 2, "=" hast Du im Zähler [mm] n^2 [/mm] vergessen und im Nenner solte [mm] (n+1)^2 [/mm] stehen
FRED
>
> [mm]\Rightarrow R_{y}=0 \Rightarrow R_{x^2}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow R_{x}[/mm]
> = [mm]\wurzel{0}[/mm] = 0
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