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| Aufgabe | Lösen Sie mit Hilfe des Potenzreihenansatzes y(x) [mm] =\summe_{k=0}^{\infty} a^k*x^k [/mm] die Differentialgleichung
y'' −4xy' [mm] +(4x^2 [/mm] − 2) y = 0.
Geben Sie mindestens die ersten fünf Glieder der
Reihe an. Können Sie daraus eine explizite Darstellung der Lösung erraten? Welche
Bedeutung haben die ersten Koeffizienten [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1? [/mm] |
Hallo,
potenreihenansatz habe ich schon, ich weiß jetzt nur nicht ob ich für die Koeffizienten 4x und [mm] (4x^2 [/mm] - 2) auch eine reihe einsetzen muss, wenns eine gibt...
gibt es dafür überhaupt potenzreihen?
grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 So 20.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Lösen Sie mit Hilfe des Potenzreihenansatzes [mm]y(x) =\summe_{k=0}^{\infty} a^k*x^k[/mm] die Differentialgleichung
> [mm] y'' - 4xy' +(4x^2 − 2) y = 0[/mm].
> Geben Sie mindestens die ersten fünf Glieder der
> Reihe an. Können Sie daraus eine explizite Darstellung
> der Lösung erraten? Welche
> Bedeutung haben die ersten Koeffizienten [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1?[/mm]
> Hallo,
>
> potenreihenansatz habe ich schon, ich weiß jetzt nur
> nicht ob ich für die Koeffizienten 4x und [mm](4x^2[/mm] - 2) auch
> eine reihe einsetzen muss, wenns eine gibt...
Nein, du musst diese Polynome in die Potenzreihen für $y'$ bzw y hineinmultiplizieren, damit du Koeffizientenvergleich machen kannst.
> gibt es dafür überhaupt potenzreihen?
Polynome sind Potenzreihen mit endlich vielen Gliedern.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 So 20.12.2009 | | Autor: | pandabaer |
Alles klar, super, danke!!
[mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] müssen durch ein RWP gegeben sein, sonst kann die Lösung nicht durch die Taylorreihe dargestellt werden, da die ersten glieder nicht berechnet werden können( 5 gleichungen 6 unbekannte!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 So 20.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Alles klar, super, danke!!
> [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] müssen durch ein RWP gegeben sein, sonst kann
Nicht Rand-, sondern Anfangsbedingungen. Und welche Bedeutung haben [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$ [/mm] ganz konkret?
> die Lösung nicht durch die Taylorreihe dargestellt werden,
> da die ersten glieder nicht berechnet werden können( 5
> gleichungen 6 unbekannte!)
Das versteh ich überhaupt nicht, wie du auf 5 Gleichungen kommst.
Poste mal, was du gerechnet hast!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 So 20.12.2009 | | Autor: | pandabaer |
[mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] werden benötigt um die restlichen koeffizienten für die taylorreihe zu berechnen...
die fünf gleichungen entstehen durch den koeffizientenevrgleich mit k=0,...,4
also so haben wirs bei der letzten aufgabe gemacht..
und da ich hier keine Anfangsbedingungen habe, kann ich keine der [mm] a_k [/mm] s berechnen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Mo 21.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] werden benötigt um die restlichen
> koeffizienten für die taylorreihe zu berechnen...
> die fünf gleichungen entstehen durch den
> koeffizientenevrgleich mit k=0,...,4
> also so haben wirs bei der letzten aufgabe gemacht..
Das ist aber keine allgemeine Lösung; du sollst eine Rekursionsformel für die Koeffizienten ableiten.
> und da ich hier keine Anfangsbedingungen habe, kann ich
> keine der [mm]a_k[/mm] s berechnen...
Die Anfangsbedingungen sind doch [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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