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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 So 28.02.2010 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | es ist
y'= 2x +y y(0)=1
best. sie die glieder bis zur 6. ordnung |
umgeschrieben
y' -y -2x=0
aus dem buch habe ich y= [mm] \sum a_n [/mm] 0 bis [mm] \inf
[/mm]
und y' = [mm] \sum (n+1)a_{n+1}
[/mm]
und den ansatz
[mm] \sum [-(a_n) [/mm] + [mm] (n+1)a_n+1]xⁿ=0
[/mm]
[mm] -(a_n) [/mm] + [mm] (n+1)a_{n+1}=0
[/mm]
(n+1) [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{a_n }{ ( n+1)}
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] ist ja gegeben als [mm] y_0 [/mm] = 1
n=0: [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_0/1 [/mm] = 1/1 = 1
n=1: [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_1/2 [/mm] = 1/2
n=2: [mm] a_3= [/mm] 1/6
n=n [mm] a_n= \bruch{1}{(n-1)!}
[/mm]
leider ist das falsch, warum? :(
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Hallo domerich,
> es ist
> y'= 2x +y y(0)=1
> best. sie die glieder bis zur 6. ordnung
> umgeschrieben
>
> y' -y -2x=0
>
> aus dem buch habe ich y= [mm]\sum a_n[/mm] 0 bis [mm]\inf[/mm]
> und y' = [mm]\sum (n+1)a_{n+1}[/mm]
>
> und den ansatz
>
> [mm]\sum [-(a_n)[/mm] + [mm](n+1)a_n+1]xⁿ=0[/mm]
>
> [mm]-(a_n)[/mm] + [mm](n+1)a_{n+1}=0[/mm]
>
> (n+1) [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_n[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{a_n }{ ( n+1)}[/mm]
>
> [mm]a_0[/mm] ist ja gegeben als [mm]y_0[/mm] = 1
>
> n=0: [mm]a_1[/mm] = [mm]a_0/1[/mm] = 1/1 = 1
>
> n=1: [mm]a_2[/mm] = [mm]a_1/2[/mm] = 1/2
>
> n=2: [mm]a_3=[/mm] 1/6
>
> n=n [mm]a_n= \bruch{1}{(n-1)!}[/mm]
>
> leider ist das falsch, warum? :(
Nach meinen Rechnungen ergibt sich
[mm]a_{2}=\bruch{a_{1}+2}{2}[/mm]
Mit der Anfangsbedingung folgt: [mm]a_{2}=\bruch{3}{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:33 Mo 01.03.2010 | | Autor: | domerich |
die Lösung kenne ich ja auch.
die frage ist was ist an meinem Ansatz falsch?
ich habe z.b. die "2x" garnicht berücksichtigt, weil sie in meiner Tabelle im gelben rechenbuch als reiner x term nicht berücksichtigt sind.
kann mir jemand meinen fehler im ansatz aufzeigen? danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:39 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
Hallo,
hab leider grad keine Zeit so viel zu schreiben.
Aber du musst den Ansatz in deine spezielle DGL einsetzen. Dadurch erhälst du da, wo bei dir grad ...+1)x steht, eine ...-2)x. Und dann kommt auch das richtige raus.
Schönen Tag,
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mo 01.03.2010 | | Autor: | domerich |
das war gestern ein syntax fehler sry x(
es sollte heißen
[mm] \sum{[-a_n+(n+1)a_{n+1}-2]x^n}=0 [/mm]
damit komme ich aber auf (mit [mm] y(0)=1=a_0)
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{a_n+2}{n+1}
[/mm]
und somit auf
n=0: [mm] a_1= \bruch{1+2}{0+1} [/mm] = 3
was falsch ist
wer kann helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 Di 02.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
> das war gestern ein syntax fehler sry x(
>
> es sollte heißen
>
> [mm]\sum{[-a_n+(n+1)a_{n+1}-2]x^n}=0[/mm]
Das stimmt trotzdem nicht so ganz. Wenn du den Ansatz in die DGL einsetzt, steht da
[mm] \summe_{n=0}^\infty(n+1)a_{n+1}x^n-\summe_{n=0}^\infty a_nx^n=2x
[/mm]
(das x hat ja kein "hoch n" dran).
Und dann musst du die Koeffizienten vergleichen.
D.h. z.B. für n=0, steht ja links
[mm] 1*a_1*x^0-a_0*x^0
[/mm]
Rechts steht aber kein [mm] x^0, [/mm] d.h.
[mm] a_1-a_0=0
[/mm]
Für n=1, steht dann da
[mm] 2*a_2*x-a_2*x
[/mm]
Da du rechts auch einen Summanden mit x stehen hast, gilt
[mm] 2a_2-a_2=2
[/mm]
usw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Di 02.03.2010 | | Autor: | domerich |
schön erklärt danke
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