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Forum "Differentialgleichungen" - Potenzreihenansatz
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Potenzreihenansatz: Aufgabenstellung unklar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Di 28.12.2010
Autor: Spirik

Hallo,

Potenzreihenansätze können meines Wissens nur bei AWP angewendet werden. Also muss mir ein Anfangswert gegeben sein.

u'+tu=0  (hier ist mir aber kein Anfangswert gegeben)

Bei der Aufgabe steht dabei:
Es ist die allgemeine Lösung der angegebenen DGL als Potenzreihe mit dem Mittelpunkt 0 zu konstruieren.

Bedeutet das, dass mein AW [mm] x_{0}=0 [/mm] also [mm] y_{0}(0)=0 [/mm] ist?

Danke

Beste Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Di 28.12.2010
Autor: MathePower

Hallo Spirik,

> Hallo,
>  
> Potenzreihenansätze können meines Wissens nur bei AWP
> angewendet werden. Also muss mir ein Anfangswert gegeben
> sein.


Der Potenzreihenansatz kann auch dann gemacht werden,
wenn kein AWP gegeben ist.


>  
> u'+tu=0  (hier ist mir aber kein Anfangswert gegeben)
>  
> Bei der Aufgabe steht dabei:
>  Es ist die allgemeine Lösung der angegebenen DGL als
> Potenzreihe mit dem Mittelpunkt 0 zu konstruieren.
>  
> Bedeutet das, dass mein AW [mm]x_{0}=0[/mm] also [mm]y_{0}(0)=0[/mm] ist?
>  


Nein. Das bedeutet, daß der Ansatz

[mm]u\left(t\right)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*t^{k}[/mm]

lautet.


> Danke
>  
> Beste Grüße
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Di 28.12.2010
Autor: Spirik

Vielleicht könntest du hier kurz drüber schauen:

u'+tu=0

[mm] u(t)=\summe_{k=1}^{\infty}a_{k}*t^{k} [/mm]

[mm] u'(t)=\summe_{k=1}^{\infty}k*a_{k}*t^{k-1} [/mm]

[mm] u(t)=a_{1}+2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3} [/mm]

[mm] u'(t)=a_{1}*t+a_{2}*t^{2}+a_{3}*t^{3}+a_{4}*t^{4} [/mm]

[mm] t=t_{0}+(t-t_{0}) [/mm]


  [mm] [a_{1}*t+a_{2}*t^{2}+a_{3}*t^{3}+a_{4}*t^{4}] [/mm]
- [mm] [a_{1}+2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3}]*[t_{0}+(t-t_{0}]=0 [/mm]

[mm] [[a_{1}*t]-[a_{1}*[t_{0}+(t-t_{0}]] [/mm]  +  [mm] [[a_{2}*t^{2}]-[2*a_{2}*t]*[t_{0}+(t-t_{0}]] [/mm]  +  [mm] [[a_{3}*t^{3}]-[3*a_{3}*t^{2}]*[t_{0}+(t-t_{0}]] [/mm]  +  [mm] [[a_{4}*t^{4}]-[4*a_{4}*t^{3}]*[t_{0}+(t-t_{0}]]=0 [/mm]


Und jetzt weiß ich nicht weiter ohne [mm] t_{0}. [/mm]

Kannst du mir helfen?

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Di 28.12.2010
Autor: abakus


> Vielleicht könntest du hier kurz drüber schauen:
>  
> u'+tu=0
>  
> [mm]u(t)=\summe_{k=1}^{\infty}a_{k}*t^{k}[/mm]
>  
> [mm]u'(t)=\summe_{k=1}^{\infty}k*a_{k}*t^{k-1}[/mm]
>  
> [mm]u(t)=a_{1}+2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3}[/mm]
>  
> [mm]u'(t)=a_{1}*t+a_{2}*t^{2}+a_{3}*t^{3}+a_{4}*t^{4}[/mm]

Hier hast du u und u' vertauscht.
Müsste die Potenzreihe nicht mit dem absoluten Glied beginnen? Du startest erst mit k=1 statt mit k=0.
Gruß Abakus

>  
> [mm]t=t_{0}+(t-t_{0})[/mm]
>  
>
> [mm][a_{1}*t+a_{2}*t^{2}+a_{3}*t^{3}+a_{4}*t^{4}][/mm]
>  -
> [mm][a_{1}+2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3}]*[t_{0}+(t-t_{0}]=0[/mm]
>  
> [mm][[a_{1}*t]-[a_{1}*[t_{0}+(t-t_{0}]][/mm]  +  
> [mm][[a_{2}*t^{2}]-[2*a_{2}*t]*[t_{0}+(t-t_{0}]][/mm]  +  
> [mm][[a_{3}*t^{3}]-[3*a_{3}*t^{2}]*[t_{0}+(t-t_{0}]][/mm]  +  
> [mm][[a_{4}*t^{4}]-[4*a_{4}*t^{3}]*[t_{0}+(t-t_{0}]]=0[/mm]
>  
>
> Und jetzt weiß ich nicht weiter ohne [mm]t_{0}.[/mm]
>  
> Kannst du mir helfen?


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Bezug
Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Di 28.12.2010
Autor: Spirik

Hab es ausgebessert:

u'+tu=0

[mm] u(t)=\summe_{k=1}^{\infty}a_{k}*t^{k} [/mm]

[mm] u'(t)=\summe_{k=1}^{\infty}k*a_{k}*t^{k-1} [/mm]
[mm] u(t)=a_{1}*t+a_{2}*t^{2}+a_{3}*t^{3}+a_{4}*t^{4} [/mm]
[mm] u'(t)=a_{1}+2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3} [/mm]

[mm] t=t_{0}+(t-t_{0}) [/mm]

[mm] [a_{1}+2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3}] [/mm]
-
[mm] [a_{1}*t+a_{2}*t^{2}+a_{3}*t^{3}+a_{4}*t^{4}]*[t_{0}+(t-t_{0}]=0 [/mm]

[mm] a_{1}-a_{1}*t*[t_{0}+(t-t_{0}] [/mm]  +  [mm] 2*a_{2}*t-a_{2}*t^{2}*[t_{0}+(t-t_{0}] [/mm]  +  [mm] 3*a_{3}*t^{2}-a_{3}*t^{3}*[t_{0}+(t-t_{0}] [/mm]  +  [mm] 4*a_{4}*t^{3}-a_{4}*t^{4}*[t_{0}+(t-t_{0}]=0 [/mm]

Mal abgesehen, dass k=0 vll. fehlt, wie muss ich weiter machen?

Bezug
                                        
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Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:27 Mi 29.12.2010
Autor: leduart

Hallo
du startest weiterhin u mit [mm] a_1 [/mm] statt [mm] a_0 [/mm] dadurch ist dein Ansatz falsch. [mm] u=a_0+a_1*t+... [/mm]
[mm] u'+u*t=a1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_0*t+a_1*t^2+...=0 [/mm]
und jetzt Koeffizientenvergleich:
mit dem richtigen bekommst du [mm] a_1=0; [/mm] für das einzige absolute Glied. danach [mm] a_0+2a_2= [/mm] 0 für den Faktor bei t usw.
gruss leduart


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Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:48 Mi 29.12.2010
Autor: Spirik

Habe es wieder ausgebessert:

u'+tu=0
  
[mm] u(t)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*t^{k} [/mm]
  
[mm] u'(t)=\summe_{k=0}^{\infty}k*a_{k}*t^{k-1} [/mm]
[mm] u(t)=a_{0}+a_{1}*t+a_{2}*t^{2}+a_{3}*t^{3}+a_{4}*t^{4} [/mm]
[mm] u'(t)=a_{1}+2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3} [/mm]
  
[mm] t=t_{0}+(t-t_{0}) [/mm] darf ich in meinem Fall t=t schreiben (weil ich kein AW hab)?
  
[mm] [a_{1}+2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3}] [/mm]
-
[mm] [a_{0}+a_{1}*t+a_{2}*t^{2}+a_{3}*t^{3}+a_{4}*t^{4}]*t=0 [/mm]

[mm] [a_{1}-a_{0}*t] [/mm]  +  [mm] [2*a_{2}*t-a_{1}*t*t] [/mm]  +  [mm] [3*a_{3}*t^{2}-a_{2}*t^{2}*t [/mm] usw = 0

Wenn ich jetzt das erste betrachte dann:

[mm] a_{1}-a_{0}*t=0 [/mm]
[mm] a_{1}=a_{0}*t [/mm]

Wie kommst Du darauf dass [mm] a_{1}=0 [/mm] ist?

Und stimmt das jetzt so bis hier hin?

Gruß

Und vielen vielen Dank für die Hilfe!!!


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Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Mi 29.12.2010
Autor: leduart

Hallo
wie kommst du denn auf
$ [mm] a_{1}-a_{0}\cdot{}t=0 [/mm] $
damit das Polynom für alle t 0 ist muss doch das absolute glied 0 sein, dann der Koeffizient von t, der von [mm] t^2 [/mm] usw.
$ [mm] a_{1}-a_{0}\cdot{}t=0 [/mm] $ kann zwar für ein [mm] t_1 [/mm]  0 sein wäre es dann aber für andere t nicht
Du hast nicht verstanden, was ein Koeffizientenvergleich ist.
auf der rechten Seite steht doch:
[mm] 0+0*t+0*t^2+... [/mm]
links [mm] a_1+(a_0+2a_2)*t+ (a_1+3a_3)*t^2+....... [/mm]
Gruss leduart


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Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Mi 29.12.2010
Autor: Spirik

Ich hab mich nochmal eingelesen und ich glaube jetzt habe ich den Koeffizientenvergleich verstanden.

u'+tu=0
  
[mm] u(t)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*t^{k} [/mm]
    
[mm] u'(t)=\summe_{k=0}^{\infty}k*a_{k}*t^{k-1} [/mm]

[mm] u(t)=0+a_{0}*t^{0}+a_{1}*t+a_{2}*t^{2}+a_{3}*t^{3}+a_{4}*t^{4} [/mm]

[mm] u'(t)=a_{0}+a_{1}*t^{0} +2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3} [/mm]


  
[mm] [a_{0}+a_{1}*t^{0} +2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3}]+ [/mm]

[mm] [0+a_{0}*t^{0}+a_{1}*t+a_{2}*t^{2}+a_{3}*t^{3}+a_{4}*t^{4}]*t=0 [/mm]

Ich würde jetzt das t rein multiplizieren und komme somit auf:

[mm] [a_{0}+a_{1}*t^{0}+2*a_{2}*t+3*a_{3}*t^{2}+4*a_{4}*t^{3}]+ [/mm]

[mm] [0*t+a_{0}*t^{1}+a_{1}*t^{2}+a_{2}*t^{3}+a_{3}*t^{4}+a_{4}*t^{5}]*t=0 [/mm]

[mm] a_{0}=-0*t [/mm]
[mm] a_{1}*t^{0}=-o*t [/mm]
[mm] 2*a_{2}*t=-a_{0}*t^{1} [/mm]

d.h. meine ganzen Koeffizienten werden 0. (egal ob ich t rein multipliziere oder nicht).

Wahrscheinlich stell ich mich sau blöd aber bitte helft mir.

Gruß

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Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Mi 29.12.2010
Autor: leduart

Hallo
Hast du wirklich mein post gelesen? nur weil bei dir [mm] a_0*t [/mm] und [mm] 2a_2*t [/mm] in ner anderen Klammer stehen kannst du sie doch nicht einzeln behandeln. in Wirklichkeit steht da doch [mm] (a_0+2a_2)*t=0 [/mm]  also [mm] a_0+2a_2=0 [/mm] daraus folgt nicht [mm] a_0=0 [/mm] und [mm] a_2=0 [/mm]
Gruss leduart


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Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Mi 29.12.2010
Autor: Spirik

[mm] a_{1}=0 [/mm]
[mm] a_{0}=-2a_{2} [/mm]
[mm] a_{2}=-\bruch{a_{0}}{2} [/mm]
[mm] a_{3}=0 [/mm]
[mm] a_{4}=\bruch{a_{0}}{8} [/mm]
[mm] a_{5}=0 [/mm]

Müsste stimmen (falls nicht kapier ich gar nix mehr). Wärst du so nett und würdest es kurz überprüfen?

Und wenn jetzt [mm] a_{0}=0 [/mm] ist alles 0.
Aber auf [mm] a_{0} [/mm] komm ich ja nicht ohne AW oder?

Gruß

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Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Mi 29.12.2010
Autor: MathePower

Hallo Spirik,

> [mm]a_{1}=0[/mm]
>  [mm]a_{0}=-2a_{2}[/mm]
>  [mm]a_{2}=-\bruch{a_{0}}{2}[/mm]
>  [mm]a_{3}=0[/mm]
>  [mm]a_{4}=\bruch{a_{0}}{8}[/mm]
>  [mm]a_{5}=0[/mm]
>  
> Müsste stimmen (falls nicht kapier ich gar nix mehr).
> Wärst du so nett und würdest es kurz überprüfen?


Ja, das stimmt.

Kannst Du auch ein Bildungsgesetz dazu angeben?


>  
> Und wenn jetzt [mm]a_{0}=0[/mm] ist alles 0.
>  Aber auf [mm]a_{0}[/mm] komm ich ja nicht ohne AW oder?


Du kannst aus der Potenzreihe dann das [mm]a_{0}[/mm] ausklammern.


>  
> Gruß


Gruss
MathePower

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Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Mi 29.12.2010
Autor: Spirik

So und nun hab ich schwierigkeiten dass ich auf [mm] a_{k} [/mm] bzw die Reihe komme :)

Wahrscheinlich würde ich mir leichter tun, wenn ich etwas Erfahrung hätte aber vll kann mir jemand von euch einen kleinen Gedankenanstoß geben.

Beste Grüße

PS: Vielen Dank an alle die mir geholfen haben!!!

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Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Mi 29.12.2010
Autor: MathePower

Hallo Spirik,

> So und nun hab ich schwierigkeiten dass ich auf [mm]a_{k}[/mm] bzw
> die Reihe komme :)
>  


Es ist doch

[mm]a_{2}=-\bruch{1}{2}*a_{0}=\left(-1\right)^{1}*\bruch{1}{2^{1}*1!}*a_{0}[/mm]

[mm]a_{4}=-\bruch{1}{4}*a_{4}=\left(-1\right)^{1}*\bruch{1}{2*2}*a_{2}=\left(-1\right)^{1}*\bruch{1}{2*2}*\left(-1\right)^{1}*\bruch{1}{2^{1}*1!}*a_{0}=\left(-1\right)^{2}*\bruch{1}{2^{2}*2!}*a_{0}[/mm]

Daher kann man vermuten, dass

[mm]a_{2k}=\bruch{\left(-1\right)^{k}}{2^{k}*k!}*a_{0}, \ k \in \IN[/mm]

Beweise nun die Vermutung anhand der gewonnenen Rekursionsformel.


> Wahrscheinlich würde ich mir leichter tun, wenn ich etwas
> Erfahrung hätte aber vll kann mir jemand von euch einen
> kleinen Gedankenanstoß geben.
>  
> Beste Grüße
>  
> PS: Vielen Dank an alle die mir geholfen haben!!!


Gruss
MathePower

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