Potenzreihenansatz DGL < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:47 Mo 02.07.2012 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Lösen Sie die DGL (x-1) y´ +y = 0
a) Finden Sie die allg. Lsg. in Form einer Potenzreihe um xo=0 (Entwicklungspunkt) und ermitteln Sie ihren Konvergenzradius. |
Hallo Zusammen,
ich habe die allg. bekannte Potenzreihe entsprechend der Ordnung der DGL abgeleitet und dann in die DGL eingesetzt. Die Indexverschiebung alles kein Problem.
Ist auch alles bis hier richtig.
(x-1)* [mm] \summe_{i=0}^{infty} [/mm] (n+1) * an+1 * [mm] x^n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{infty} [/mm] an * [mm] x^n=0
[/mm]
(infty soll das unendlichkeitszeichen darstellen, klappt irgendwie grad nicht. Und die Indizes nach a ( Also an soll nicht bedeutet a*n) ( Gemeint sind die Folgeglieder.)
Ich hätte gerne [mm] x^n [/mm] ausgeklammert um die Rekursionsformel zu bestimmen. Leider stört das (x-1) ! Durch welchen fällt dies weg um die Rekursionsformel zu betrachten ???
Die Rekursionsformel ist ja unabhängig von x .
Danke im Voraus. Hoffe jemand hat Zeit mir das jetzt zu erklären...
Gruß yuppi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mo 02.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Hat sich erledigt. Einfach x mit [mm] x^n [/mm] multiplizieren ;)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mo 02.07.2012 | | Autor: | yuppi |
So nun bin ich auf eure Hilfe angewiesen. Das ist der Punkt wo ich meist nicht mehr weiter komme.
Also. Ich bin kurz vor der Rekursionsformel:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} x^n [/mm] (an(n+1)-an+1(n+1)) +ao -a1=0
Nun kommt der Koeffizientenvergleich ??
(an(n+1)-an+1(n+1))=0
an+1= [mm] \bruch{an*(n+1)}{n+1}
[/mm]
an+1= an
Das sagt ja sozusagen, es liegt ein Zusammenhang zwischen den (n+1) Glied und den n-ten Glied vor.
Ab hier sehe ich leider Bahnhof. Wie soll ich ich nun weiter machen ? Um die Lsg. der DGL als Potenzreihe zu erhalten. Ab hier bräuchte ich eine ausführliche Erklärung....
Ist ein sehr wichtiges Klausurthema bei mir...
Danke im Voraus
yuppi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Mo 02.07.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo yuppi,
ich habe mal deine Formeln richtig gesetzt. Geh mit der Maus darüber, dann siehst du den Code, den du dazu eingeben musst.
> So nun bin ich auf eure Hilfe angewiesen. Das ist der Punkt
> wo ich meist nicht mehr weiter komme.
>
> Also. Ich bin kurz vor der Rekursionsformel:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} x^n[/mm] [mm](a_n(n+1)-a_{n+1}(n+1)) +a_0 -a_0=0[/mm]
Beim letzten Koeffizienten hast du dich vertippt, da muss [mm]a_0[/mm] stehen.
> Nun kommt der Koeffizientenvergleich ??
>
> [mm](a_n(n+1)-a_{n+1}(n+1))=0[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{a_n*(n+1)}{n+1}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}= a_n[/mm]
>
> Das sagt ja sozusagen, es liegt ein Zusammenhang zwischen
> den (n+1) Glied und den n-ten Glied vor.
>
> Ab hier sehe ich leider Bahnhof. Wie soll ich ich nun
> weiter machen ? Um die Lsg. der DGL als Potenzreihe zu
> erhalten. Ab hier bräuchte ich eine ausführliche
> Erklärung....
Du hast bisher alles richtig gemacht!
Du weißt, dass je zwei aufeinanderfolgende Koeffizienten gleich sein müssen, also [mm]a_{n+1}=a_n[/mm] für alle [mm]n[/mm]. D.h. [mm]a_0=a_1=a_2=\ldots =a_n =\ldots[/mm]
Deine Lösungsfunktion ist also [mm]y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_0 x^n=a_0 \sum_{n=0}^\infty x^n[/mm]. Für welche $x$ konvergiert denn diese Reihe? Für welche Funktion ist das die Reihenentwicklung?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Mo 02.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Erstmal danke für die Antwort,
Ich weiß es leider nicht...
Du hast doch nur als Lösungsfunktion einfach die allgemeine Potenzreihe aufgeschrieben oder nicht ?
Die Fragen die du mir gestellt hast, beschäftigen mich schon lange selbst. Ich habe leider keine Antwort darauf.
Wenn du mir das erklären würdest wäre das super. Ich würde dann mein Verständnis auf weitere Aufgaben ausprobieren, und dann schauen, ob ich es wirklich verstanden habe...
Hoffe hast noch ein bisschen Zeit.
Gruß yuppi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:03 Mo 02.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Erstmal danke für die Antwort,
Ich weiß es leider nicht...
Du hast doch nur als Lösungsfunktion einfach die allgemeine Potenzreihe aufgeschrieben oder nicht ?
Die Fragen die du mir gestellt hast, beschäftigen mich schon lange selbst. Ich habe leider keine Antwort darauf.
Wenn du mir das erklären würdest wäre das super. Ich würde dann mein Verständnis auf weitere Aufgaben ausprobieren, und dann schauen, ob ich es wirklich verstanden habe...
Hoffe hast noch ein bisschen Zeit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 02.07.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo zurück,
> Erstmal danke für die Antwort,
>
> Ich weiß es leider nicht...
>
> Du hast doch nur als Lösungsfunktion einfach die
> allgemeine Potenzreihe aufgeschrieben oder nicht ?
Jein, durch den Koeffizientenvergleich hast du doch die Eigenschaft [mm]a_{n+1}=a_n[/mm] rausgefunden. Sooo allgemein ist die Reihe damit nicht mehr 
> Die Fragen die du mir gestellt hast, beschäftigen mich
> schon lange selbst. Ich habe leider keine Antwort darauf.
>
> Wenn du mir das erklären würdest wäre das super. Ich
> würde dann mein Verständnis auf weitere Aufgaben
> ausprobieren, und dann schauen, ob ich es wirklich
> verstanden habe...
>
>
> Hoffe hast noch ein bisschen Zeit.
Klaro.
Also, wir sind uns einig,dass die Lösung der DGL [mm]y(x)=a_0\sum_{n=0}^\infty x^n[/mm] lautet...?
Der Einfachheit halber setzte ich mal [mm]\green{a_0=1}[/mm], also [mm]y(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n[/mm]. Diese Reihe konvergiert aber nicht für jedes beliebige x - für [mm]x=2[/mm] z.B. divergiert sie, denn die Summanden (und Partialsummen) werden immer größer und für [mm]n\to\infty[/mm] werden sie unendlich groß.
Überleg dir mal, welche Bedingung du an x stellen musst, damit eben das nicht passiert.
Damit wärst du dann eigentlich schon fertig (vergiss aber nicht das [mm] $a_0$). [/mm] Du kannst die (konvergente) Potenzreihe aber noch umschreiben (Stichwort: geometrische Reihe).
Lieben Gruß,
Fulla
Edit: danke, leduart. Es muss oben natürlich [mm] $a_0=0$ [/mm] heißen.
Edit2: Mist, ich meine natürlich [mm] $a_0=1$[/mm]
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:27 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tipfehler, statt [mm] a_0=1 [/mm] also f(0)=1 steht aus versehen da [mm] a_0=0
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 03.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Mir ist leider nicht klar wieso die Lsg. der DGl
$ [mm] y(x)=a_0\sum_{n=0}^\infty x^n [/mm] $ lautet.
Bzgl. der Konvergenz weiß ich leider auch nicht wie ich das zeige.
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Hallo yuppi,
> Mir ist leider nicht klar wieso die Lsg. der DGl
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> [mm]y(x)=a_0\sum_{n=0}^\infty x^n[/mm] lautet.
>
Mit der Rekursionsformel
[mm]a_{k+1}=a_{k}, \ k \in \IN_{0}[/mm]
folgt doch:
[mm]a_{n}=a_{n-1}= \ .... = a_{1}=a_{0}[/mm]
> Bzgl. der Konvergenz weiß ich leider auch nicht wie ich
> das zeige.
Es handelt sich hier um eine geometrische Reihe mit q=x,
deren Konvergenz ist bekannt.
Gruss
MathePower
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