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Forum "Folgen und Reihen" - Potenzreihenentwicklung
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Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:26 Fr 20.06.2008
Autor: Owen

Aufgabe
Es soll [mm] f(X)=\bruch{x}{x²+x-2} [/mm] zu einer Potenzreihe entwickelt werden und der Konvergenzradius bestimmt werden.

Hallo Leute,
also ich habe erstmal eine Partialbruchzerlegung des Nenners vorgenommen:
[mm] \bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-1} [/mm]

A= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] und [mm] B=\bruch{1}{3} [/mm]
Jetzt müsste ich dies an die geometrische Reihe anpassen, leider weiß ich nicht wie man das macht. Kann mir das jemand erklären?


        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 Fr 20.06.2008
Autor: fred97

Was ist bei dieser Aufgabe der Entwicklungspunkt der Potenzreihe ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Fr 20.06.2008
Autor: Owen

Hallo,
sorry hatte vergessen ihn anzugeben. Der Entwicklungspunkt ist [mm] x_{0}=0 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:03 Fr 20.06.2008
Autor: fred97


Du hast

$ [mm] \bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-1} [/mm] $
und
A und B hast Du berechnet.

Schreibe  1/(x+2) in der Form  0,5/(1+x/2)  und  1/(1+x) in der Form 1/(1-(-x)).
Beides kannst Du jetzt als geom. Reihe schreiben

FRED



Bezug
        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Fr 20.06.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Es soll [mm]f(X)=\bruch{x}{x²+x-2}[/mm] zu einer Potenzreihe
> entwickelt werden und der Konvergenzradius bestimmt
> werden.
>  Hallo Leute,
>  also ich habe erstmal eine Partialbruchzerlegung des
> Nenners vorgenommen:
>  [mm]\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-1}[/mm]
>  
> A= [mm]\bruch{2}{3}[/mm] und [mm]B=\bruch{1}{3}[/mm]
>  Jetzt müsste ich dies an die geometrische Reihe anpassen,
> leider weiß ich nicht wie man das macht. Kann mir das
> jemand erklären?

Du hast ja nun (ich habe es nicht nachgerechnet, daher hoffe ich, Deine Rechnung stimmt)

[mm] $f(x)=\blue{\frac{2}{3}*\frac{1}{x+2}}+\green{\frac{1}{3}*\frac{1}{x-1}}$ [/mm]  

Das ist im Prinzip die Summe zweier Potenzreihen (mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0=0$), [/mm] die Du dort stehen hast.  (Du siehst es nur vielleicht noch nicht direkt.)

Erinnere Dich an die Formel

[mm] $(\star)$ $\sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{1}{1-z}$ [/mm] für alle $|z| < 1$.

(Noch besser wäre es, Du machst Dir klar:

Die Potenzreihe [mm] $g(x):=\sum_{k=0}^\infty x^k$ [/mm] hat Konvergenzradius [mm] $\black{1}$ [/mm] und so gilt für alle $|x| < 1$ wegen [mm] $(\star)$ [/mm]

[mm] $g(x)=\frac{1}{1-x}$.) [/mm]

Nun nutze aus:

[mm] $\blue{\frac{2}{3}*\frac{1}{x+2}}=\frac{2}{3}*\frac{1}{2+x}=\frac{2}{3}*\frac{1}{2*\left(1+\frac{x}{2}\right)}$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{3}*\frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}$ [/mm]

Nun setze [mm] $z=-\frac{x}{2}$ [/mm] und guck' in [mm] $(\star)$ [/mm] (bzw. in das, was in der Klammer dahinter steht mit $g(x)=...$ etc.), um zu sehen, wie sich damit [mm] $\frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}$ [/mm] als Potenzreihe schreiben läßt und welchen Konvergenzradius diese Potenzreihe hat
(Beachte dabei: Die Potenzreihe in [mm] $z=-\frac{x}{2}$ [/mm] hat Konvergenzradius $1$ (also bzgl. $z$). Was heißt dass dann für zugehörige Potenzreihe in $x=-2z$? Welchen Konvergenzradius hat diese (bgl. $x$)?)

Und um [mm] $\frac{1}{3}*\frac{1}{x-1}$ [/mm] umzuformen:

[mm] $\frac{1}{3}*\frac{1}{x-1}=\;-\;\frac{1}{3}*\frac{1}{1-x}$ [/mm]

und nun wieder der Blick in [mm] $(\star)$. [/mm]

Am Ende:
[mm] $\black{f}$ [/mm] läßt sich schreiben als die Summe zweier Potenzreihen mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0=0$. [/mm] Die erste Potenzreihe dieser Summe hat Konvergenzradius [mm] $R_1=...$ [/mm] und die zweite Potenzreihe hat Konvergenzradius [mm] $R_2=...$ [/mm]
Für alle $x$ mit $|x| < [mm] R:=\min\{R_1,R_2\}$ [/mm] konvergieren also beide Potenzreihen rechterhand und daher gilt dann dort [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^\infty... x^k$ [/mm]
Für alle $|x| > R$ divergiert [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^\infty... x^k$, [/mm] weil dann ...
Also:
Wie sieht die Potenzreihenentwicklung von [mm] $\black{f}$ [/mm] nun aus und was ist [mm] $R=\min\{R_1,R_2\}$? [/mm]

P.S.:
Die $...$ solltest Du natürlich ergänzen ;-)

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 20.06.2008
Autor: Owen

Hallo Marcel, vielen Dank für die ausführliche Antwort :-)

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