Potenzreihenentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Sa 24.10.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | | Für die Funktion y = [mm] sin^3 [/mm] x gebe man die Potenzreihenentwicklung um den Ursprung an. Wie lautet das allgemeine Glied? Wie groß ist der Konvergenzradius? |
Hallo!
Ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und komme nicht recht weiter. Einerseits sagt mir "Potenzreihenentwicklung" nicht wirklich was und mit Taylor komme ich nicht richtig weiter.
f(x) = [mm] sin^3 [/mm] x
f'(x) = [mm] \bruch{d(sin^3(x))}{dx} [/mm] =
mit Kettenregel
= 3 * [mm] (sin(x))^2 [/mm] * cos(x)
f''(x) = 6 * sin(x) * [mm] (cos(x))^2 [/mm] - 3 [mm] (sin(x))^3
[/mm]
f'''(x) = (6 - [mm] 27*(sin(x))^2) [/mm] * cos(x)
f''''(x) = 3 * sin(x) * (9 * [mm] (sin(x))^2 [/mm] - 2) - 54 * [mm] sin(x)(cos(x))^2
[/mm]
f'''''(x) = (243 * [mm] (sin(x))^2 [/mm] - 60) * cos(x)
Der Ursprung ist 0, daher entwickelt man mit [mm] x_0 [/mm] = 0
f(0) = 0
f'(0) = 0
f''(0) = 0
f'''(0) = 6
f''''(0) = 0
f'''''(0) = -60
Die Potenzreihen sehen im Allgemeinen aber so aus:
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] (x - [mm] x_0)^i
[/mm]
Hier stehe ich also an.
Ich könnte die Form auch durch eine Tabelle lösen.
Sprich, ich sehe mir die Reihe für sin(x) an und wende gliedweise Multiplikation an. [mm] sin(x)^3 [/mm] = sin(x) * sin(x) * sin(x)
dann bekomme ich ein schönes Polynom heraus.
Der obige Weg muss aber auch funktionieren?
Wie geht es hier weiter? Wie bekomme ich das allgemeine Glied und wie bestimme ich den Konvergenzradius?
Vielen Dank für jede Hilfe - stehe hier wirklich schon länger an!
lg
Babapapa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für die Funktion y = [mm]sin^3[/mm] x gebe man die
> Potenzreihenentwicklung um den Ursprung an. Wie lautet das
> allgemeine Glied? Wie groß ist der Konvergenzradius?
> Hallo!
>
> Ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und komme nicht recht
> weiter. Einerseits sagt mir "Potenzreihenentwicklung" nicht
> wirklich was und mit Taylor komme ich nicht richtig
> weiter.
Benutze das Additionstheorem
[mm]\sin (3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x [/mm]
um [mm] $\sin^3 [/mm] x$ umzuformen. Für [mm] $\sin [/mm] x $ bzw. [mm] $\sin(3x)$ [/mm] nimmst du die bekannte Potenzreihenentwicklung
[mm] \sin x = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm]
> Wie geht es hier weiter? Wie bekomme ich das allgemeine
> Glied und wie bestimme ich den Konvergenzradius?
Mit der Formel von Cauchy-Hadamard: [mm] \bruch{1}{R} = \limsup_{n\to \infty} \wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 So 22.11.2009 | | Autor: | babapapa |
Hallo!
Ich habe mich wieder mal etwas mit diesen Reihenentwicklungen auseinandergesetzt.
Man kann ja auch folgendermaßen vorgehen:
[mm] (sin(x))^3 [/mm] = sin(x) * sin(x) * sin(x)
da die gliedweise Multiplikation ja erlaubt ist gilt dann
[mm] (sin(x))^2 [/mm] = sin(x) * sin(x) = (x - [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] x^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{120} [/mm] * [mm] x^5 [/mm] - [mm] \bruch{1}{5040} [/mm] * [mm] x^7) [/mm] * (x - [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] x^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{120} [/mm] * [mm] x^5 [/mm] - [mm] \bruch{1}{5040} [/mm] * [mm] x^7) [/mm] =
= [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] x^4 [/mm] + [mm] \bruch{2}{45} [/mm] * [mm] x^6 [/mm] -+...
und weiter
[mm] (sin(x))^3 [/mm] = [mm] (sin(x))^2 [/mm] * sin(x)
= [mm] (x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] x^4 [/mm] + [mm] \bruch{2}{45} [/mm] * [mm] x^6 [/mm] -+...) * (x - [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] x^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{120} [/mm] * [mm] x^5 [/mm] - [mm] \bruch{1}{5040} [/mm] * [mm] x^7) [/mm] =
= [mm] x^3 [/mm] - [mm] \bruch{x^5}{2} [/mm] +- ...
Nun wäre aber interessant, wie ich zum allgemeinen Glied komme. Ich habe da nämlich so meine Probleme :(
Kann man die Summenschreibweise von sin(x)
[mm] \sin [/mm] x = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm]
eigentlich auch für die Berechnung des allgemeinen Gliedes verwenden?
Sprich:
[mm] (\sin x)^3 [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
da alle die selben indexe haben
[mm] (\sin x)^3 [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
darf man das?
Jedoch komme ich nie auf ein gültiges allgemeines Glied :(
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Hallo babapapa,
wieso verwendest du nicht einen der (guten) dir beiden vorgeschlagenen Wege?
Schau' dir doch nochmal an, was MathePower und rainerS dir geschrieben haben!
Für deine Idee:
> Man kann ja auch folgendermaßen vorgehen:
>
> [mm](sin(x))^3[/mm] = sin(x) * sin(x) * sin(x)
> da die gliedweise Multiplikation ja erlaubt ist gilt dann
>
> [mm](sin(x))^2[/mm] = sin(x) * sin(x) = (x - [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]x^3[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{120}[/mm] * [mm]x^5[/mm] - [mm]\bruch{1}{5040}[/mm] * [mm]x^7)[/mm] * (x -
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]x^3[/mm] + [mm]\bruch{1}{120}[/mm] * [mm]x^5[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{5040}[/mm] * [mm]x^7)[/mm] =
> = [mm]x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]x^4[/mm] + [mm]\bruch{2}{45}[/mm] * [mm]x^6[/mm] -+...
>
> und weiter
>
> [mm](sin(x))^3[/mm] = [mm](sin(x))^2[/mm] * sin(x)
> = [mm](x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]x^4[/mm] + [mm]\bruch{2}{45}[/mm] * [mm]x^6[/mm] -+...)
> * (x - [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]x^3[/mm] + [mm]\bruch{1}{120}[/mm] * [mm]x^5[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{5040}[/mm] * [mm]x^7)[/mm] =
> = [mm]x^3[/mm] - [mm]\bruch{x^5}{2}[/mm] +- ...
>
> Nun wäre aber interessant, wie ich zum allgemeinen Glied
> komme. Ich habe da nämlich so meine Probleme :(
Eben, und genau das ist das Problem. Du bist effektiv genauso weit wie in deinem ersten Post. Man braucht hier gewisse Tricks, die dir zuhauf offeriert wurden.
> Kann man die Summenschreibweise von sin(x)
> [mm]\sin[/mm] x = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> eigentlich auch für die Berechnung des allgemeinen Gliedes
> verwenden?
> Sprich:
>
> [mm](\sin x)^3[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> * [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> * [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> da alle die selben indexe haben
>
> [mm](\sin x)^3[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> * [mm]\bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm] * [mm]\bruch{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> darf man das?
Nein, das darf man so natürlich nicht. Wenn du es aber (unbedingt) so ausprobieren möchtest, schau dir mal das ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produkt an, das gibt eine Möglichkeit, wie man zwei unendliche Reihen miteinander multiplizieren kann.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 So 22.11.2009 | | Autor: | babapapa |
Hi,
Naja effektiv. Ich halte mich strikt nach dem Lehr und Übungsbuch Mathematik 2 von Preuß. Dort wird es nämlich genau so gemacht, wie ich hier vorgehe. Außerdem gehe ich analog zu meinem Vorposter vor (ich verwende lediglich sin(x) und mein Vorposter sin(3x) und sin(x))
Nun die Berechnung der Potenzen von sin(3x) und sin(x) sollte auf das selbe hinauslaufen. Hier ginge es dann auch um das allgemeine Glied.
Aber ich nehme mir deinen Rat zu Herzen - ich probiere den Ansatz mit sin(3x) und sin(x) - vielleicht komme ich hier leichter auf das allgemeine Glied.
Danke auch für den anderen Hinweis mit den unendlichen Reihen!
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Hallo babapapa,
> Für die Funktion y = [mm]sin^3[/mm] x gebe man die
> Potenzreihenentwicklung um den Ursprung an. Wie lautet das
> allgemeine Glied? Wie groß ist der Konvergenzradius?
> Hallo!
>
> Ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und komme nicht recht
> weiter. Einerseits sagt mir "Potenzreihenentwicklung" nicht
> wirklich was und mit Taylor komme ich nicht richtig
> weiter.
>
> f(x) = [mm]sin^3[/mm] x
> f'(x) = [mm]\bruch{d(sin^3(x))}{dx}[/mm] =
> mit Kettenregel
> = 3 * [mm](sin(x))^2[/mm] * cos(x)
> f''(x) = 6 * sin(x) * [mm](cos(x))^2[/mm] - 3 [mm](sin(x))^3[/mm]
> f'''(x) = (6 - [mm]27*(sin(x))^2)[/mm] * cos(x)
> f''''(x) = 3 * sin(x) * (9 * [mm](sin(x))^2[/mm] - 2) - 54 *
> [mm]sin(x)(cos(x))^2[/mm]
> f'''''(x) = (243 * [mm](sin(x))^2[/mm] - 60) * cos(x)
>
> Der Ursprung ist 0, daher entwickelt man mit [mm]x_0[/mm] = 0
>
> f(0) = 0
> f'(0) = 0
> f''(0) = 0
> f'''(0) = 6
> f''''(0) = 0
> f'''''(0) = -60
>
> Die Potenzreihen sehen im Allgemeinen aber so aus:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_i[/mm] (x - [mm]x_0)^i[/mm]
>
> Hier stehe ich also an.
>
> Ich könnte die Form auch durch eine Tabelle lösen.
> Sprich, ich sehe mir die Reihe für sin(x) an und wende
> gliedweise Multiplikation an. [mm]sin(x)^3[/mm] = sin(x) * sin(x) *
> sin(x)
>
> dann bekomme ich ein schönes Polynom heraus.
> Der obige Weg muss aber auch funktionieren?
>
Es ist
[mm]f\left(x\right)=\sin^{3}\left(x\right)[/mm]
[mm]f'\left(x\right)=3*\sin^{2}\left(x\right)*\cos\left(x\right)[/mm]
Mit dem trigonometrischen Pythagoras folgt:
[mm]f'\left(x\right)=3*\cos\left(x\right)-3*\cos^{3}\left(x\right)[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]f''\left(x\right)=-3*\sin\left(x\right)+9*\cos^{2}\left(x\right)*\sin\left(x\right)[/mm]
Nochmalige Anwendung des trigonometrischen Pythagoras liefert:
[mm]f''\left(x\right)=6*\sin\left(x\right)-9*\sin^{3}\left(x\right)[/mm]
[mm]\gdw f''\left(x\right)=6*\sin\left(x\right)-9*f\left(x\right)[/mm]
Dies differenzierst Du und hast damit eine
Rekursionsformel für die Ableitungen gefunden.
>
> Wie geht es hier weiter? Wie bekomme ich das allgemeine
> Glied und wie bestimme ich den Konvergenzradius?
>
> Vielen Dank für jede Hilfe - stehe hier wirklich schon
> länger an!
>
> lg
> Babapapa
Gruss
MathePower
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