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| Aufgabe | Finden Sie die die ersten drei nicht-null Terme der Potenzreihenentwicklung der folgenden Funktionen:
[mm] a)exp((1+x^3)^{1/2})
[/mm]
b) log(1+log(1+x)) |
Hi,
also die erste sollte eigentlich kein großes Problem sein. Die Potenzreihe von [mm] e^{x} [/mm] konvergiert für alle x also kann ich schonmal schreiben:
[mm] exp((1+x^3)^{1/2})=1+(1+x^3)^{1/2}+\bruch{((1+x^3)^{1/2})^2}{2!}+\bruch{((1+x^3)^{1/2})^3}{3!}+...
[/mm]
So [mm] (1+x^3)^{1/2} [/mm] kann ich nach dem binomischen Lehrsatz auch entwickeln, da [mm] x^3 [/mm] auch klein ist für kleine x, also erhalte ich dafür:
[mm] (1+x^3)^{1/2}=1+\bruch{1}{2}*x^3+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}*\bruch{-1}{2}*x^6+\bruch{1}{6}*\bruch{1}{2}*\bruch{-1}{2}*\bruch{-3}{2}*x^9+...
[/mm]
Jetzt würde ich das in die potenzreihenentwicklung von exp(...) einsetzen, das problem ist aber, dass mir Maple als antwort etwas mit e's gibt, da soll also die eulersche Zahl mit drin stecken, darauf komme ich mit meinem Lösungsweg irgendwie nicht... Mache ich was falsch ?
Zu b)
Hier würde ich schreiben log(1+x)=X und dann log(1+X) entwicklen, danach für X die Potenzreihe für log(1+x) einsetzen. Geht das, oder muss ich hier was beachten ?
Dazu noch eine etwas allgemeinere Frage, mein Professor hat uns als "goldene Regel" gesagt: "Never expand into things which aren't small" also man soll nie Funktionen entwickeln, die nicht "klein" sind für kleine x. Wie genau habe ich das zu verstehen ? Bei exp(x) oder sin(x), cos(x) ist das doch eigentlich wurst oder ? die konvergieren doch für alle x...
Lg
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Hallo!
Wenn du [mm] \sqrt{1+x^3} [/mm] um x=0 entwickelst, so bekommst du einen Term [mm] 1+\mathcal{O}(x)
[/mm]
Einsetzen liefert also
[mm] e^{\sqrt{1+x^3}}\approxe^{1+\mathcal{O}(x)}=e*e^{\mathcal{O}(x)}
[/mm]
Hier bekommst du also plötzlich einen Faktor e in deine nun folgende Reihenentwicklung.
Generell sollte ja die Reihenentwiclung am Entwicklungspunkt genau gleich der Funktion sein, und erst mit der Entfernung sollte die Differenz größer werden. Da die Wurzel für kleine x Werte um 1 liefert, muß die exp-Funktion um x=1 entwickelt werden.
Das mit den Logarithmen geht so in Ordnung.
Was dein Prof da meint, ist mir auch nicht völlig klar, aber vermutlich meint er genau das, was dir da mit der e-Funktion passiert ist.
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Hi,
danke für deine schnelle Antwort.
> Hallo!
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> Wenn du [mm]\sqrt{1+x^3}[/mm] um x=0 entwickelst, so bekommst du
> einen Term [mm]1+\mathcal{O}(x)[/mm]
>
> Einsetzen liefert also
>
> [mm]e^{\sqrt{1+x^3}}\approxe^{1+\mathcal{O}(x)}=e*e^{\mathcal{O}(x)}[/mm]
[mm] e^{\sqrt{1+x^3}}\approxe^{1+\mathcal{O}(x)}
[/mm]
Wo ziehst du denn hier die wurzel vor der 1 aus dem hut ? Ich dachte die wurzel wäre schon entwickelt worden...
> Hier bekommst du also plötzlich einen Faktor e in deine
> nun folgende Reihenentwicklung.
>
> Generell sollte ja die Reihenentwiclung am
> Entwicklungspunkt genau gleich der Funktion sein, und erst
> mit der Entfernung sollte die Differenz größer werden. Da
> die Wurzel für kleine x Werte um 1 liefert, muß die
> exp-Funktion um x=1 entwickelt werden.
>
> Das mit den Logarithmen geht so in Ordnung.
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> Was dein Prof da meint, ist mir auch nicht völlig klar,
> aber vermutlich meint er genau das, was dir da mit der
> e-Funktion passiert ist.
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Hi,
>
> danke für deine schnelle Antwort.
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> > Hallo!
> >
> > Wenn du [mm]\sqrt{1+x^3}[/mm] um x=0 entwickelst, so bekommst du
> > einen Term [mm]1+\mathcal{O}(x)[/mm]
> >
> > Einsetzen liefert also
> >
> >
> [mm]e^{\sqrt{1+x^3}}\approxe^{1+\mathcal{O}(x)}=e*e^{\mathcal{O}(x)}[/mm]
>
> [mm]e^{\sqrt{1+x^3}}\approxe^{1+\mathcal{O}(x)}[/mm]
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> Wo ziehst du denn hier die wurzel vor der 1 aus dem hut ?
> Ich dachte die wurzel wäre schon entwickelt worden...
Da hat mein Vorredner das Richtige gemeint,
bei der Formatierung im Formeleditor ist dann etwas schief gegangen.
Hier ist
[mm]e^{\sqrt{1+x^3}} \approx e^{1+\mathcal{O}(x)}=e*e^{\mathcal{O}(x)}[/mm]
gemeint.
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> > Hier bekommst du also plötzlich einen Faktor e in deine
> > nun folgende Reihenentwicklung.
> >
> > Generell sollte ja die Reihenentwiclung am
> > Entwicklungspunkt genau gleich der Funktion sein, und erst
> > mit der Entfernung sollte die Differenz größer werden. Da
> > die Wurzel für kleine x Werte um 1 liefert, muß die
> > exp-Funktion um x=1 entwickelt werden.
> >
> > Das mit den Logarithmen geht so in Ordnung.
> >
> >
> > Was dein Prof da meint, ist mir auch nicht völlig klar,
> > aber vermutlich meint er genau das, was dir da mit der
> > e-Funktion passiert ist.
>
>
> Lg
Gruss
MathePower
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