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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mi 18.08.2010 | | Autor: | NooBPooB |
| Aufgabe 1 | | Bestimmen sie die Potenzreihenentwicklung um x=0 für die Funktion [mm] $f(x)=2^{2x^2}$ [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{9^n}\cdot{}x^{2n}$ [/mm] |
Zu Aufgabe 1 :Ich weiß leider garnicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Ich könnte eine Potenzreihe mit Grad 3 oder 4 anhand der Taylor-Entwicklung aufstellen, aber wie ich hier eine Potenzreihe aufstellen soll weiß ich leider garnicht :(.
Zu Aufgabe 2 : Hier habe ich ein kleines Verständnisproblem... Zuerst substituiere ich ja [mm] $x^{2n}$ [/mm] zu [mm] $y^n$ [/mm] und rechne den Konvergenzradius aus.
Dieser ist bei dieser einfachen Potzenreihe dann $R=[-9/4;9/4]$.
Wenn ich jetzt Rücksubstituiere, würde ich ja die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Sprich [mm] $x^2= -\frac{9}{4}$. [/mm] Oder steht das [mm] $\frac{9}{4}$ [/mm] sozusagen im Betrag, so dass ich gleich sagen kann, dass der Radius [mm] $\left[-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right]$ [/mm] ist?
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Hallo,
sooo, nachdem ich nun einigen Minuten rumeditiert habe, hier direkt mein Senf dazu 
> Bestimmen sie die Potenzreihenentwicklung um x=0 für die
> Funktion [mm]f(x)=2^{2x^2}[/mm]
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{9^n}\cdot{}x^{2n}[/mm]
> Zu
> Aufgabe 1 :Ich weiß leider garnicht wie ich an diese
> Aufgabe rangehen soll. Ich könnte eine Potenzreihe mit
> Grad 3 oder 4 anhand der Taylor-Entwicklung aufstellen,
> aber wie ich hier eine Potenzreihe aufstellen soll weiß
> ich leider garnicht :(.
Du kannst dir die (mit Sicherheit bekannte) Darstellung der Exponentialfunktion als Potenzreihe zunutze machen.
Bedenke, dass du für $a>0$ schreiben kannst [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Also [mm] $2^{2x^2}=e^{2x^2\cdot{}\ln(2)}$
[/mm]
>
> Zu Aufgabe 2 : Hier habe ich ein kleines
> Verständnisproblem... Zuerst substituiere ich ja [mm]x^{2n}[/mm] zu
> [mm]y^n[/mm] und rechne den Konvergenzradius aus.
> Dieser ist bei dieser einfachen Potzenreihe dann
> [mm] $R=\left[-\frac{9}{4};\frac{9}{4}\right]$. [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich jetzt Rücksubstituiere, würde ich ja die Wurzel
> aus einer negativen Zahl ziehen. Sprich [mm]x^2= -\frac{9}{4}[/mm].
Das ist Unfug ... [mm] $x^2$ [/mm] ist stets [mm] $\ge [/mm] 0$ !
> Oder steht das [mm]\frac{9}{4}[/mm] sozusagen im Betrag, so dass ich
> gleich sagen kann, dass der Radius
> [mm]\left[-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right][/mm] ist?
Die Reihe in y konvergiert für [mm] $|y|<\frac{9}{4}$, [/mm] also für [mm] $\left|x^2\right|=x^2<\frac{9}{4}$
[/mm]
Bedenke, dass [mm] $\sqrt{x^2}=|x|$ [/mm] ist !!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 18.08.2010 | | Autor: | NooBPooB |
Ich weiß zwar, dass [mm] e^x [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} x^k/k! [/mm] ist, aber irgendwie verstehe ich nicht wie ich das jetzt auf meine Aufgabe anwenden kann...
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Hallo nochmal,
> Ich weiß zwar, dass [mm]e^x[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} x^k/k![/mm]
Das stimmt nicht, was ist das für ein Laufindex da??
Für jedes $z$ ist [mm] $e^{z}=\sum\limits^{\infty}_{\red{k=0}}\frac{z^k}{k!}$
[/mm]
Insbesondere für [mm] $z=2x^2\cdot{}\ln(2)$:
[/mm]
[mm] $2^{2x^2}=e^{2x^2\cdot{}\ln(2)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(2x^2\cdot{}\ln(2))^k}{k!}$
[/mm]
Nun fasse das noch ein bisschen schön zusammen ...
Gruß
schachuzipus
> ist, aber irgendwie verstehe ich nicht wie ich das jetzt auf
> meine Aufgabe anwenden kann...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 18.08.2010 | | Autor: | NooBPooB |
Mit Zusammenfassen denke ich du meinst das x rausholen, so dass [mm] x^k [/mm] dasteht.
Dann probiere ich das mal.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] = ((2*ln(2))^(k/2) [mm] *x^k [/mm] )/(k!/2)
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Hallo nochmal,
> Mit Zusammenfassen denke ich du meinst das x rausholen, so
> dass [mm]x^k[/mm] dasteht.
Hier dann eher [mm] $x^{2k}$
[/mm]
> Dann probiere ich das mal.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] = ((2*ln(2))^(k/2) [mm]*x^k[/mm] )/(k!/2)
Wo kommen die "Halbe" her?
Ich meinte es so: [mm] $\ldots=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(2\cdot{}\ln(2))^k}{k!}\cdot{}x^{2k}$ [/mm] oder [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{2^k\cdot{}\ln^k(2)}{k!}\cdot{}x^{2k}$ [/mm] (einfach Potenzgesetze angewendet)
Übrigens kannst du den Quellcode für die Formeln sehen, wenn du auf meine klickst oder im Formeleditor unterhalb des Eingabefensters mal schaust.
Versuche dich mal am Formeleditor, das ist echt besser zu lesen ...
Gruß
schachuzipus
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