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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Potenzreihenentwicklung
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Potenzreihenentwicklung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Sa 25.09.2010
Autor: LadyA

Aufgabe
Entwickeln Sie [mm] 1/z^2 [/mm] in z=1 in eine Potenzreihe.

Hallo Leute,

ich habe irgendwie eine ganz dumme Frage, aber komme einfach nicht weiter, würde mich freuen wenn mir jemand mal auf die sprünge helfen könnte.

Also um den Koeffizienten der Potenzreihe auszurechen benutze ich diese Formel [mm] a_{v}= [/mm] (1/v!) [mm] (1/z^2)^v. [/mm]  Nun muss ich die v-te Ableitung von [mm] (1/z^2)^v [/mm] berechnen.

Ich habe auch schon die Lösung, die da lautet
[mm] (1/z^2)^v= ((-1)^v) [/mm] (v+1)! (1/z^(v+2))

Ich komme durch meine Rechnungen: 1.Ableitung : [mm] -2/z^3 [/mm]
2.Ableitung : [mm] 6/z^4 [/mm]
3.Ableitung : [mm] -24/z^5 [/mm]

mehr hab ich nicht gemacht, diese deuten ja auf das (1/z^(v+2)) in der Ableutung.

Aber wie kommt man auf den ersten Teil der Ableitung also:

[mm] ((-1)^v) [/mm] (v+1)! (1/z^(v+2))  

obwohl das mit der [mm] (-1)^v [/mm] kann ich mir ja schon denken, weil wie es aussieht gibt es bei jeder Ableitung einen Vorzeichenwechsel....
Aber wieso die (v+1)! ??????????

Vielen Dank im voraus

        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Sa 25.09.2010
Autor: abakus


> Entwickeln Sie [mm]1/z^2[/mm] in z=1 in eine Potenzreihe.
>  Hallo Leute,
>
> ich habe irgendwie eine ganz dumme Frage, aber komme
> einfach nicht weiter, würde mich freuen wenn mir jemand
> mal auf die sprünge helfen könnte.
>
> Also um den Koeffizienten der Potenzreihe auszurechen
> benutze ich diese Formel [mm]a_{v}=[/mm] (1/v!) [mm](1/z^2)^v.[/mm]  Nun muss
> ich die v-te Ableitung von [mm](1/z^2)^v[/mm] berechnen.
>  
> Ich habe auch schon die Lösung, die da lautet
>   [mm](1/z^2)^v= ((-1)^v)[/mm] (v+1)! (1/z^(v+2))
>
> Ich komme durch meine Rechnungen: 1.Ableitung : [mm]-2/z^3[/mm]
>  2.Ableitung : [mm]6/z^4[/mm]
>  3.Ableitung : [mm]-24/z^5[/mm]
>  
> mehr hab ich nicht gemacht, diese deuten ja auf das
> (1/z^(v+2)) in der Ableutung.
>  
> Aber wie kommt man auf den ersten Teil der Ableitung also:
>
> [mm]((-1)^v)[/mm] (v+1)! (1/z^(v+2))
>  
> obwohl das mit der [mm](-1)^v[/mm] kann ich mir ja schon denken,
> weil wie es aussieht gibt es bei jeder Ableitung einen
> Vorzeichenwechsel....
>  Aber wieso die (v+1)! ??????????

Hallo,
dann schau dir mal genau die Faktoren
2=2*1
6=3*2*1
24=4*3*2*1
...
an.
Gruß Abakus

>  
> Vielen Dank im voraus


Bezug
        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Sa 25.09.2010
Autor: fred97

Es ist

[mm] \bruch{1}{z}= \bruch{1}{1-(1-z)}= \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-1)^n [/mm]

Für [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm]  berechne das Cauchyprodukt der obigen rechten Reihe  mit sich selbst

FRED

Bezug
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