Potenzreihenentwicklungen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mo 17.05.2010 | | Autor: | sys1980s |
| Aufgabe | Es sollen die Potenzreihenentwicklungen (x = [mm] x_{0} [/mm] = 0) bis zum Glied [mm] c_{4}x^4 [/mm] von folgenden Funktionen bestimmt werden. Man benutze bekannte Potenzreihenentwicklungen elementarer Funktionen:
a) [mm] \bruch{2x}{ln(1+x)}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1+x}{1+cos(2x)} [/mm] |
Hierzu nun folgende Frage, am Beispiel der a):
2x bedarf keiner Ersetzung, ln(1+x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{k}x^k
[/mm]
Für die ersten vier Glieder also 2x * (x - [mm] x^2/2 [/mm] - [mm] x^3/3 [/mm] + [mm] x^4/4 [/mm] - [mm] ...)^{-1}
[/mm]
Ganz egal, wie ich es herumrechne, ich behalte immer die Summe im Nenner. Gibt es eine elegante Möglichkeit, das so rumzudrehen, dass ich auf den in der Lösung genannten Term [mm] 2+x-(1/6)x^2+1/12x^3-19/360x^4 [/mm] komme?
Bei der b) erhalte ich mittels Einsetzen von [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}(2x)^{2k} [/mm] für cos(2x) auch wieder die Summe im Nenner.
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Hallo sys1980s,
> Es sollen die Potenzreihenentwicklungen (x = [mm]x_{0}[/mm] = 0) bis
> zum Glied [mm]c_{4}x^4[/mm] von folgenden Funktionen bestimmt
> werden. Man benutze bekannte Potenzreihenentwicklungen
> elementarer Funktionen:
> a) [mm]\bruch{2x}{ln(1+x)}[/mm]
> b) [mm]\bruch{1+x}{1+cos(2x)}[/mm]
> Hierzu nun folgende Frage, am Beispiel der a):
>
> 2x bedarf keiner Ersetzung, ln(1+x) = [mm]\summe_{k=1}{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{k}x^k[/mm]
>
> Für die ersten vier Glieder also 2x * (x - [mm]x^2/2[/mm] - [mm]x^3/3[/mm] +
> [mm]x^4/4[/mm] - [mm]...)^{-1}[/mm]
>
> Ganz egal, wie ich es herumrechne, ich behalte immer die
> Summe im Nenner. Gibt es eine elegante Möglichkeit, das so
> rumzudrehen, dass ich auf den in der Lösung genannten Term
> [mm]2+x-(1/6)x^2+1/12x^3-19/360x^4[/mm] komme?
Eine Idee ist, das mit dem Cauchy-Produkt auszurechnen.
Hier ist der Quotient zweier Potenzreihen zu bilden:
[mm]\bruch{\summe_{}^{}{a_{k} x^{k}}}{\summe_{}^{}{b_{l} x^{l}}}=\summe_{}^{}{c_{m} x^{m}}[/mm]
Dabei ist [mm]\summe_{}^{}{c_{m} x^{m}}[/mm] die gesuchte Potenzreihe
Umgeformt ergibt das:
[mm]\summe_{}^{}{a_{k} x^{k}}=\summe_{}^{}{c_{m} x^{m}}\summe_{}^{}{b_{l} x^{l}}[/mm]
Hieraus kannst Du dann durch Koeffizientenvergleich die
Koeffizienten der gesuchten Potenzreihe ermitteln.
>
> Bei der b) erhalte ich mittels Einsetzen von
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}(2x)^{2k}[/mm] für
> cos(2x) auch wieder die Summe im Nenner.
Hier dasselbe Vorgehen wie unter a).
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 17.05.2010 | | Autor: | sys1980s |
Tut mir leid, aber das verstehe ich nicht.
Die Reihe [mm] \summe_{}^{}{c_{m} x^{m}} [/mm] ist ja am Ende die aus der Lösung. Natürlich sollte ich die nicht kennen, also kann ich sie auch nicht irgendwo einsetzen. Leider!
Die Reihe [mm] \summe_{}^{}{b_{l} x^{l}} [/mm] wäre meine Reihendarstellung für ln(1+x). Aber was mache ich aus den 2x, um auf [mm] \summe_{}^{}{a_{k} x^{k}} [/mm] zu kommen? Und wie kann ich die Laufindizes k, l und m bestimmen? Leider steh ich noch immer ziemlich auf dem Schlauch.
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Hallo,
Du bildest das Cauchyprodukt und gehst dann alle Potenzen von x durch:
[mm] \summe_{m=0}^{\infty}{c_{m} x^{m}}*\summe_{k=0}^{\infty}{a_{k} x^{k}}=\summe_{m=0}^{\infty}{x^{m}*(\summe_{k=0}^{m}{c_{m-k}*a_k})}=\summe_{l=0}^{\infty}{b_{l} x^{l}}
[/mm]
2x .... bleibt 2x. Jetzt musst du es nurnoch hinschreiben.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Di 18.05.2010 | | Autor: | sys1980s |
Ich versteh es immer noch nicht. Mein Problem ist (oder scheint) doch zu sein, dass ich eben kein Produkt habe, weil meine Reihe ja nicht [mm] \summe_{k=1}^{\infty}{(-1)^{k+1}\bruch{x^k}{k}} [/mm] lautet und unter dem Bruchstrich steht. Und wie kann ich aus 2x eine Potenzreihe machen?
Ich steh offensichtlich total aufm Schlauch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Di 18.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sys!
Zunächst zu dem $2*x_$ . Dies kannst Du doch auch schreiben als:
$$2*x \ = \ [mm] 0*x^0+2*x^1+0*x^2+0*x^3+0*x^4+...$$
[/mm]
> Mein Problem ist (oder scheint) doch zu sein, dass ich eben kein Produkt
> habe, weil meine Reihe ja nicht [mm]\summe_{k=1}^{\infty}{(-1)^{k+1}\bruch{x^k}{k}}[/mm] lautet und
> unter dem Bruchstrich steht.
Deshalb sollst Du das ja umformen. Beispiel:
[mm] $$\bruch{a}{b} [/mm] \ = \ x \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ a \ = \ b*x$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Mi 19.05.2010 | | Autor: | sys1980s |
Herzlichen Dank allen die mir geholfen haben. Die Methode des Koeffizientenvergleichs war mir entweder nicht oder nicht mehr geläufig. Auf jeden Fall führt sie mit dem Cauchy-Produkt zum Ergebnis, so dass ich nun auch die Musterlösung nachvollziehen kann.
Dann werd ich morgen gleich mal mein Glück mit der b) versuchen.
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