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Potenzsumme: Tipps
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:34 So 05.11.2006
Autor: kampfsocke

Aufgabe
a) Beweisen Sie für die Potenzsumme

[mm] S_{n}^{p}:=\summe_{k=0}^{n}k^{p} (n,p\in\IN) [/mm]

die von Pascel stammende Identität

[mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k} S_{n}^{k} [/mm] = [mm] (n+1)^{p+1}-1 [/mm]

Hallo allerseits.
Da ist mal wieder eine Übungsaufgabe, und ich komme nicht weiter.
Bin für Tipps und Hinweise sehr dankbar!

Hier kommt mein Ansatz:

Habe erst mal versucht die einzelnen Terme so umzuformen, das ich vielleicht einen Lösungsweg sehe:

[mm] \vektor{p+1 \\ k}=\bruch{(p+1)!}{(p+1-k)!*k!)}=\bruch{(p+1)*p!)}{(p+1-k)(p-k)!k!}=\bruch{p+1}{p+1-k}\vektor{p \\ k} [/mm]

[mm] (n+1)^{p+1}-1=\summe_{k=0}^{p+1}\vektor{p \\ k}*n^{p+1-k}*1^{k}-1=\summe_{k=0}^{p+1}\vektor{p \\ k}*n^{p+1-k}-1 [/mm]
(gilt nach Binomischem Lehrsatz)

zusammengefasst wäre das:

[mm] \summe_{k=1}^{p}\bruch{p+1}{p+1-k}\vektor{p \\ k} [/mm]  *  [mm] \summe_{k=0}^{n}k^{k} [/mm]  =  [mm] \summe_{k=0}^{p+1}\vektor{p \\ k}*n^{p+1-k}-1 [/mm]

Das sieht alles schon sehr ähnlich aus, aber ich komme nicht weiter.
Es wäre super, wenn mir jemand helfen kann.

Danke, viele Grüße,
Sara

        
Bezug
Potenzsumme: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 07.11.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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