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Preisentwicklung WMaß: Idee, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Fr 10.01.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Sei [mm] \Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\} [/mm] und T=2. Man betrachte die Preisentwicklung eines Wertpapiers A, z.B. einer Aktie. Diese wurde zum Preis von 5 gekauft. Für sie gilt:
[mm] S_{0,A}=5 [/mm]
[mm] S_{1,A}=8 [/mm] auf [mm] \{\omega_1,\omega_2\} [/mm] und [mm] S_{1,A}=4 [/mm] auf [mm] \{\omega_3,\omega_4\} [/mm]
[mm] S_{2,A}=9 [/mm] auf [mm] \{\omega_1\},S_{2,A}=6 [/mm] auf [mm] \{\omega_2,\omega_3\}, [/mm]
[mm] S_{2,A}=3 [/mm] auf [mm] \{\omega_4\}. [/mm]

Es muss keine Diskontierung beachtet werden.
1. Man bestimme die entsprechende Filtration.
2. Man bestimme ein äquivalentes risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß.

1.)
D.h. die Partitionen [mm] \mathcal{P} [/mm] bestehen aus:
[mm] \mathcal{P}_0 =\Omega [/mm]
[mm] \mathcal{P}_1=\{\{\omega_1,\omega_2\},\{\omega_3,\omega_4\}\} [/mm]
[mm] \mathcal{P}_2=\{\{\omega_1\},\{\omega_2\,\omega_3\},\{\omega_4\}\} [/mm]

Die Filtration [mm] \mathcal{F} [/mm] aus:
[mm] \mathcal{F}_0=\{\emptyset,\Omega\} [/mm]
[mm] \mathcal{F}_1=\{\emptyset,\Omega , \{\omega_1,\omega_2\},\{\omega_3,\omega_4\}\} [/mm]
[mm] \mathcal{F}_2=\{\emptyset,\Omega,\{\omega_1\},\{\omega_2,\omega_3\},\{\omega_4\},\{\omega_2,\omega_3,\omega_4\},\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\},\{\omega_1,\omega_4\}\} [/mm]

2.)
risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß:
Eine kurzer Eintrag der Definitionen:
Finanzmarktmodell [mm] \mathcal{M}=(\Omega,\mathcal{F},P,\tau,\mathcal{S}). [/mm]
WMaß Q auf [mm] (\Omega,\mathcal{F}) [/mm] heißt risikoneutrales Maß, falls:
1. P ~ Q,
2. [mm] E_Q[S_{t+1,i}|\mathcal{F}_t]=S_{t,i} [/mm] für t=0,1,...,N-1 und i=1,...,n

(Normalerweise S diskontiert mit Überstrich, aber nach Aufgabenstellung unrelevant). Aktuell habe ich es so gemacht:

[mm] E_Q[S_{1,1}|\{\emptyset,\Omega\}]=P(\{\omega_1,\omega_2\})*8+P(\{\omega_3,\omega_4\})*4=5=S_{0,1} [/mm]

d.h. [mm] p^{\*}*8+(1-p^{\*})*4=5 \gdw 4p^{\*}=1 \gdw p^{\*}=0,25 [/mm]

Dies stellt allerdings nur ein 1-Periodenmodell dar.

Meine Fragen:
1. Handelt es sich beim Wahrscheinlichkeitsmaß um einen Vektor (mit Anzahl
der Elemente nach notwendigen Q)

Ich würde nun folgendes machen (man verzeihe mir das schnellere Aufschreiben):

5=8*(Q(w1)+Q(w2))+4*(Q(w3)+Q(w4))
8=9*Q(w1)+6*(Q(w2)+Q(w3))
4=6*(Q(w2)+Q(w3))+3*Q(w4)
1=Q(w1)+Q(w2)+Q(w3)+Q(w4)

Allerdings ergibt sich hierfür schon kein Ergebniss mit allen Q(wi)>0.

Ist das ganze schwachsinnig und was ist zu tun?





        
Bezug
Preisentwicklung WMaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Fr 10.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  1. Man bestimme die entsprechende Filtration.
>  2. Man bestimme ein äquivalentes risikoneutrales
> Wahrscheinlichkeitsmaß.

Ohne Angabe eines Ausgangsmaßes ist die Aufgabe sinnfrei…
Vermutlich soll man annehmen, dass [mm] $P(\{\omega_i\}) [/mm] > 0$?

>  1.)
>  D.h. die Partitionen [mm]\mathcal{P}[/mm] bestehen aus:
>  [mm]\mathcal{P}_0 =\Omega[/mm]
> [mm]\mathcal{P}_1=\{\{\omega_1,\omega_2\},\{\omega_3,\omega_4\}\}[/mm]
> [mm]\mathcal{P}_2=\{\{\omega_1\},\{\omega_2\,\omega_3\},\{\omega_4\}\}[/mm]

[ok]  

> Die Filtration [mm]\mathcal{F}[/mm] aus:
>  [mm]\mathcal{F}_0=\{\emptyset,\Omega\}[/mm]
>  [mm]\mathcal{F}_1=\{\emptyset,\Omega , \{\omega_1,\omega_2\},\{\omega_3,\omega_4\}\}[/mm]
>  
> [mm]\mathcal{F}_2=\{\emptyset,\Omega,\{\omega_1\},\{\omega_2,\omega_3\},\{\omega_4\},\{\omega_2,\omega_3,\omega_4\},\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\},\{\omega_1,\omega_4\}\}[/mm]

[notok]
Für eine Filtration muss gelten [mm] $\mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{F}_2$ [/mm]
Das ist bei dir aber nicht der Fall.
  

> 2.)
> risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß:
>  Eine kurzer Eintrag der Definitionen:
>  Finanzmarktmodell
> [mm]\mathcal{M}=(\Omega,\mathcal{F},P,\tau,\mathcal{S}).[/mm]
>  WMaß Q auf [mm](\Omega,\mathcal{F})[/mm] heißt risikoneutrales
> Maß, falls:
>  1. P ~ Q,
>  2. [mm]E_Q[S_{t+1,i}|\mathcal{F}_t]=S_{t,i}[/mm] für t=0,1,...,N-1
> und i=1,...,n


> [mm]E_Q[S_{1,1}|\{\emptyset,\Omega\}]=P(\{\omega_1,\omega_2\})*8+P(\{\omega_3,\omega_4\})*4=5=S_{0,1}[/mm]

Wenn du [mm] E_Q [/mm] hast, wie kommt das P auf der rechten Seite zustande? Da muss also [mm] $Q(\{\omega_1,\omega_2\})*8+Q(\{\omega_3,\omega_4\})*4$ [/mm] stehen.

> d.h. [mm]p^{\*}*8+(1-p^{\*})*4=5 \gdw 4p^{\*}=1 \gdw p^{\*}=0,25[/mm]

Dein Ansatz ist ok, wo allerdings [mm] $Q(\{\omega_1,\omega_2\}) [/mm] = (1-p^*)$ herkommt, ist mir schleierhaft.

> Dies stellt allerdings nur ein 1-Periodenmodell dar.

Ja, du bekommst noch andere Gleichungen aus den jeweiligen Vorgaben der Risikoneutralität.
Wenn du dann noch die Additivität des Maßes nutzt, bekommst du ein Gleichungssystem für die Einzelwahrscheinlichkeiten.

> Meine Fragen:
>  1. Handelt es sich beim Wahrscheinlichkeitsmaß um einen
> Vektor (mit Anzahl  der Elemente nach notwendigen Q)

Ein W-Maß auf einem endlichen W-Raum ist eindeutig bestimmt durch die Angabe der Einzelwahrscheinlichkeiten, d.h. hier durch [mm] $Q(\{\omega_i\})$. [/mm]
Löse obiges Gleichungssystem und du bist fertig.

Welche Zusatzannahme kannst du aus der Äquivalenz von Q ableiten?


> Ich würde nun folgendes machen (man verzeihe mir das
> schnellere Aufschreiben):
>  
> 5=8*(Q(w1)+Q(w2))+4*(Q(w3)+Q(w4))
>  8=9*Q(w1)+6*(Q(w2)+Q(w3))
>  4=6*(Q(w2)+Q(w3))+3*Q(w4)
>  1=Q(w1)+Q(w2)+Q(w3)+Q(w4)

Also wenn du das begründet hättest, wieso diese Gleichungen zustande kommen, wäre das ok. (siehe Kommentare oben)  

> Allerdings ergibt sich hierfür schon kein Ergebniss mit allen Q(wi)>0.

Sofern [mm] $P(w_i) [/mm] > 0$ gilt, gibt es dann eben kein äquivalentes, risikoneutrales W-Maß.
Oder deine abgeleiteten Gleichungen sind falsch.

edit: Kurzes Nachrechnen ergibt, dass deine Gleichungen nicht stimmen.

Schreib es doch nochmal sauber auf.
Tipp: Wenn man zu Beginn [mm] $Q(w_i) [/mm] = [mm] q_i$ [/mm] definiert, wird der Aufschrieb etwas übersichtlicher.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Preisentwicklung WMaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:16 Fr 10.01.2020
Autor: TS85

Aus dieser Filtration kommt auch mein Problem her.

[mm] \mathcal{F}_1=\{\emptyset,\Omega,\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}, \{\omega_2,\omega_3,\omega_4\},\{\omega_1\},\{\omega_4\}\} [/mm]

da [mm] S_{2,A}=6 [/mm] auf [mm] \{\omega_2,\omega_3\} [/mm] ?

WMaß:

Ich bin von der Gegenwahrscheinlichkeit ausgegangen, welche es hier aber
anscheinend aufgrund der Aufgabenstellung so nicht gibt.

[mm] 8*Q(\{\omega_1,\omega_2\})+4*Q(\{\omega_3,\omega_4\})=5 [/mm]
[mm] Q(\{\omega_1,\omega_2\})+Q(\{\omega_3,\omega_4\})=1 [/mm]

mit [mm] Q(\{\omega_1,\omega_2\})=0,25 [/mm]
und [mm] Q(\{\omega_3,\omega_4\})=0,75 [/mm]

d.h. Q=(0.25,0.75)

Bei der 2. Gleichung bin ich davon ausgegangen, dass zu jedem Pfadzeitpunkt
die Definition gelten muss, wodurch ich auf diese kam, d.h.
immer die beiden folgenden Pfade für den Kurs davor. Dementsprechend kann
ich so auch keinen Fehler finden, da es anscheinend der falsche Ansatz ist.
Was ist denn nun der richtige Ansatz?

Bezug
                        
Bezug
Preisentwicklung WMaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Fr 10.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Aus dieser Filtration kommt auch mein Problem her.
>  
> [mm]\mathcal{F}_1=\{\emptyset,\Omega,\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}, \{\omega_2,\omega_3,\omega_4\},\{\omega_1\},\{\omega_4\}\}[/mm]
>  
> da [mm]S_{2,A}=6[/mm] auf [mm]\{\omega_2,\omega_3\}[/mm] ?

Munteres Rätselraten?
Frage: Was hat [mm] S_2 [/mm] mit [mm] \mathcal{F}_1 [/mm] zu tun? Richtig, nix.
Die Gute Nachricht: Dein [mm] \mathcal{F}_1 [/mm] war völlig korrekt, dein Ansatz für [mm] \mathcal{F}_2 [/mm] ebenso.
Du hast eben nur vergessen, dass [mm] $\mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{F}_2$ [/mm] gelten muss.
D.h. erweitere dein [mm] \mathcal{F}_2 [/mm] so, dass [mm] $\mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{F}_2$ [/mm] zusätzlich gilt.

Weitere gute Nachricht: Du brauchst  [mm] \mathcal{F}_2 [/mm] nicht zur Bestimmung des äquivalenten W-Maßes [mm] ($\mathcal{F}_1 [/mm] hingegen schon), d.h. wir können beide Teilaufgaben unabhängig korrigieren

>  
> WMaß:
>  
> Ich bin von der Gegenwahrscheinlichkeit ausgegangen, welche
> es hier aber
>  anscheinend aufgrund der Aufgabenstellung so nicht gibt.

Welche Gegenwahrscheinlichkeit denn?
Natürlich ist [mm] $Q(\{\omega_3,\omega_4\})$ [/mm] die Gegenwahrscheinlichkeit zu [mm] $Q(\{\omega_1,\omega_2\})$, [/mm] das spielt hier aber gar keine Rolle.

>  
> [mm]8*Q(\{\omega_1,\omega_2\})+4*Q(\{\omega_3,\omega_4\})=5[/mm]
>  [mm]Q(\{\omega_1,\omega_2\})+Q(\{\omega_3,\omega_4\})=1[/mm]
>  
> mit [mm]Q(\{\omega_1,\omega_2\})=0,25[/mm]
>  und [mm]Q(\{\omega_3,\omega_4\})=0,75[/mm]

Das stimmt erst mal, ist aber auch nicht zielführend.
Ich habe dir doch bereits die Hinweise gegeben, dass die Einzelwahrscheinlichkeiten zu bestimmen sind, d.h. die [mm] $Q(\{\omega_i\})$ [/mm]
Wie hängt dann nun [mm] $Q(\{\omega_1,\omega_2\})$ [/mm] mit [mm] Q(\{\omega_1\}) [/mm] und [mm] Q(\{\omega_2\}) [/mm] zusammen?

> d.h. Q=(0.25,0.75)

Das ist Murks… was soll das bedeuten?

> Bei der 2. Gleichung bin ich davon ausgegangen, dass zu
> jedem Pfadzeitpunkt
>  die Definition gelten muss, wodurch ich auf diese kam,

Welche Definition?

> d.h.
>  immer die beiden folgenden Pfade für den Kurs davor.
> Dementsprechend kann
>  ich so auch keinen Fehler finden, da es anscheinend der
> falsche Ansatz ist.
>  Was ist denn nun der richtige Ansatz?

Den Ansatz hast du ja bereits hingeschrieben, es muss gelten:

$ [mm] E_Q[S_{t+1,i}|\mathcal{F}_t]=S_{t,i} [/mm] $

Das heißt bei einem zwei Perioden-Modell eben drei Gleichungen:

i) [mm] E_Q[S_1| \mathcal{F}_0] [/mm] = [mm] S_0 [/mm]
ii) [mm] E_Q[S_2| \mathcal{F}_0] [/mm] = [mm] S_0 [/mm]
iii) [mm] E_Q[S_2| \mathcal{F}_1] [/mm] = [mm] S_1 [/mm]

Die erste Gleichung hast du nun ja schon bestimmt und daraus die Gleichung
[mm]8*Q(\{\omega_1,\omega_2\})+4*Q(\{\omega_3,\omega_4\})=5[/mm]
erhalten.

Mache jetzt noch bestimme doch jetzt noch ii) und iii) und schreibe die Gleichungen mal auf!

Gruß,
Gono



Bezug
                                
Bezug
Preisentwicklung WMaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:44 Mo 13.01.2020
Autor: TS85

Es bleibt doch fast gleich zu dem, was ich schon vorher geschrieben habe
(außer es ist die falsche Interpretation der Definition):

[mm] 8*Q(\{\omega_1,\omega_2\})+4*Q(\{\omega_3,\omega_4\})=5 [/mm]
[mm] 9*Q(\{\omega_1\})+6*Q(\{\omega_2,\omega_3\})=8 [/mm]
[mm] 6*Q(\{\omega_2,\omega_3\})+3*Q(\{\omega_4\})=4 [/mm]
[mm] Q(\{\omega_1,\omega_2\})+Q(\{\omega_3,\omega_4\})=1 [/mm]
[mm] Q(\{\omega_1\})+Q(\{\omega_2,\omega_3\})+Q(\{\omega_4\})=1 [/mm]

wobei [mm] Q(\{\omega_1,\omega_2\})=0,25 [/mm]
und [mm] Q(\{\omega_3,\omega_4\})=0,75 [/mm] bestehen bleibt.

Dies würde allerdings auf
[mm] Q(\{\omega_1\})=0.4 [/mm]
[mm] Q(\{\omega_2,\omega_3\})=0.73333 [/mm]
[mm] Q(\{\omega_4\})=-0.13333 [/mm]
führen.
Einerseits wäre dann [mm] Q(\{\omega_4\}) [/mm] kleiner 0,
andererseits wäre [mm] Q(\{\omega_1\})>Q(\{\omega_1,\omega_2\}) [/mm]
was beides keinen Sinn ergibt...

Was ist hier falsch? Was ich mich auch frage: Was genau bedeutet in
der Definition "unter der Bedingung von | [mm] \mathcal{F})", [/mm] was in der Berechnung
hier so keine Bedeutung hat bisher? Ist die Formulierung womöglich eine andere?

Bezug
                                        
Bezug
Preisentwicklung WMaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Mo 13.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]8*Q(\{\omega_1,\omega_2\})+4*Q(\{\omega_3,\omega_4\})=5[/mm]

Das ist ok.
Wie ich schon erwähnte, solltest du das aber als Gleichung der Einzelwahrscheinlichkeiten [mm] $Q({\omega_i\}$ [/mm] formulieren anstatt gemeinsame Wahrscheinlichkeiten zu behalten.
Wieso ingorierst du die hinweise?

>  [mm]9*Q(\{\omega_1\})+6*Q(\{\omega_2,\omega_3\})=8[/mm]

Wie kommst du darauf? Das ist falsch.


> Was ist hier falsch? Was ich mich auch frage: Was genau
> bedeutet in
>  der Definition "unter der Bedingung von | [mm]\mathcal{F})",[/mm]
> was in der Berechnung
>  hier so keine Bedeutung hat bisher? Ist die Formulierung
> womöglich eine andere?

Das sollte dir zu denken geben, wenn du die Bedingung bisher nicht verwendet hast…
Du ignorierst ja auch gekonnt Hinweise, die man dir gibt… ich zitiere mich aber gern aus der vorherigen Antwort:

> Den Ansatz hast du ja bereits hingeschrieben, es muss gelten:

> $ [mm] E_Q[S_{t+1,i}|\mathcal{F}_t]=S_{t,i} [/mm] $

> Das heißt bei einem zwei Perioden-Modell eben drei Gleichungen:

> i) $ [mm] E_Q[S_1| \mathcal{F}_0] [/mm] = [mm] S_0 [/mm] $
> ii) $ [mm] E_Q[S_2| \mathcal{F}_0] [/mm] = [mm] S_0 [/mm] $
> iii) $ [mm] E_Q[S_2| \mathcal{F}_1] [/mm] = [mm] S_1 [/mm] $

> Die erste Gleichung hast du nun ja schon bestimmt und daraus die Gleichung
> $ [mm] 8\cdot{}Q(\{\omega_1,\omega_2\})+4\cdot{}Q(\{\omega_3,\omega_4\})=5 [/mm] $
> erhalten.

> Mache jetzt noch bestimme doch jetzt noch ii) und iii) und schreibe die Gleichungen mal > auf!

$ [mm] E_Q[S_1| \mathcal{F}_0] [/mm] = [mm] S_0 [/mm] $ hast du ja bereits hingeschrieben, das entsprach deiner ersten Gleichung:
[mm]8*Q(\{\omega_1,\omega_2\})+4*Q(\{\omega_3,\omega_4\})=5[/mm]

Machen wir jetzt mal jeden Schritt einzeln: Was kommt denn aus der Gleichung

> ii) $ [mm] E_Q[S_2| \mathcal{F}_0] [/mm] = [mm] S_0 [/mm] $

raus?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Preisentwicklung WMaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Mo 13.01.2020
Autor: TS85

Ich hielt
[mm] E_Q[S_2|\mathcal{F}_0]=S_0 [/mm] für einen Tippfehler, da ich nach der Definition des risikoneutr. Maß überhaupt nicht darauf kommen kann,
d.h. wenn [mm] S_2, [/mm] dann muss [mm] \mathcal{F}_1 [/mm] sein?
Wobei es für mich als Normalsterblichen jetzt durch die anderen Aufgaben nachvollziehbar ist in Bezug auf die oft zitierte "Turmregel". Ich habe etwas zu steif/naiv daran geglaubt..

d.h. [mm] 9*Q(\{\omega_1\})+6*(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))=5? [/mm]

Wenn ich nun folgendes rechnen würde, erhalte ich m(ein) Ergebniss:

[mm] 8*(Q(\{\omega_1\})+Q(\{\omega_2\}))+4*(Q(\{\omega_3\})+Q(\{\omega_4\}))=5 [/mm]
[mm] 9*Q(\{\omega_1\})+6*(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))=5 [/mm]
[mm] 6*(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))+3*Q(\{\omega_4\})=4 [/mm]
[mm] Q(\{\omega_1\})+Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\})+Q(\{\omega_4\})=1 [/mm]

[mm] Q(\{\omega_1\})=0.2 [/mm]
[mm] Q(\{\omega_2\})=0.05 [/mm]
[mm] Q(\{\omega_3\})=0.48333 [/mm]
[mm] Q(\{\omega_4\})=0.266667 [/mm]

Die Bedingung der Filtration | [mm] \mathcal{F} [/mm] gibt mir bereits genug zu denken..
[mm] \{\omega_1,\omega_2\} [/mm] und [mm] \{\omega_3,\omega_4\} [/mm] sind ja eigentlich
in meinem [mm] \mathcal{F}_1 [/mm] enthalten, weswegen mir unklar ist inwieweit
diese überhaupt eine Rolle spielt mit Ausnahme der Turmregel.


Bezug
                                                        
Bezug
Preisentwicklung WMaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Mo 13.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich hielt
>  [mm]E_Q[S_2|\mathcal{F}_0]=S_0[/mm] für einen Tippfehler, da ich
> nach der Definition des risikoneutr. Maß überhaupt nicht
> darauf kommen kann,

natürlich kann man darauf kommen…

>  d.h. wenn [mm]S_2,[/mm] dann muss [mm]\mathcal{F}_1[/mm] sein?

Du sprichst wirr…

>  Wobei es für mich als Normalsterblichen jetzt durch die
> anderen Aufgaben nachvollziehbar ist in Bezug auf die oft
> zitierte "Turmregel". Ich habe etwas zu steif/naiv daran
> geglaubt..

Ja, das folgt aus der Turmregel.

Im diskreten schreibt man zwar oft einfach nur, dass [mm] $E[S_{t+1}|\mathcal{F}_t] [/mm] = [mm] S_t$ [/mm] sein muss, besser wäre es zu schreiben [mm] $E[S_{t+n}|\mathcal{F}_t] [/mm] = [mm] S_t$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm]

Das macht man aber nicht, weil aus der Turmregel das eben iterativ folgt.
(Noch schöner wäre es übrigens gleich zu schreiben [mm] $E[S_s [/mm] | [mm] \mathcal{F}_t] [/mm] = [mm] S_t$ [/mm] für alle $s>t$, weil man das später auch im nicht-diskreten Fall so schreibt)
  

> d.h.
> [mm]9*Q(\{\omega_1\})+6*(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))=5?[/mm]

Wo ist denn [mm] $\omega_4$ [/mm] hin?
Was hast du da berechnet?

Es ist doch schlichtweg [mm] $E[S_2 [/mm] | [mm] \mathcal{F}_0] [/mm] = [mm] E[S_2]$ [/mm]
Was ist denn der Erwartungswert von [mm] S_2? [/mm]

Sowas sollte sitzen.

> Wenn ich nun folgendes rechnen würde, erhalte ich m(ein)
> Ergebniss:

Wo ist denn "folgendes"?
Ohne deinen Rechenweg, kann man dir nicht sagen, was du falsch gemacht hast.

  

> [mm]8*(Q(\{\omega_1\})+Q(\{\omega_2\}))+4*(Q(\{\omega_3\})+Q(\{\omega_4\}))=5[/mm]
>  [mm]9*Q(\{\omega_1\})+6*(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))=5[/mm]
>  [mm]6*(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))+3*Q(\{\omega_4\})=4[/mm]
>  
> [mm]Q(\{\omega_1\})+Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\})+Q(\{\omega_4\})=1[/mm]

Die Gleichungen sind immer noch falsch… ohne Rechenweg, keine Ahnung wo dein Fehler liegt.
  

> [mm]Q(\{\omega_1\})=0.2[/mm]
>  [mm]Q(\{\omega_2\})=0.05[/mm]
>  [mm]Q(\{\omega_3\})=0.48333[/mm]
>  [mm]Q(\{\omega_4\})=0.266667[/mm]

Demzufolge ist das auch falsch.

> Die Bedingung der Filtration | [mm]\mathcal{F}[/mm] gibt mir bereits genug zu denken..

Dann sollten wir vielleicht erst mal Grundlagen nachholen…

>  [mm]\{\omega_1,\omega_2\}[/mm] und [mm]\{\omega_3,\omega_4\}[/mm] sind ja eigentlich  in meinem [mm]\mathcal{F}_1[/mm] enthalten

Na nicht nur eigentlich, beide Mengen sind Elemente von [mm] \mathcal{F}_1 [/mm]

> weswegen mir unklar ist inwieweit diese überhaupt eine Rolle spielt mit Ausnahme der Turmregel.

Ganz einfache Frage: Was ist denn allgemein $E[X | [mm] \mathcal{F}]$? [/mm]
Ohne das zu wissen, wirst du Ausdrücke wie [mm] $E[S_2|\mathcal{F}_1]$ [/mm] nicht ausrechnen können…

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Preisentwicklung WMaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Mo 13.01.2020
Autor: TS85

[mm] E[X|\mathcal{F}] [/mm] ist eine Zufallsvariable in A [mm] \in \mathcal{A}. [/mm]
[mm] E[X|A]=\summe_{\omega \in \Omega}^{}P(\omega |A)*X(\omega) [/mm]

Wenn X [mm] \mathcal{F}-messbar [/mm] ist, dann gilt [mm] E[X|\mathcal{F}]=X [/mm]


[mm] E[S_2|\mathcal{F}_0]=E[S_2]=Q(\{\omega_1\})*9+(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))*6+Q(\{\omega_4\})*3 [/mm]
[mm] E[S_2|\mathcal{F}_0] [/mm] stellt somit den normalen Erwartungswert dar, da [mm] \mathcal{F}_0=\{\emptyset,\Omega\} [/mm]

[mm] E[S_2|\mathcal{F}_1] [/mm] mit [mm] \mathcal{F}_1\{\emptyset,\Omega,\{\omega_1,\omega_2\},\{\omega_3,\omega_4\}\}: [/mm]

d.h. [mm] E[S_2| \mathcal{F}_1]=\begin{cases} Q(\{\omega_1\})*9+(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))*6, & bei \{ w_1,w_2 \} \\ (Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))*6+Q(\{\omega_4\})*3, & bei \{ w_3,w_4\} \end{cases} [/mm]

Ist dies bis hierhin nun richtig oder immer noch fehlerhaft? Dies würde zumindest dann auch die Filtration erklären.
Wenn es richtig sein sollte, fehlt mir nun allerdings die Erkenntnis, wie hier fortgefahren wird, da ich nun nicht mehr ein einfaches lineares Gleichungssystem aufstellen kann (nach aktuellem Kenntnisstand).

Hier jetzt noch der finalen Hinweis wäre nett

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Preisentwicklung WMaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Mo 13.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

mit der Antwort kann man doch schon mal besser arbeiten…

> [mm]E[X|\mathcal{F}][/mm] ist eine Zufallsvariable in A [mm]\in \mathcal{A}.[/mm]

Was soll das bedeuten, dass etwas eine "Zufallsvariable in A" ist?

> [mm]E[X|A]=\summe_{\omega \in \Omega}^{}P(\omega |A)*X(\omega)[/mm]

Ja, das stimmt erst mal (auch wenn ich diese Notation nicht für sehr geeignet halte).
Es gil also: $E[X|A] = [mm] \frac{E[X1_A]}{P(A)}$ [/mm] (das ist mMn prägnanter und dasselbe).

> Wenn X [mm]\mathcal{F}-messbar[/mm] ist, dann gilt [mm]E[X|\mathcal{F}]=X[/mm]

Korrekt.

> [mm]E[S_2|\mathcal{F}_0]=E[S_2]=Q(\{\omega_1\})*9+(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))*6+Q(\{\omega_4\})*3[/mm]

[ok]

>  [mm]E[S_2|\mathcal{F}_0][/mm] stellt somit den normalen
> Erwartungswert dar, da [mm]\mathcal{F}_0=\{\emptyset,\Omega\}[/mm]

Ich hoffe das ist dir auch klar, dass das aus obiger Gleichung sofort folgt?
  

> [mm]E[S_2|\mathcal{F}_1][/mm] mit
> [mm]\mathcal{F}_1\{\emptyset,\Omega,\{\omega_1,\omega_2\},\{\omega_3,\omega_4\}\}:[/mm]
>  
> d.h. [mm]E[S_2| \mathcal{F}_1]=\begin{cases} Q(\{\omega_1\})*9+(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))*6, & bei \{ w_1,w_2 \} \\ (Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))*6+Q(\{\omega_4\})*3, & bei \{ w_3,w_4\} \end{cases}[/mm]
>  
> Ist dies bis hierhin nun richtig oder immer noch fehlerhaft? Dies würde zumindest dann auch die Filtration erklären.

Also: deine Vermutung, dass  [mm]E[S_2| \mathcal{F}_1][/mm] irgendwie so aussehen muss und nur noch Werte auf [mm] $\{\omega_1,\omega_2\}$ [/mm] bzw [mm] $\{\omega_3,\omega_4\}$ [/mm] annimmt, ist erst mal korrekt.

Allerdings komme ich auf andere Werte.

Nach meinen Berechnungen sollte das so aussehen:
[mm]E[S_2| \mathcal{F}_1]=\begin{cases} \frac{Q(\{\omega_1\})*9+Q(\{\omega_2\})*6}{Q(\{\omega_1\}) + Q(\{\omega_2\})}, & bei \{ w_1,w_2 \} \\\\ \frac{Q(\{\omega_3\})*6+Q(\{\omega_4\})*3}{Q(\{\omega_3\}) + Q(\{\omega_4\})}, & bei \{ w_3,w_4\} \end{cases}[/mm]

Wesentliche Änderung: Statt [mm] $Q(\{\omega_2\}) [/mm] + [mm] Q(\{\omega_3\})$ [/mm] in beiden Fällen steht bei mir nur noch einer der beiden Summanden je nach Fall und es wird geteilt durch das Maß der jeweiligen Menge, auf der wir operieren (vgl. dazu die Darstellung von E[X|A] wo das sofort deutlich wird).

D.h. eben durch [mm] $Q(\{\omega_1\}) [/mm] + [mm] Q(\{\omega_2\})$ [/mm] in einem bzw. [mm] $Q(\{\omega_3\}) [/mm] + [mm] Q(\{\omega_4\})$ [/mm] im anderen Fall.

Vllt. zeigst du mal deinen Rechenweg dazu (und erklärst meine Frage von oben) und dann finden wir deinen oder meinen Fehler ;-)

>   Wenn es richtig sein sollte, fehlt mir nun allerdings die
> Erkenntnis, wie hier fortgefahren wird, da ich nun nicht
> mehr ein einfaches lineares Gleichungssystem aufstellen
> kann (nach aktuellem Kenntnisstand).

Wieso nicht?

Aus dem normalen Erwartungswert von [mm] S_2 [/mm] hast du eine Gleichung, nämlich

[mm]5=S_0 = E[S_2|\mathcal{F}_0]=E[S_2]=Q(\{\omega_1\})*9+(Q(\{\omega_2\})+Q(\{\omega_3\}))*6+Q(\{\omega_4\})*3[/mm]

Und aus der bedingten Erwartung  [mm]E[S_2| \mathcal{F}_1]=S_1[/mm] bekommst du sogar zwei Gleichungen! Denn auch [mm] S_1 [/mm] ist ja eine Funktion, die Werte je nach Menge annimmt. Damit kannst du die beiden Fälle nun einfach vergleichen und gleichsetzen.

Gruß,
Gono

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Preisentwicklung WMaß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Mo 13.01.2020
Autor: TS85

Ja jetzt ist es mir klar.. Hätte ich gewusst, dass hier bei [mm] S_{2,A}=6 [/mm] auf [mm] \{\omega_2,\omega_3\} [/mm] die beiden Werte nur wegen den beiden einzelnen Fällen enthalten ist, wäre ich gleich drauf gekommen. Ich wusste nicht, dass man hier einfach dann nur [mm] \omega_2 [/mm] oder [mm] \omega_3 [/mm] nimmt, wobei das im Nachhinein jetzt wohl trivial ist, da der Erwartungswert bei einen Kursaufstieg auf 8 (Fall [mm] \{\omega_2\}) [/mm] nur von 9 und 6 abhängt.
Die Notation hat mich da im Denken behindert (ohne jemals was vergleichbares gesehen zu haben).
Die Ereignise [mm] \omega_i [/mm] stehen hier ganz einfach für den jeweiligen Pfadverlauf.

Danke für die Information!

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