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Present Value: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Sa 05.12.2015
Autor: Mathics

Hallo,

ich habe zwei Formeln um den Present Value zu berechnen:

(1): X * [mm] (1+r)^{-t} [/mm]

(2): X * [mm] e^{-r(t-T)} [/mm]


Was ist hier genau der Unterschied? Kann ich einfach immer die erste Formel benutzen?


LG
Mathics

        
Bezug
Present Value: Analyse
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Sa 05.12.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> ich habe zwei Formeln um den Present Value zu berechnen:
>  
> (1): X * [mm](1+r)^{-t}[/mm]
>  
> (2): X * [mm]e^{-r(t-T)}[/mm]
>  
>
> Was ist hier genau der Unterschied? Kann ich einfach immer
> die erste Formel benutzen?


Hallo Mathics

Die beiden Formeln beruhen auf etwas unterschiedlichen
Bezeichnungen, und insbesondere steht das r in beiden
Formeln für unterschiedliche Größen, welche aber beide
das Wachstum bestimmen.

Nennen wir den Barwert ("present value") einmal K .

Bei der Formel (1)  steht X  für das daraus entstehende
Endkapital nach t Jahren bei Verzinsung (mit Zinseszinsen)
zu p% p.a.
Ferner sei r = p% = [mm] \frac{p}{100} [/mm]
Dann gilt

     X = [mm] K*(1+r)^t [/mm]  und folglich     K = [mm] X*(1+r)^{-t} [/mm]

In der Formel (2)  kommt zusätzlich die Größe T vor,
welche den aktuellen Zeitpunkt (für den Barwert)
bezeichnet. Das Wachstum wird durch die Formel

     X(t) = [mm] K*e^{r*(t-T)} [/mm]  

also mittels einer e-Funktion beschrieben. Das r in
dieser neuen Formel hat also eine etwas andere Bedeutung
als in der Formel (1).


Um den genauen Zusammenhang zwischen den
unterschiedlichen r-Werten klar zu machen, möchte
ich nun die beiden Werte durch Indices unterscheiden.
Ferner können wir, um die Formeln einander gegenüber
zu stellen, T:=0  setzen. So kommen wir auf die Formeln:

    (1)    [mm] K_1(t) [/mm] = [mm] X*(1+r_1)^t [/mm]

    (1)    [mm] K_2(t) [/mm] = [mm] X*e^{r_2*t} [/mm]

Um Übereinstimmung zu erhalten, müsste also gelten:


      $\ [mm] (1+r_1)^t\ [/mm] =\ [mm] e^{r_2*t}$ [/mm]

Daraus folgt

      $\ [mm] 1+r_1\ [/mm] =\ [mm] e^{r_2}$ [/mm]

also

      $\ [mm] r_1\ [/mm] =\ [mm] e^{r_2}-1$ [/mm]

bzw.

      $\ [mm] r_2\ [/mm] =\ [mm] ln(1+r_1)$ [/mm]


Für sehr kleine Werte, also  [mm] |r_1|<<1 [/mm]  oder  [mm] |r_2|<<1 [/mm]  , liegen die beiden
Werte nahe beieinander, für  [mm] r\to [/mm] 0  stimmen sie "asymptotisch" überein.

LG  ,   Al-Chwarizmi  




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