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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mo 22.10.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | [mm] R_{32} [/mm] Menge der primen Restklassen mod. 32. Wird erzeugt von 5 und -1. |
Ich habe bereits gezeigt das [mm] R_{16} [/mm] von 5 und -1 erzeugt wird, indem ich jedes Element durch diese beiden dargestellt habe.
Gibt es irgendeinen "Trick" wie man sofort sehen kann, dass daher auch [mm] R_{32} [/mm] von 5 und -1 erzeugt wird, oder muss ich wirklich jedes Element durch diese Werte ausdrücken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:29 Di 23.10.2012 | | Autor: | kalifat |
Jemand eine Idee?
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Hallo kalifat,
> [mm]R_{32}[/mm] Menge der primen Restklassen mod. 32. Wird erzeugt
> von 5 und -1.
> Ich habe bereits gezeigt das [mm]R_{16}[/mm] von 5 und -1 erzeugt
> wird, indem ich jedes Element durch diese beiden
> dargestellt habe.
>
> Gibt es irgendeinen "Trick" wie man sofort sehen kann, dass
> daher auch [mm]R_{32}[/mm] von 5 und -1 erzeugt wird, oder muss ich
> wirklich jedes Element durch diese Werte ausdrücken?
Der Trick besteht darin, zu zeigen, dass auch die Restklasse 16 in [mm] R_{32} [/mm] durch 5 und -1 darstellbar ist, egal ob sie selbst prim ist oder nicht. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mi 24.10.2012 | | Autor: | kalifat |
Danke für deine Antwort, aber ich verstehe nicht genau was du damit meinst.
Soll das heißen, es genügt zu zeigen, dass in [mm] R_{32} [/mm] die Elemente aus der primen Restklasse 16 (d.h 1,3,5,7,9,11,13,15) darstellbar durch 5 und -1 sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mi 24.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für deine Antwort, aber ich verstehe nicht genau was
> du damit meinst.
>
> Soll das heißen, es genügt zu zeigen, dass in [mm]R_{32}[/mm] die
> Elemente aus der primen Restklasse 16 (d.h
> 1,3,5,7,9,11,13,15) darstellbar durch 5 und -1 sind?
16 ist keine prime Restklasse modulo 32.
Zeige: die Ordnung von 5 als prime Restklasse modulo 32 ist 8, und die von 5 erzeugte Untergruppe enthaelt nicht -1. (Wenn schon muesste [mm] $5^4 \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{32}$ [/mm] sein, was du schnell ausschliessen kannst. Weisst du warum dies so ist? Wenn nicht musst du etwas mehr rechnen...)
Um die Ordnung von 5 zu ueberpruefen reicht es aus, [mm] $5^4 \not\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{32}$ [/mm] zu zeigen (warum?).
Dann weisst du, dass die von 5 und -1 erzeugte Untergruppe mindestens die Ordnung $8 [mm] \cdot [/mm] 2 = 16$ hat -- was gerade die Anzahl der Elemente in [mm] $(\IZ/32\IZ)^\ast$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Mi 24.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin rev,
> > [mm]R_{32}[/mm] Menge der primen Restklassen mod. 32. Wird erzeugt
> > von 5 und -1.
> > Ich habe bereits gezeigt das [mm]R_{16}[/mm] von 5 und -1
> erzeugt
> > wird, indem ich jedes Element durch diese beiden
> > dargestellt habe.
> >
> > Gibt es irgendeinen "Trick" wie man sofort sehen kann, dass
> > daher auch [mm]R_{32}[/mm] von 5 und -1 erzeugt wird, oder muss ich
> > wirklich jedes Element durch diese Werte ausdrücken?
>
> Der Trick besteht darin, zu zeigen, dass auch die
> Restklasse 16 in [mm]R_{32}[/mm] durch 5 und -1 darstellbar ist,
> egal ob sie selbst prim ist oder nicht.
es geht hier um die multiplikative Gruppe [mm] $(\IZ/2^5\IZ)^\ast$. [/mm] Die 16 hat damit nicht direkt etwas zu tun :)
LG Felix
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