Prime Restklassengruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:23 Do 30.05.2013 | | Autor: | Gioa |
| Aufgabe 1 | Sei G eine Halbgruppe mit neutralem Element e. Wir bezeichnen mit G∗ die Menge der invertierbaren Elemente von
G (also die Menge derjenigen Elemente von G, zu denen
es in G ein inverses Element gibt). Es gilt: G∗ ist eine Gruppe. [Diese Aussage nehmen Sie bitte ohne Beweis zur Ken
ntnis!]
a) Bestimmen Sie (R9,*,x)(* als Hinweis für prime Restklassengruppe)!
(b) Geben Sie die Gruppentafel von (R9,*,x) an!
(c) Bestimmen Sie alle Untergruppen von (R9,*,x)!
(d) Geben Sie zu jedem Element g € R9,*, die von diesem Element erzeugte Untergruppe und die Ordnung dieses Elements an!
(e) Was fällt auf, wenn Sie die Untergruppen aus Te
il (c) und die Untergruppen aus Teil (d)
vergleichen? |
| Aufgabe 2 | In der Gruppe R16, + haben wir die Untergruppe
U = (0, 4,8,12).
Geben Sie ein verbales Kurz-Argument an, warum
U = (0, 4,8,12) eine Untergruppe ist.
Geben Sie nun bezüglich dieser Untergruppe U einen detaillierten Beweis (mit präzisem Aufschreiben aller Argumente) des Satzes von Lagrange an! |
| Aufgabe 3 | In der Gruppe [mm] R17\0,x [/mm] haben wir die Untergruppe
U = (1,16).
Geben Sie ein verbales Kurz-Argument an, warum U = (1,16)
eine Untergruppe ist. |
Also irgendwie habe ich keinen rechten Schimmer und mein Übungsgruppenpartner lässt mich im Stich. Also ich dachte, dass ich bei Aufgabe 1 zunächst gucke, welche Teiler mit modulo 9 den ggT = 1 haben. Das wären 2,3,5,7. Und davon müsste ich dann Untergruppen bilden. Aber sicher bin ich mir überhaupt nicht und leider alleine in der Klemme.
Hilfe wre nett. Danke vor.
Liebe Grüße
MIa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Do 30.05.2013 | | Autor: | wieschoo |
Was meinst du mir (die Aufgabe) mit "(R9,*,x)"?
Ist das mir eine unbekannte Standardbezeichnung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Do 30.05.2013 | | Autor: | Gioa |
R9,*,x meint die prime Restklassengruppe modulo 9 mit der multiplikativen Verknüpfung.
sorry, ich bin nicht so gut in der Eingabe und Technik und ich das sind zwei unterschiedliche Paare Schuhe. Danke und lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:54 Fr 31.05.2013 | | Autor: | hippias |
> Also irgendwie habe ich keinen rechten Schimmer und mein
> Übungsgruppenpartner lässt mich im Stich. Also ich
> dachte, dass ich bei Aufgabe 1 zunächst gucke, welche
> Teiler mit modulo 9 den ggT = 1 haben. Das wären 2,3,5,7.
Nanana,da ist ja wohl eine Zahl zuviel in Deiner Aufzaehlung, waehrend Du eine andere - ganz wichtige- ausgelassen hast. Aber diese Aufzaehlung ist im Grunde schon die Loesung zur ersten Aufgabe.
> Und davon müsste ich dann Untergruppen bilden. Aber sicher
> bin ich mir überhaupt nicht und leider alleine in der
> Klemme.
> Hilfe wre nett. Danke vor.
> Liebe Grüße
> MIa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:44 Fr 31.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Also irgendwie habe ich keinen rechten Schimmer und mein
> > Übungsgruppenpartner lässt mich im Stich. Also ich
> > dachte, dass ich bei Aufgabe 1 zunächst gucke, welche
> > Teiler mit modulo 9 den ggT = 1 haben. Das wären 2,3,5,7.
>
> Nanana,da ist ja wohl eine Zahl zuviel in Deiner
> Aufzaehlung, waehrend Du eine andere - ganz wichtige-
> ausgelassen hast. Aber diese Aufzaehlung ist im Grunde
> schon die Loesung zur ersten Aufgabe.
Es fehlen uebrigens noch zwei weitere Zahlen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Fr 31.05.2013 | | Autor: | hippias |
Sollte das etwa bedueten, dass ich nicht bis $6$ zaehlen kann? Soll es wohl...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Gioa |
Also wenn ich R9 betrachte,
dann habe ich als teilerfremde Zahlen: 1,2,5,7 und folgende Untergruppen gefunden:
U1 = ({1},x)
U2 = ({2,1},x)
U5 = ({5,1},x)
U7 = ({7,1},x)
Und alle haben die Ordnung 2.
Was ist denn gemeint mit Gruppentafel aufstellen? Jede Untergruppe mit jeder Untergruppe multiplizieren?
Danke für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Fr 31.05.2013 | | Autor: | hippias |
Es fehlen noch $4$ und $8$ - die Gruppe hat $6$ Elemente. Eine Gruppentafel, und das findest Du in jedem Lehrbuch, meint eine Tabelle aller Produkte der Gestalt $xy$,wobei $x$ und $y$ alle Gruppenelemente durchlaufen.
Ferner: Was laesst Dich denn glauben, dass $5$ die Ordnung $2$ in $R9$ habe? Dazu muesste doch wenigstens [mm] $5^{2}= [/mm] 1$ gelten, es ist aber [mm] $5^{2}= [/mm] 7$. Vielleicht solltest Du die Definition des Begriffs Ordnung eines Gruppenelementes nocheinmal genau nachlesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Gioa |
Also wieso denn 4 und 8. Die werden doch durch 2 geteilt und das habe ich drin. weil 3 und 6 sind ja auch nicht drin und das weil sie durch 3 aufgefangen werden und 3 teilt 9. MMh, nun bin ich verwirrt.
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> Also wieso denn 4 und 8. Die werden doch durch 2 geteilt
> und das habe ich drin. weil 3 und 6 sind ja auch nicht drin
> und das weil sie durch 3 aufgefangen werden und 3 teilt 9.
> MMh, nun bin ich verwirrt.
Hallo,
ich bin auch verwirrt: "auffangen" scheint mir eher etwas mit kindlichen Ballspielen zu tun zu haben als mit primen Restklassengruppen modulo 9...
Du mußt Dich mit den Definitionen vertraut machen, sonst brauchst Du gar nicht anzufangen, die Aufgaben zu lösen.
Die Restklasse modulo 9 enthält ja die Elemente 0,1,2,3,4,5,6,7,8.
Ich hoffe, daß Dir Addition in Multiplikation in dieser Menge bekannt sind: "addieren bzw. multiplizieren und den Rest bei Division durch 9 hinschreiben".
In der primen Restklassengruppe modulo 9 mit der multiplikativen Verknüpfung sind nun alle Elemente obiger Menge, welche bzgl der Multiplikation invertierbar sind.
z.B. ist 5 drin, denn 5*2=1 (mod 9),
jedoch ist die 6 nicht drin, weil es keine Multiplikation mit 6 gibt, die 1 ergibt.
Du wirst bei nährem Nachdenken darauf kommen - oder dies nachlesen -, daß in den primen Restklassengruppen mod n die Elemente der Restklasse mod n sind, die zu n teilerfremd sind.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Gioa |
Danke Angela,
also die Erklärung hatte ich vorab nicht verstanden, nun ist es deutlich.
Also ich habe die Elemente 1,2,4,5,6,7,8 raus für die prime Restklassengruppe modulo 9.
Gehe ich recht in der Annahme, dass ich nun die ELemente dort aufstellen muss für diese 6 Restklassen?
Darf ich meine Lösung dann nochmal posten.
Danke für eure Mühe und liebe Grüße
Mia
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> Danke Angela,
> also die Erklärung hatte ich vorab nicht verstanden, nun
> ist es deutlich.
> Also ich habe die Elemente 1,2,4,5,6,7,8 raus für die
> prime Restklassengruppe modulo 9.
Hallo,
ich habe Bedenken.
Hat die 6 wirklich ein inverses Element?
Wenn ja: welches?
>
> Gehe ich recht in der Annahme, dass ich nun die ELemente
> dort aufstellen muss für diese 6 Restklassen?
???
Du schreibst jetzt: es ist [mm] R_9^{\*}=\{...\},
[/mm]
und dann stellst Du für b)
die Verknüpfungstafel auf.
>
> Darf ich meine Lösung dann nochmal posten.
Klar!
LG Angela
> Danke für eure Mühe und liebe Grüße
> Mia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Gioa |
Also nach dem Tipp von Angela bin ich schlauer. Ich habe meine Lösungsansätze mal notiert und hier sind sie:
Aufgabe 1:
a) (R9*,x) = {1,2,4,5,7,8}
b) x 1 2 4 5 7 8
1 1 2 4 5 7 8
2 2 4 8 1 5 7
4 4 8 7 2 1 5
5 5 1 2 7 8 4
7 7 5 1 8 4 2
8 8 7 5 4 2 1
c) U1 = {1,2,4,5,7,8}
U2 = {1}
also die trivialen Untergruppen nur
d) U1 = {1} ord (U1) = 1
U2 = {1,2,4,5,7,8} ord (U1) = 6
U3 = {4,7,1} ord (U3) = 3
U4 = {5,1} ord (U4) = 2
U5 = {8,1} ord (U5) = 2
Habt ihr zu Aufgabe 2 noch einen Tipp für mich.
LG Mia
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> Also nach dem Tipp von Angela bin ich schlauer. Ich habe
> meine Lösungsansätze mal notiert und hier sind sie:
>
> Aufgabe 1:
>
> a) (R9*,x) = {1,2,4,5,7,8}
>
> b) x 1 2 4 5 7 8
> 1 1 2 4 5 7 8
> 2 2 4 8 1 5 7
> 4 4 8 7 2 1 5
> 5 5 1 2 7 8 4
> 7 7 5 1 8 4 2
> 8 8 7 5 4 2 1
>
> c) U1 = {1,2,4,5,7,8}
> U2 = {1}
>
> also die trivialen Untergruppen nur
>
> d) U1 = {1} ord (U1) = 1
> U2 = {1,2,4,5,7,8} ord (U1) = 6
> U3 = {4,7,1} ord (U3) = 3
> U4 = {5,1} ord (U4) = 2
> U5 = {8,1} ord (U5) = 2
Hallo,
komisch: ich frage mich, wie Du die Ergebnisse aus c) und d) miteinander vereinbaren kannst...
LG Angela
>
> Habt ihr zu Aufgabe 2 noch einen Tipp für mich.
> LG Mia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:55 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Gioa |
Ich versteh das nicht so ganz. Ich dachte, dass ich das halt zerlegen muss in die Teiler und davon die Untergruppen bestimmen bei c). aber da ich die prime restklassengruppe betrachte ist der teiler ja nur 1 enthalten (3 und 9) ja nicht und bei d) soll jedes element eine untergruppe erzeugen. daher der unterschied. ist falsch oder?
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> Ich versteh das nicht so ganz. Ich dachte, dass ich das
> halt zerlegen muss in die Teiler
Hallo,
ich verstehe gerade nicht, wovon Du redest.
Welche Teiler?
Wenn Du Mathematik studieren möchtest oder mußt, dann darfst Du nicht soviel denken/fantasieren.
Da steht doch bei c), daß Du alle Untergruppen der gerade untersuchten Gruppe herausfinden sollst.
Also mußt Du erstmal herausfinden, was "Untergruppe" überhaupt bedeutet, und Dich dann auf die Suche machen.
Du könntest z.B. systematisch alle Teilmengen aus 1,2,3,4,5,6 Elementen auf ihre Untergruppeneigenschaft abklopfen.
Je nachdem, was Ihr bereits gelernt habt, kannst Du diese Mühe jedoch auf Teilmengen mit gewissen Elementanzahlen reduzieren. (Stichwort: Lagrange)
> und davon die Untergruppen
> bestimmen bei c).
> aber da ich die prime restklassengruppe
> betrachte ist der teiler ja nur 1 enthalten (3 und 9) ja
> nicht
Die Gruppe, über die wir reden, ist [mm] G_9^{\*}=\{1,2,4,5,7,8\} [/mm] mit der einschlägigen Multiplikation.
Diese Gruppe erfüllt die Gruppeneigenschaften - sonst wär's ja keine.
Nichts, aber auch überhaupt nichts, deutet in der Aufgabenstellung c) daraufhin, daß Du über irgendwelche "Teiler" nachdenken sollst.
Untergruppen sind das Thema.
> und bei d) soll jedes element eine untergruppe
> erzeugen.
Es soll hier nicht jedes Element eine Untergruppe erzeugen.
Jedes Element erzeugt eine Untergruppe. (Wovon eigentlich?) Das ist Fakt, und ich denke, das war auch in der Vorlesung dran.
Und diese Untergruppe sollst Du jeweils angeben:
1 erzeugt ... ord(1)=...
2 erzeugt ... ord(2)=...
4 erzeugt ...
5 erzeugt ...
7 erzeugt ...
8 erzeugt ...
> daher der unterschied. ist falsch oder?
Falsch ist vor allem Deine fantasievolle Herangehensweise. Du mußt Dich mit den Definitionen und Sätzen der Vorlesung beschäftigen und diese Dinge auch bei der Bearbeitung der Aufgaben im Kopf bzw. auf Papier neben Dir haben.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Gioa |
Dann verstehe ich nicht den Unterschied zwischen Aufgabenteil c und Aufgabenteil b.
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> Dann verstehe ich nicht den Unterschied zwischen
> Aufgabenteil c und Aufgabenteil b.
Hallo,
Du meinst c) und d), oder?
In c) sollst Du alle Untergruppen heraussuchen.
In d) sollst Du zu jedem Element sagen, welche Untergruppe es erzeugt.
Natürlich wird es so sein, daß alle Untergruppen aus d) auch in c) sind.
Und falls Du doch den Unterschied zwischen b) und c) meinst:
in b) sollst Du die Gruppentafel für [mm] G_9^{\*} [/mm] mit der Multiplikation aufstellen,
in c) anhand dieser Tafel die Untergruppen herausfinden.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Gioa |
Ich hab mich glaube verzettelt und weiß nicht mehr genau wie man UNtergruppen berechnet. Kann mir das wer kurz erklären?
LG Mia
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> Ich hab mich glaube verzettelt und weiß nicht mehr genau
> wie man UNtergruppen berechnet. Kann mir das wer kurz
> erklären?
Hallo,
jetzt lies erstmal in Deinem Skript/Buch oder was weiß ich nach, was eine Untergruppe ist.
Wenn Du das herausgefunden und mitgeteilt hast, knnen wir überlegen, wie man Untergruppen herausfinden kann.
Du kannst auch schon gucken, ob Ihr bereits etwas über die Ordnung der Untergruppen einer Gruppe gelernt habt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 So 02.06.2013 | | Autor: | Gioa |
Ich habe nochmal nachgeschlagen. Demnach sind Untergruppen Teilmengen der Gruppe, wobei die Untergruppen vereinigt wieder die Gruppe ergeben.
bei c) muss ich ja alle (!) Untergruppen von (R9*,x) aufstellen.
Diese ergeben sich aus den trivialen Untergruppen und den UNtergruppen, die aus den Elementen von (R9*,x) erzeugt werden. Demnach habe ich gefunden:
U1 = ({1,2,4,5,7,8}, x)
U2 = ({1}, x)
U3 = ({1}, x) = U2
U4 = ({2,4,8,7,5,1}, x) = U1
U5 = ({4,7,1}, x)
U6 = ({5,1}, x)
U7 = {7,4,1}, x) = U5
U8 = ({8,1}, x)
Also 3 Untergruppen insgesamt, nämlich U1, U2, U5, U6, U8
bei d) sollte man ja nur die Untergruppen, die von den ELementen aus (R9*,x) erzeugt werden aufschreiben:
dies sind:
U3 = ({1}, x) = U2
U4 = ({2,4,8,7,5,1}, x) = U1
U5 = ({4,7,1}, x)
U6 = ({5,1}, x)
U7 = {7,4,1}, x) = U5
U8 = ({8,1}, x)
Es zeig sich, dass c) und d) zu den gleichen ERgebnissen führen, mir fehlt nur der richtige mathematische Satz. Ist das so richtig?
DAnke Angela für deine Hilfe. Das Problem ist, dass durch die Feiertage Uni gut ausfiel und nachlesen fällt mir etwas schwer.
LG
Mia
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Hallo,
> Ich habe nochmal nachgeschlagen. Demnach sind Untergruppen
> Teilmengen der Gruppe,
das stimmt.
> wobei die Untergruppen vereinigt
> wieder die Gruppe ergeben.
???
Irgendwie hast Du etwas mißverstanden.
Untergruppen sind Teilmengen einer Gruppe, welche selbst wieder eine Gruppe sind.
>
> bei c) muss ich ja alle (!) Untergruppen von (R9*,x)
> aufstellen.
Ja.
>
> Diese ergeben sich
???
> aus den trivialen Untergruppen und den
> UNtergruppen, die aus den Elementen von (R9*,x) erzeugt
> werden.
Ich verstehe nicht, was Du meinst.
Wenn Du ein bißchen etwas über Untergruppen mitbekommen hast, dann weißt Du, daß Du neben den beiden trivialen Untergruppen nur Teilmengen der Mächtigkeit 2 und 3 auf ihre Untergruppeneigenschaft untersuchen mußt.
> Demnach habe ich gefunden:
>
> U1 = ({1,2,4,5,7,8}, x)
> U2 = ({1}, x)
> U3 = ({1}, x) = U2
??? Warum listest Du diese Gruppe zweimal?
> U4 = ({2,4,8,7,5,1}, x) = U1
Und diese auch?
> U5 = ({4,7,1}, x)
> U6 = ({5,1}, x)
Wie kommst Du darauf, daß [mm] \{5,1\} [/mm] eine Untergruppe bildet?
> U7 = {7,4,1}, x) = U5
> U8 = ({8,1}, x)
>
> Also 3 Untergruppen insgesamt, nämlich U1, U2, U5, U6, U8
???
>
> bei d) sollte man ja nur die Untergruppen, die von den
> ELementen aus (R9*,x) erzeugt werden aufschreiben:
Nein.
Man sollte zu jedem Element sagen, welche Untergruppe es erzeugt.
>
> dies sind:
>
> U3 = ({1}, x) = U2
> U4 = ({2,4,8,7,5,1}, x) = U1
> U5 = ({4,7,1}, x)
> U6 = ({5,1}, x)
Überlege Dir, warum die 5 nicht [mm] \{5,1\} [/mm] erzeugt.
> U7 = {7,4,1}, x) = U5
> U8 = ({8,1}, x)
>
> Es zeig sich, dass c) und d) zu den gleichen ERgebnissen
> führen,
Ja.
> mir fehlt nur der richtige mathematische Satz.
Nach einem Satz war ja gar nicht gefragt.
> Ist
> das so richtig?
Teils, teils.
>
> DAnke Angela für deine Hilfe. Das Problem ist, dass durch
> die Feiertage Uni gut ausfiel und nachlesen fällt mir
> etwas schwer.
Ans Nachlesen (=Nacharbeiten) wirst Du Dich gewöhnen müssen. Du kannst nicht darauf warten, daß Dir alles mundgerecht serviert wird.
LG Angela
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