Primelementzerlegung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man gebe eine Primelementzerlegung der Zahl 30 [mm] \in \IZ [/mm] (i). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich bin mal wieder nicht so ganz sicher, wie ich zur Lösung dieser Aufgabe komme. Also 30 ist ja keine Primzahl, ich kann sie also in [mm] \IZ [/mm] in 2*3*5 zerlegen. 5 ist in [mm] \IZ [/mm] (i) das Produkt zweier nicht assoziierter Primelemente, weil 5 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4 ist. 2 kann man in [mm] \IZ [/mm] (i) in (1+i) und (1-i) zerlegen. Außerdem hab ich gelesen, dass 3 Primelement ist, weil es in [mm] \IZ [/mm] (i) irreduzibel ist.
Nun gut, ich hab also zeimlich viele Informationen über diese Zahlen, kann daraus aber irgendwie nichts sinnvolles schließen. Kann mir jemand weiterhelfen, ich sollte das am mittwoch in der Klausur hinbekommen!
Grüße Löcksche
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mo 08.10.2007 | | Autor: | loecksche |
[mm] \IZ(i) [/mm] ist übrigens die Menge der Gaußschen Zahlen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Di 09.10.2007 | | Autor: | statler |
Moin!
> Man gebe eine Primelementzerlegung der Zahl 30 [mm]\in \IZ[/mm]
> (i).
> Ich bin mal wieder nicht so ganz sicher, wie ich zur
> Lösung dieser Aufgabe komme. Also 30 ist ja keine Primzahl,
> ich kann sie also in [mm]\IZ[/mm] in 2*3*5 zerlegen. 5 ist in [mm]\IZ[/mm]
> (i) das Produkt zweier nicht assoziierter Primelemente,
> weil 5 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 4 ist. 2 kann man in [mm]\IZ[/mm] (i) in (1+i)
> und (1-i) zerlegen. Außerdem hab ich gelesen, dass 3
> Primelement ist, weil es in [mm]\IZ[/mm] (i) irreduzibel ist.
> Nun gut, ich hab also zeimlich viele Informationen über
> diese Zahlen, kann daraus aber irgendwie nichts sinnvolles
> schließen. Kann mir jemand weiterhelfen, ich sollte das am
> mittwoch in der Klausur hinbekommen!
Es ist 30 = [mm] i^{3}*(1+i)^{2}*3*(1+2i)(1-2i).
[/mm]
2 ist verzweigt, 3 ist träge, 5 ist zerlegt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Guten Morgen,
danke schonmal für die Antwort, aber wie hat man denn diese Primelementzerlegung berechnet? Und gibt es vielleicht auch ein Lösung, bei der man träge, verzweigt und zerlegt nicht benutzt. Denn ohne das, musss es auch gehen, weil das kommt erst viel weiter hinten.
Grüße Löcksche
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Di 09.10.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Löcksche,
du wußtest das doch schon (außer für die 2) im wesentlichen aus der Vorlesung. Primzahlen [mm] \equiv [/mm] 1 mod4 kann man als Summe von 2 Quadraten schreiben, und das gibt die Zerlegung. Für die anderen ungeraden Primzahlen geht das eben nicht, deswegen bleiben sie prim. Die 2 ist ein Sonderfall. Ihr müßtet auch die Einheiten bestimmt haben: 1, -1, i, -i.
Gruß
Dieter
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Hallo Dieter,
also, ich fasse nochmal zusammen, ob ich auch alles richtig verstanden habe. 2 ist ein Sonderfall: Da merk ich mir einfach, dass es in (1+i)(1-i) zerlegt werden kann, oder wie du geschrieben hast, in [mm] i^{3}*(1+i)^{2}, [/mm] weil das ist gleich [mm] i^{3}*2i=2.
[/mm]
Die 3 bleibt die 3, weil sie nicht [mm] \equiv1mod4 [/mm] ist. Gilt das dann für alle ungeraden Primzahlen, die nicht kongruent 1 mod 4 sind, dass sie einfach gleich bleiben?
Und dann noch die 5: die kann man als Summe zweier Quadrate schreiben, weil sie eben kongruent 1 mod 4 ist. Ich hab noch nicht ganz verstanden, wie man diese Zerlegung von 5 gemacht hat. Kannst du das mal vorrechnen, bitte?
Grüße und schonmal danke für die Hilfe
Löcksche
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Di 09.10.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> also, ich fasse nochmal zusammen, ob ich auch alles
> richtig verstanden habe. 2 ist ein Sonderfall: Da merk ich
> mir einfach, dass es in (1+i)(1-i) zerlegt werden kann,
> oder wie du geschrieben hast, in [mm]i^{3}*(1+i)^{2},[/mm] weil das
> ist gleich [mm]i^{3}*2i=2.[/mm]
Du solltest dir dabei noch mal klarmachen, daß 1+i und 1-i assoziiert sind, da -i(1+i) = 1-i ist und -i eine Einheit.
> Die 3 bleibt die 3, weil sie nicht [mm]\equiv1mod4[/mm] ist. Gilt
> das dann für alle ungeraden Primzahlen, die nicht kongruent
> 1 mod 4 sind, dass sie einfach gleich bleiben?
Ja, die sind eben träge und rühren sich nicht.
> Und dann noch die 5: die kann man als Summe zweier
> Quadrate schreiben, weil sie eben kongruent 1 mod 4 ist.
> Ich hab noch nicht ganz verstanden, wie man diese Zerlegung
> von 5 gemacht hat. Kannst du das mal vorrechnen, bitte?
Nee, das habe ich mit der Probiermethode gemacht.
> Grüße und schonmal danke für die Hilfe
Da nich für!
Dieter
PS: Dies alles gilt für [mm] \IZ[i] [/mm] und so nicht für andere Ringe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Di 09.10.2007 | | Autor: | loecksche |
Okay, also nochmal zur 5: 5=4+1, das heißt die Summe aus 2 Quadraten.
Ich kann 4 nochmal schreiben als 2*2, also 5=2*(1-i)(1+i)+1
Wenn ich da dann weiterrechne: [mm] (2+2i)(1-i)+1=(2-2i+2i-2i^{2})+1=2-2i+2i+2+1=1-2i+2i+4
[/mm]
[mm] =1-2i+2i-4i^{2}=(1-2i)(1+2i)
[/mm]
Das alles so hinzubekommen, ist mir nun gelungen, weil ich ja schon wusste, wie die Zerlegung aussehen muss. Ist das immer so, dass man da noch bisschen rumdrehen muss, bis es stimmt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Di 09.10.2007 | | Autor: | statler |
Hi,
das ist doch viel zu umständlich. Wenn p = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] ist, dann gilt in [mm] \IZ[i] [/mm] die Gl. p = (a+bi)(a-bi), und diese beiden Faktoren sind nicht assoziiert.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Di 09.10.2007 | | Autor: | loecksche |
Ah, cool, vielen Dank, jetzt hab ichs gerafft!
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