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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mo 07.05.2007 | | Autor: | daTidus |
| Aufgabe | | Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms [mm] T^4 [/mm] - 1 über K = [mm] \IR [/mm] und über K = [mm] \IF_{5}, [/mm] dem Körper mit 5 Elementen. |
Die Primfaktorzerlegung über die reellen Zahlen habe ich gelöst, jetzt bin ich mir nur nicht ganz sicher wie ich das in [mm] \IF_{5} [/mm] hinkriegen soll.
Zuerst muss ich dann doch [mm] T^4 [/mm] - 1 umschreiben zu [mm] T^4 [/mm] + 4, da in dem Körper -1 ja zur Restklassengruppe 4 gehört, oder?
Muss ich dann einfach durch ausprobieren gucken, wie ich am Ende das Polynom erhalte oder gibt es einen Weg, der eventuell weniger aufwendig ist??
mfG daTidus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mo 07.05.2007 | | Autor: | statler |
> Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms [mm]T^4[/mm] - 1 über
> K = [mm]\IR[/mm] und über K = [mm]\IF_{5},[/mm] dem Körper mit 5 Elementen.
> Die Primfaktorzerlegung über die reellen Zahlen habe ich
> gelöst, jetzt bin ich mir nur nicht ganz sicher wie ich das
> in [mm]\IF_{5}[/mm] hinkriegen soll.
Die Primfaktorzerlegung über [mm] \IR [/mm] ist auch eine Zerlegung über [mm]\IF_{5}[/mm].
> Zuerst muss ich dann doch [mm]T^4[/mm] - 1 umschreiben zu [mm]T^4[/mm] + 4,
> da in dem Körper -1 ja zur Restklassengruppe 4 gehört,
> oder?
Das kannst du machen, mußt du aber nicht.
> Muss ich dann einfach durch ausprobieren gucken, wie ich
> am Ende das Polynom erhalte oder gibt es einen Weg, der
> eventuell weniger aufwendig ist??
Deine Zerlegung, die du schon hast (s. o.), kann ja nur noch einen reduziblen Faktor enthalten, und den solltest du noch genauer untersuchen, z. B. indem du das absolute Glied geschickt wählst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mo 07.05.2007 | | Autor: | daTidus |
Danke erstmal für die schnelle Hilfe.
Also ich habe als Lösung der Primfaktorzerlegung über [mm] \IR [/mm] herausbekommen:
[mm] T^4 [/mm] - 1 = (T - 1)(T + [mm] 1)(T^2 [/mm] + 1)
Das müsste richtig sein oder??
> > Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms [mm]T^4[/mm] - 1 über
> > K = [mm]\IR[/mm] und über K = [mm]\IF_{5},[/mm] dem Körper mit 5 Elementen.
> > Die Primfaktorzerlegung über die reellen Zahlen habe
> ich
> > gelöst, jetzt bin ich mir nur nicht ganz sicher wie ich das
> > in [mm]\IF_{5}[/mm] hinkriegen soll.
>
> Die Primfaktorzerlegung über [mm]\IR[/mm] ist auch eine Zerlegung
> über [mm]\IF_{5}[/mm].
Das verstehe ich nicht so ganz, meinst du damit dass meine Lösung für [mm] \IR [/mm] auch für [mm] \IF_{5} [/mm] gilt??
mfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Mo 07.05.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Also ich habe als Lösung der Primfaktorzerlegung über [mm]\IR[/mm]
> herausbekommen:
> [mm]T^4[/mm] - 1 = (T - 1)(T + [mm]1)(T^2[/mm] + 1)
> Das müsste richtig sein oder??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Die Primfaktorzerlegung über [mm]\IR[/mm] ist auch eine Zerlegung
> > über [mm]\IF_{5}[/mm].
>
> Das verstehe ich nicht so ganz, meinst du damit dass meine
> Lösung für [mm]\IR[/mm] auch für [mm]\IF_{5}[/mm] gilt??
Das habe ich nicht behauptet! Ich habe gesagt, daß es auch eine Zerlegung ist. Es ist keine Primfaktorzerlegung! Aber über [mm] F_{5} [/mm] ist [mm] T^{2} [/mm] + 1 = [mm] T^{2} [/mm] - 4, vielleicht hilft dir das.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mo 07.05.2007 | | Autor: | daTidus |
> Aber
> über [mm]F_{5}[/mm] ist [mm]T^{2}[/mm] + 1 = [mm]T^{2}[/mm] - 4, vielleicht hilft dir das.
Ich verstehe den Hinweis jetzt so, dass ich [mm] T^2 [/mm] + 1 umschreiben kann als [mm] T^2 [/mm] - 4 , was man ja noch weiter zerlegen kann in [mm] T^2 [/mm] - 4 = (T + 2)(T - 2)
und ich so auch noch den letzten Teil in Primfaktoren zerlegt habe, also in [mm] \IF_{5} [/mm] am Ende für die Primfaktorzerlegung
[mm] T^4 [/mm] - 1 = (T + 1)(T - 1)(T + 2)(T - 2)
Ist das richtig??
mfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mo 07.05.2007 | | Autor: | statler |
> > Aber
> > über [mm]F_{5}[/mm] ist [mm]T^{2}[/mm] + 1 = [mm]T^{2}[/mm] - 4, vielleicht hilft dir
> das.
>
> Ich verstehe den Hinweis jetzt so, dass ich [mm]T^2[/mm] + 1
> umschreiben kann als [mm]T^2[/mm] - 4 , was man ja noch weiter
> zerlegen kann in [mm]T^2[/mm] - 4 = (T + 2)(T - 2)
> und ich so auch noch den letzten Teil in Primfaktoren
> zerlegt habe, also in [mm]\IF_{5}[/mm] am Ende für die
> Primfaktorzerlegung
> [mm]T^4[/mm] - 1 = (T + 1)(T - 1)(T + 2)(T - 2)
> Ist das richtig??
Das müßtest du dir auch selbst beantworten können? Kann da noch ein Faktor weiter zerlegt werden?
(Die Antwort ist genaugenommen: Ja, aber nur so, daß ein Faktor eine Einheit ist.)
Ciao
Dieter
>
> mfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Mo 07.05.2007 | | Autor: | daTidus |
Alles klar, vielen Dank für die Hilfe ;)
mfG daTidus
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