Primfaktorzerlegung in Körpern < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:51 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Knurg |
| Aufgabe | Man definiert Zahlkörper [mm] K = Q(\alpha) [/mm] und [mm] L = Q(\beta) [/mm] durch [mm] f(\alpha) [/mm] = 0 und [mm] g(\beta) = 0[/mm], wobei [mm] f(x) = x^3 - 86x^2 - 51x - 8[/mm] und [mm]g(x) = x^3 - 38x^2 + 234x - 431 [/mm] gilt.
(i) Bestimme die Primfaktorzerlegung von g(x) in K[x].
(ii) Sind die Körper K und L isomorph? |
zu i:
Im Körper K[x] gilt, da [mm]f(\alpha) = 0[/mm] [mm][mm] \alpha^3 [/mm] = [mm] 68\alpha^2 +51\alpha [/mm] + 8.
-> [mm] g(\alpha) [/mm] = [mm] 68\alpha^2 [/mm] - [mm] 38\alpha^2 [/mm] + [mm] 51\alpha [/mm] + [mm] 234\alpha [/mm] + 8 - 431
-> = [mm] 30\alpha^2 [/mm] + [mm] 285\alpha [/mm] - 423
Und da komm ich nun nicht weiter... das bekomme ich nicht mehr zerlegt (?)
Sind die Schritte bis zu diesem Punkt richtig?
Zu (ii)
Isomorph sind 2 Körper, wenn zwischen ihnen eine Bijektive Beziehung ihrer Elemente beschreibbar ist - Bisher habe ich das leider nur durch Gegenbeispiel widerlegt, was mir in diesem Fall leider nicht gelang.
Ich vermute also Isomorphie - Finde aber leider keinen Ansatz, es zu beweisen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Morgen,
wenn bei (a) die Zerlegung über [mm] \IQ [/mm] existiert, ist sie gleich mit der über [mm] \IR, [/mm] versuch doch also die gute alte p-q-Formel zum Lösen
quadratischer Gleichungen und schau nach, ob die Faktoren in [mm] \IQ[x] [/mm] liegen oder nicht.
Gruss,
Mathias
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:12 Di 20.06.2006 | | Autor: | Knurg |
Mit Lösungsformel kommt aber (Bitte korrigiert mich) (-285 +- [mm] \wurzel{81225+50760}) [/mm] / 60 - die Wurzel ist aber nicht in Q, sondern eben in R - also ist das doch keine mögliche Lösung (?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 25.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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