matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperPrimideal, Verallgemeinerung,
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Primideal, Verallgemeinerung,
Primideal, Verallgemeinerung, < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Primideal, Verallgemeinerung,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 So 29.11.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Es sei R ein kommutativer Ring und [mm] P(\not=R) [/mm] ein ideal von R.Beweisen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:
(i) P ist ein Primideal
(ii) Sind I,J Ideale und I*J [mm] \subseteq [/mm] P, so ist [mm] I\subseteq [/mm] P oder I [mm] \subseteq [/mm] P

Unsere Definition von [mm] I*J:=\{x_1y_1+..+x_ny_n| n \ge 0, x_1,..,x_n \in I, y_1,.., y_n \in J\} [/mm]


Hallo,
Für kommutative Ringe mit 1 ist das Beispiel klar - habe ich sogar mal hier im Forum als Frage gestellt - aber das steht ja nicht in der Angabe.

(i) [mm] \rightarrow [/mm] (ii) ist klar:
Seien I,J Ideale mit I*J [mm] \subseteq [/mm] P
Seien i [mm] \in [/mm] I, j [mm] \in [/mm] I so ist i*j [mm] \in [/mm] I*J [mm] \subseteq [/mm] P
Da P Primideal folgt i [mm] \in [/mm] P [mm] \vee [/mm] j [mm] \in [/mm] P

Nun meine Schwierigkeit bei (ii) [mm] \rightarrow [/mm] (i)
Seien a,b [mm] \in [/mm] R mit [mm] ab\in [/mm] P
ZZ.: a [mm] \in [/mm] P [mm] \vee [/mm] b [mm] \in [/mm] P
Da R ein kommutativer Ring ist, ist [mm] (a)=\{\alpha a + na| \alpha \in R, n \in \mathbb{Z}\} [/mm]
Ich habe nun gezeigt:
1) (ab) [mm] \subseteq [/mm] P
2) x [mm] \in [/mm] (a)*(b)
[mm] x=(\alpha_1a+n_1a)*(\beta_1*b+s_1*b)+...+(\alpha_m [/mm] a + [mm] n_m*a)*(\beta_m b+s_m [/mm] b) = [mm] ab*(\alpha_1 \beta_1 [/mm] + [mm] \alpha_1 s_1 [/mm] + [mm] n_1 \beta_1 [/mm] + [mm] n_1 s_1)+..+ab*(\alpha_m \beta_m [/mm] + [mm] \alpha_m s_m+ n_m \beta_m +n_m s_m) \in [/mm] (ab)
mit [mm] \alpha_1,..,\alpha_m, \beta_1,..,\beta_m \in [/mm] R
[mm] n_1,..,n_m,s_1,..,s_m \in \mathbb{Z} [/mm]

Aus 1) 2) folgt zwar (a)(b) [mm] \subseteq [/mm] (ab) [mm] \subseteq [/mm] P [mm] \Rightarrow [/mm] (a) [mm] \subseteq [/mm] P [mm] \vee [/mm] (b) [mm] \subseteq [/mm] P

Aber das problem ist, dass nicht gelten muss a [mm] \in [/mm] (a) oder b [mm] \in [/mm] (b), da wir kein Einselement haben...
LG,
sissi

        
Bezug
Primideal, Verallgemeinerung,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Mo 30.11.2015
Autor: hippias


> Es sei R ein kommutativer Ring und [mm]P(\not=R)[/mm] ein ideal von
> R.Beweisen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen
> äquivalent sind:
>  (i) P ist ein Primideal
>  (ii) Sind I,J Ideale und I*J [mm]\subseteq[/mm] P, so ist
> [mm]I\subseteq[/mm] P oder I [mm]\subseteq[/mm] P
>  
> Unsere Definition von [mm]I*J:=\{x_1y_1+..+x_ny_n| n \ge 0, x_1,..,x_n \in I, y_1,.., y_n \in J\}[/mm]
>  
> Hallo,
>  Für kommutative Ringe mit 1 ist das Beispiel klar - habe
> ich sogar mal hier im Forum als Frage gestellt - aber das
> steht ja nicht in der Angabe.
>  
> (i) [mm]\rightarrow[/mm] (ii) ist klar:
>  Seien I,J Ideale mit I*J [mm]\subseteq[/mm] P
>  Seien i [mm]\in[/mm] I, j [mm]\in[/mm] I so ist i*j [mm]\in[/mm] I*J [mm]\subseteq[/mm] P
>  Da P Primideal folgt i [mm]\in[/mm] P [mm]\vee[/mm] j [mm]\in[/mm] P
>  

Das genuegt nicht: Du hast bis jetzt nur gezeigt, dass mal ein [mm] $i\in [/mm] I$ und mal ein [mm] $j\in [/mm] J$ in $P$ liegt. Es muesste aber gezeigt werden, dass alle Elemente von $I$ oder $J$ in $P$ sind.

> Nun meine Schwierigkeit bei (ii) [mm]\rightarrow[/mm] (i)
>  Seien a,b [mm]\in[/mm] R mit [mm]ab\in[/mm] P
>  ZZ.: a [mm]\in[/mm] P [mm]\vee[/mm] b [mm]\in[/mm] P
>  Da R ein kommutativer Ring ist, ist [mm](a)=\{\alpha a + na| \alpha \in R, n \in \mathbb{Z}\}[/mm]
>  
> Ich habe nun gezeigt:
>  1) (ab)= [mm]\alpha[/mm] ab + n ab [mm]\in[/mm] P [mm]\Rightarrow[/mm] (ab) [mm]\subseteq[/mm]
> P
>  2)
> [mm](a)*(b)=(\alpha_1a+n_1a)*(\beta_1*b+s_1*b)+...+(\alpha_m[/mm] a
> + [mm]n_m*a)*(\beta_m b+s_m[/mm] b) = [mm]ab*(\alpha_1 \beta_1[/mm] +
> [mm]\alpha_1 s_1[/mm] + [mm]n_1 \beta_1[/mm] + [mm]n_1 s_1)+..+ab*(\alpha_m \beta_m[/mm]
> + [mm]\alpha_m s_m+ n_m \beta_m +n_m s_m) \in[/mm] (ab)
>  mit [mm]\alpha_1,..,\alpha_m, \beta_1,..,\beta_m \in[/mm] R
>  [mm]n_1,..,n_m,s_1,..,s_m \in \mathbb{Z}[/mm]
>  
> Aus 1) 2) folgt zwar (a)(b) [mm]\subseteq[/mm] (ab) [mm]\subseteq[/mm] P
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a) [mm]\subseteq[/mm] P [mm]\vee[/mm] (b) [mm]\subseteq[/mm] P
>  
> Aber das problem ist, dass nicht gelten muss a [mm]\in[/mm] (a) oder
> b [mm]\in[/mm] (b), da wir kein Einselement haben...

Tip: Definiere $I:=(a)$ und $J:= [mm] \{x\in R|ax\in P\}$.... [/mm]

>  LG,
>  sissi


Bezug
                
Bezug
Primideal, Verallgemeinerung,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Mo 30.11.2015
Autor: sissile

Hallo,

Ich bin gerade draufgekommen, dass ja a [mm] \in [/mm] $ [mm] (a):=\{\alpha a + na| \alpha \in R, n \in \mathbb{Z}\} [/mm] $ gelten muss mit [mm] \alpha=0_R [/mm] und [mm] n=1_{\mathbb{Z}}. [/mm] Wie dumm von mir das zu bezweifeln...
Also stimmt der Beweis zu (ii) [mm] \rightarrow [/mm] (i) im ersten Post  oder?
Weil du würdest ja genauso in deinen Beweis verwenden am Ende a [mm] \in (a):=\{\alpha a + na| \alpha \in R, n \in \mathbb{Z}\}. [/mm]



Bei (i) [mm] \rightarrow [/mm] (ii) hast du natürlich recht!
Angenommen I [mm] \not\subseteq [/mm] P [mm] \wedge [/mm] J [mm] \not\subseteq [/mm] P dann [mm] \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: i [mm] \not\in [/mm] P und [mm] \exists [/mm] j [mm] \in [/mm] J: j [mm] \not\in [/mm] P
Da i*j [mm] \in [/mm] I*J [mm] \subset [/mm] P und P ein Primideal ist folgt i [mm] \in [/mm] P oder j [mm] \in [/mm] P.
Beides ein Widerspruch.

LG,
sissi


Bezug
                        
Bezug
Primideal, Verallgemeinerung,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:52 Di 01.12.2015
Autor: hippias


> Hallo,
>  
> Ich bin gerade draufgekommen, dass ja a [mm]\in[/mm]  [mm](a):=\{\alpha a + na| \alpha \in R, n \in \mathbb{Z}\}[/mm]
> gelten muss mit [mm]\alpha=0_R[/mm] und [mm]n=1_{\mathbb{Z}}.[/mm] Wie dumm
> von mir das zu bezweifeln...
>  Also stimmt der Beweis zu (ii) [mm]\rightarrow[/mm] (i) im ersten
> Post  oder?

Das ist in Ordnung. Meinen Annullator braucht man nicht.

>  Weil du würdest ja genauso in deinen Beweis verwenden am
> Ende a [mm]\in (a):=\{\alpha a + na| \alpha \in R, n \in \mathbb{Z}\}.[/mm]
>  
>
>
> Bei (i) [mm]\rightarrow[/mm] (ii) hast du natürlich recht!
>  Angenommen I [mm]\not\subseteq[/mm] P [mm]\wedge[/mm] J [mm]\not\subseteq[/mm] P dann
> [mm]\exists[/mm] i [mm]\in[/mm] I: i [mm]\not\in[/mm] P und [mm]\exists[/mm] j [mm]\in[/mm] J: j [mm]\not\in[/mm]
> P
>  Da i*j [mm]\in[/mm] I*J [mm]\subset[/mm] P und P ein Primideal ist folgt i
> [mm]\in[/mm] P oder j [mm]\in[/mm] P.
>  Beides ein Widerspruch.

O.K.

>  
> LG,
>  sissi
>  


Bezug
                                
Bezug
Primideal, Verallgemeinerung,: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 Di 01.12.2015
Autor: sissile

Danke für die Hilfe!
LG,
sissi

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]