Primideal, irreduzibel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe im Skript ein Lemma stehen, welches ich ein bisschen eigenartig finde.
Zumindest gibt es im Beweis etwas, was ich nicht verstehe.
Das Lemma lautet wie folgt:
Ist [mm] $0\neq (a)\subseteq [/mm] R$ ein Primideal (mit $(a)$ sollte die Menge [mm] $aR=\{ar|r\in R\}$ [/mm] gemeint sein) in dem Integritätsbereich, so ist $d$ irreduzibel.
Ich finde das Lemma schon deshalb komisch, weil in der Aussage das $d$ gar nicht auftaucht. Ich musste mir erst den Beweis ansehen um herauszufinden, was mit $d$ hier überhaupt gemeint ist.
Der Beweis ist recht einfach:
Sei $a=bc$, mit [mm] $b,c\in [/mm] R$. Dann ist [mm] $bc\in [/mm] (a)$.
Da $(a)$ Primideal ist [mm] $b\in [/mm] (a)$ oder [mm] $c\in [/mm] (a)$. Ohne Einschränkung [mm] $b\in [/mm] (a)$
$b=ad$ für ein $d$ in $R$.
Insgesamt a=adc, somit [mm] $dc=1\Rightarrow c\in R^\times$ [/mm] (also $c$ Einheit).
Das ist mir soweit auch alles klar.
Aber ist wegen dc=1 denn nicht auch d eine Einheit?
Wie kann d dann irreduzibel sein? Wir haben irreduzibel so definiert, dass d eben keine Einheit ist und wenn d=bc dann b oder c eine Einheit ist.
(Wir betrachten nur kommutative Ringe)
Verstehe ich hier irgendwas falsch?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Mi 28.09.2016 | | Autor: | hippias |
Es liegt ein Schreibfehler vor: statt $d$ muss es in der Schlussfolgerung des Lemmas heissen "so ist $a$ irreduzibel".
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