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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Di 06.09.2016 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
ich bin auf der Suche nach einem Hauptideal in [mm] $\mathbb Z[\sqrt{-3}]=\{a+b\sqrt{-3},a,b\in\mathbb Z\}$,
[/mm]
dass zwei verschiedene Zerlegungen
in prime Hauptideale besitzt.
Fällt jemandem da ein Beispiel ein?
Viele Grüße
Fry
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Geht [mm] 6=2*3=(3+\sqrt{3})*(3-\sqrt{3})?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 07.09.2016 | | Autor: | Fry |
Hallo HJKweseleit :)
Vielen Dank erstmal für deine Antwort!
Also die Zerlegung passt nicht (wenn man das Minus unter Wurzel ergänzt).
Dann kommt 12 raus. Und ohne das Minus macht die Zerlegung keinen Sinn, da dies keine Element im Ring sind.
Also ich möchte zeigen, dass in [mm] $\mathbb Z[\sqrt{-3}$ [/mm] keine eindeutige Primidealzerlegung existiert.
Nun bin ich mir allerdings nicht sicher, ob es ein Beispiel gibt mit zwei verschiedenen Zerlegungen in Primidealen (die ja auch keine Hauptideale seien müssen) oder ob überhaupt generell in diesem Ring keine Primidealzerlegung existiert.
Vielleicht hat da ja jemand einen Ansatz zu...?
Viele Grüße
Christian
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> Hallo HJKweseleit :)
>
> Vielen Dank erstmal für deine Antwort!
>
> Also die Zerlegung passt nicht (wenn man das Minus unter
> Wurzel ergänzt).
Sorry - Ich habe nicht aufgepasst und [mm] \wurzel{3} [/mm] statt [mm] \wurzel{-3} [/mm] gelesen.
Nimm nun stattdessen
[mm] 1+\wurzel{-3} [/mm] irreduzibel im Ring,
[mm] 1-\wurzel{-3} [/mm] irreduzibel im Ring, beide nicht assoziiert,
2 irreduzibel im Ring,
und bilde
[mm] (1+\wurzel{-3})*(1-\wurzel{-3})= [/mm] 1+3=4=2*2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Do 08.09.2016 | | Autor: | Fry |
Aber nur weil die Elemente irreduzibel in [mm] $\mathbb Z[\sqrt{-3}$ [/mm] sind, sind sie ja nicht unbedingt prim (und damit sind nicht unbedingt die entsprechenden Ideale Primideale).
Oder wie schlußfolgerst du die nichteindeutige Primidealzerlegung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Sa 10.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Aber nur weil die Elemente irreduzibel in [mm]\mathbb Z[\sqrt{-3}[/mm]
> sind, sind sie ja nicht unbedingt prim (und damit sind
> nicht unbedingt die entsprechenden Ideale Primideale).
>
> Oder wie schlußfolgerst du die nichteindeutige
> Primidealzerlegung?
Indem Du die Definition nachrechnest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Sa 10.09.2016 | | Autor: | Fry |
Naja, wenn man bewusst irreduzibel hinschreibt, aber der Ring kein Hauptidealring ist, ists irgendwie komisch.
Mmmm...aber das Hauptideal [mm] $\mathfrak{p}=(1+\sqrt{-3})$ [/mm] ist kein Primideal.
Wegen [mm] $4=2\cdot 2\in\mathfrak{p}$ [/mm] müsste, falls es Hauptideal wäre, [mm] $2\in\mathfrak{p}$ [/mm] sein. Das stimmt aber nicht.
Viele Grüße
Fry
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Eine Zerlegung eines Elementes als Produkt von Primelementen ist in einem Integritätsbereich immer eindeutig, darum wirst du das, was du im Themenstart suchst, nicht finden können.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Sa 10.09.2016 | | Autor: | hippias |
Du hast recht! Ausserdem habe ich mir die eigentliche Frage nicht richtig durchgelesen. UniversellesObjekt hat ja alles notwendige gesagt, aber vielleicht interessiert Dich das folgende trotzdem.
Sei [mm] $\pi\in [/mm] R:= [mm] \IZ[i\sqrt{3}]$ [/mm] prim, wobei der Imaginärteil [mm] $\neq [/mm] 0$ sein soll. Setze $P= [mm] \pi [/mm] R$. Dann ist $P$ Primideal von $R$ und [mm] $P\cap \IZ\neq [/mm] 0$ ist prim. Daher existiert Primzahl [mm] $p\in \IZ$ [/mm] mit [mm] $P\cap \IZ= p\IZ$. [/mm]
Insbesondere existiert nun ein [mm] $x\in [/mm] R$ so, dass [mm] $x\pi= [/mm] p$. Da $p$ reell ist, folgt $x= [mm] d\pi^{\star}$ [/mm] mit [mm] $d\in \IZ$ [/mm] und [mm] $\pi^{\star}$ [/mm] ist konjugiert zu [mm] $\pi$. [/mm] Wegen [mm] $\pi\pi^{\star}\geq [/mm] 3$ folgt, dass $|d|= 1$ und [mm] $|\pi\pi^{\star}|= [/mm] p$.
Daraus lässt sich ableiten: [mm] $\pi\in R\backslash \IZ$ [/mm] ist genau dann prim in $R$, wenn [mm] $\pi\pi^{\star}$ [/mm] prim in [mm] $\IZ$ [/mm] ist.
Andersherum gedacht: die Primzahlen [mm] $p\in \IZ$ [/mm] sind in $R$ nicht prim, wenn sie sich in der Form [mm] $a^{2}+3b^{2}$ [/mm] darstellen lassen.
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