Primideale/max. Ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Do 09.11.2017 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | | Sei R ein Ring mit der EIgenschaft, dass zu jedem [mm] x\inR [/mm] ein [mm] n\in\IN_{>1} [/mm] ex., derart dass [mm] x^n=x [/mm] gilt. Zeigen, Sie dass jedes Primideal von R bereits maximal ist. |
Hallo zusammen,
Ich weiß, dass wenn [mm] \mathfrak{p}\subseteq [/mm] R ein Primideal genau dann wenn [mm] R/\mathfrak{p} [/mm] Intergritätsring.
und sei [mm] I\subseteq [/mm] R max. Ideal. Dann folgt R/I Körper. Und da max. Ideale nie der ganze Körper muss [mm] \lbrace 0\rbrace [/mm] max. Ideal sein.
Sei [mm] \mathfrak{p}\subseteq [/mm] R Primideal, sei [mm] \mathfrak{p} \subseteq [/mm] I ein größeres Ideal und [mm] x\in I\setminus\mathfrak{p}
[/mm]
. Wähle [mm] x^n=x. [/mm] Dann gilt [mm] x(1-x^{n-1})=x-x^n=0\in\mathfrak{p}. [/mm] Wegen [mm] x\not\in \mathfrak{p} [/mm] folgt [mm] 1-x^{n-1}\in\mathfrak{p}, [/mm] also [mm] 1\in \mathfrak{p}+x^{n-1}\subeteq [/mm] I folglich ist I=R.
Irgendwie komme ich nicht weiter. Kann mir jemand da weiterhelfen? Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Sa 11.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Kann mir da wirklich niemand helfen?
|
|
|
| |
|
Ist schon richtig so. Etwas eleganter wäre es, zu bemerken, dass ein Integritätsbereich, indem es für alle $x$ ein $n$ gibt mit [mm] $x^n=x$, [/mm] ein Körper ist. Ist nämlich [mm] $x\not=0$, [/mm] so folgt aus [mm] $x^n=x$, [/mm] dass [mm] $x^{n-1}=1$ [/mm] und dies zeigt, dass $x$ invertierbar ist.
Nun wendet man das auf [mm] $R/\mathfrak{p}$ [/mm] an.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 So 12.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Vielen Dank:)
Ich habe dazu noch eine Frage: Aber gibt es Ringe, die die Eigenschaften erfüllen, dass jede Primideale auch maximale Ideale sind, aber keinen Körper sind?
|
|
|
| |
|
Ja, die gibt es. [mm] $\IZ/4$ [/mm] ist ein Beispiel. Solche Ringe nennt man nulldimensional.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
|
|
|
|
