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| Aufgabe | a) Zerlege das Ideal [mm] (10)\subset O_{K} [/mm] mit [mm] K=\IQ(\wurzel-13) [/mm] in Primideale.
b) Welche der folgenden Ideale sind prim in [mm] O_{K}?
[/mm]
(5), (7), (11), (13)? K ist hier [mm] \IQ(\wurzel13) [/mm] |
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Hallo,
eine solche Aufgabe habe ich noch nie bearbeitet und weiß nicht, wie ich da dran gehn soll. Kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Mo 08.10.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> a) Zerlege das Ideal [mm](10)\subset O_{K}[/mm] mit
> [mm]K=\IQ(\wurzel-13)[/mm] in Primideale.
> b) Welche der folgenden Ideale sind prim in [mm]O_{K}?[/mm]
> (5), (7), (11), (13)? K ist hier [mm]\IQ(\wurzel13)[/mm]
> eine solche Aufgabe habe ich noch nie bearbeitet und weiß
> nicht, wie ich da dran gehn soll. Kann mir jemand
> weiterhelfen?
Um diese Aufgabe anpacken zu können, müßtest du eine Vorlesung über algebraische Zahlentheorie gehört haben oder ein entsprechendes Buch studieren. Das Verhalten von Primzahlen in Erweiterungen von [mm] \IQ [/mm] ist zentrales Thema dieser Branche. Im Falle einer quadratischen Erweiterung (wie hier) ist das vollständig geklärt.
In [mm] \IQ(\wurzel{-13}) [/mm] ist (2) verzweigt und (5) träge, also (10) = [mm] (p)^{2}*(5).
[/mm]
In [mm] \IQ(\wurzel{13}) [/mm] sind (5), (7) und (11) träge, d. h. bleiben prim, und (13) ist verzweigt, d. h. wird 2. Potenz eines Primideals.
Soweit erstmal ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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