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Primitiv rekursive Funktionen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:42 Do 23.04.2015
Autor: mariem

Hallo,

die Menge der primitiv rekursiven Funktionen erhält folgende Funktionen:
1) f(x)=c (Konstante)
2) S(x)=x+1 (Nachfolger)
3) [mm] P_n^m(x_1, \dots [/mm] , [mm] x_m)=x_n, [/mm] m [mm] \geq [/mm] n (Projektion)

Wenn die h, [mm] g_1, \dots [/mm] , [mm] g_n: \mathbb{N}_0^m \rightarrow \mathbb{N}_0 [/mm] pimitiv rekursiv sind, dann ist auch die [mm] f(\overline{x})=h(g_1(\overline{x}), \dots [/mm] , [mm] g_n(\overline{x})): \mathbb{N}_0^m \rightarrow \mathbb{N} [/mm] primitiv rekursiv.

Wenn die  g: [mm] \mathbb{N}_0^{k-1} \rightarrow \mathbb{N}_0 [/mm] und [mm] h:\mathbb{N}_0^{k+1} \rightarrow \mathbb{N}_0 [/mm] primitiv rekursiv sind, dann ist auch die f: [mm] \mathbb{N}_0^k \rightarrow \mathbb{N}_0 [/mm]
[mm] f(0,\overline{y})=g(\overline{y}) f(x+1,\overline{y})=h(x,f(x,\overline{y}), \overline{y}) [/mm]
primitiv rekursiv.

Eine Menge A [mm] \subseteq \mathbb{N}_0^k [/mm] ist primitiv rekursiv wenn die charkteristische Funktion primitiv rekursiv ist.

Ich soll zeigen dass die folgenden Funktionen und Mengen primitiv rekursiv sind:

- f(x,y)=x+y

- f(x,y)=x [mm] \cdot [/mm] y

- sign [mm] (x)=\left\{\begin{matrix} 1 &\text{ if } x=0\\ 0 &\text{ if } x>0 \end{matrix}\right. [/mm]

- x [mm] \dot [/mm] - [mm] y=\left\{\begin{matrix} x-y &\text{ if } x \geq y\\ 0 &\text{ else } \end{matrix}\right. [/mm]

- [mm] f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & \text{ if } g(x)=0 \\ 0 & \text{ if } h(x)=0 \end{matrix}\right. \\ [/mm] g,h: [mm] \mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0 \text{ primitive recursive and } \forall [/mm] x: g(x) [mm] \cdot [/mm] h(x)=0, g(x)+h(x)>0

- [mm] f(y)=\sum_{x=0}^y [/mm] g(x) [mm] \text{ if } [/mm] g [mm] \text{ is primitive recursive } [/mm]

- [mm] f(y)=\prod_{x=0}^y [/mm] g(x) [mm] \text{ if } [/mm] g [mm] \text{ is primitive recursive } [/mm]

- [mm] \{y \mid \exists x \leq y : x \in A\}, \{y \mid \forall x \leq y : x \in A\} \text{ if } [/mm] A [mm] \text{ is primitive recursive} [/mm]



Ich habe folgendes gemacht :


- [mm] f(0,y)=P_1^1(y) [/mm]
[mm] f(x+1,y)=S(P_2^3(x,f(x,y),y))=S \circ P_2^3(x,f(x,y),y) [/mm]

f(0,y)=0 [mm] (\text{ constant } [/mm] )
f(x+1, [mm] y)=(x+1)\cdot [/mm] y=x [mm] \cdot [/mm] y +1 [mm] =S(P_2^3(x,f(x,y),y))=S \circ P_2^3(x,f(x,y),y) [/mm]

- sign(0)=1 ( [mm] \text{ constant } [/mm] )  
sign(x+1)=0 [mm] (\text{ constant } [/mm] )

- f(x,y)=x [mm] \dot [/mm] - y [mm] \\ [/mm] f(0,y)=0 [mm] (\text{ constant } [/mm] )  
[mm] f(x+1,y)=\left\{\begin{matrix} x+1-y=(x-y)+1=S(P_2^3(x,f(x,y),y))=S \circ P_2^3(x,f(x,y),y) &\text{ if } x+1 \geq y\\ 0 &\text{ else } \end{matrix}\right. [/mm]

- [mm] f(0)=\left\{\begin{matrix} 1 & \text{ if } g(0)=0 \\ 0 & \text{ if } h(0)=0 \end{matrix}\right. [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(0) [mm] \text{ constant } [/mm]

[mm] f(x+1)=\left\{\begin{matrix} 1 & \text{ if } g(x+1)=0 \\ 0 & \text{ if } h(x+1)=0 \end{matrix}\right. [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x+1) [mm] \text{ constant } [/mm]  

- [mm] f(0)=\sum_{x=0}^0 [/mm] g(x)=g(0) primitiv rekursiv  
[mm] f(y+1)=\sum_{x=0}^{y+1} g(x)=\sum_{x=0}^y [/mm] g(x) + g(y+1)=f(y)+g(y+1)=sum(f(y),g(y+1))
wobei sum(x,y)x+y
Das ist aber nicht in der Form h(y,f(y)).


[mm] f(0)=\prod_{x=0}^0 [/mm] g(x)=g(0) primitiv rekursiv
[mm] f(y+1)=\prod_{x=0}^{y+1} g(x)=\left (\prod_{x=0}^y g(x) \right [/mm] ) [mm] \cdot [/mm] g(y+1)= f(y) [mm] \cdot [/mm] g(y+1)=prod(f(y), g(y+1))
wobei prod(x,y)=x [mm] \cdot [/mm] y.
Es ist aber nicht in der Form h(y,f(y))

Ist es richtig? Wie zeigt man dass die letzten zwei Mengen primitiv rekursiv sind?


        
Bezug
Primitiv rekursive Funktionen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 25.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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