matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperPrimitive Elemente
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Primitive Elemente
Primitive Elemente < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Primitive Elemente: Unverständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Do 09.02.2017
Autor: magics

Aufgabe
Bestimmte die primitiven Elemente in [mm] \IZ_5 [/mm] und [mm] \IZ_{17}. [/mm]





Hallo,

[mm] \IZ_5 [/mm] hat [mm] $\phi(4) [/mm] = 2$ primitive Elemente. Von den Elementen ${1,2,3,4}$ sind ${1,3} $ teilerfremd zu m=4 und damit primitve Elemente.

Die eins zählt also offensichtlich dazu.

Im Raum [mm] \IZ_{17} [/mm] hätte ich jetzt auch so argumentiert. Dort ist [mm] $\phi(16)=8$ [/mm] und man identifiziert die primitven Elemente ${1,3,5,7,9,11,13,15}$.

In einer Musterlösung zu [mm] \IZ_{17} [/mm] hat man jedoch folgendes gemacht:

3 ist primitives Element von [mm] \IZ_{17}, [/mm] denn:


[mm] 3^1 [/mm] = 3
[mm] 3^2 [/mm] = 9
[mm] 3^3 [/mm] = 10
[mm] 3^4 [/mm] = 13
[mm] 3^5 [/mm] = 5
[mm] 3^6 [/mm] = 15
[mm] 3^7 [/mm] = 11
[mm] 3^8 [/mm] = 16
[mm] 3^9 [/mm] = 14
[mm] 3^{10} [/mm] = 8
[mm] 3^{11} [/mm] = 7
[mm] 3^{12} [/mm] = 4
[mm] 3^{13} [/mm] = 12
[mm] 3^{14} [/mm] = 2
[mm] 3^{15} [/mm] = 6
[mm] 3^{16} [/mm] = 1


Also sind 3, 10, 5, 11, 14, 7, 12 und 6 die primitiven Elemente von [mm] \IZ_{17}, [/mm] wohl weil diese Zahlen bei den Ergebnisse mit den Exponenten 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 und 15 stehen.

Nach der gleichen Logik hätte ich bei [mm] \IZ_5 [/mm] auch nochmal das primitve Element 3 nehmen können und anschließend:
[mm] 3^1 [/mm] = 3
[mm] 3^2 [/mm] = 4
[mm] 3^3 [/mm] = 2
[mm] 3^4 [/mm] = 1
und hätte dementsprechend für die primitven Elemente in [mm] \IZ_5 [/mm] 3 und 2 heraus.

Was stimmt denn nun?

        
Bezug
Primitive Elemente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:58 Fr 10.02.2017
Autor: leduart

Hallo
die 1 zählt man nicht zu den primitiven Elementen. in [mm] IZ_5 [/mm] ist [mm] 3^4=1 [/mm] und [mm] 2^4=1 [/mm] also sind sie primitiv.
deine primitiven wurzeln von [mm] IZ_{17} [/mm] sind nicht bzw nur zum Teil richtig, wie hast du die denn bestimmt? auch hier gibt es 8 aber ohne 1
falsch sind 9,13,15
Gruss ledum

Bezug
                
Bezug
Primitive Elemente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:19 Fr 10.02.2017
Autor: magics


> Hallo
>   die 1 zählt man nicht zu den primitiven Elementen. in
> [mm]IZ_5[/mm] ist [mm]3^4=1[/mm] und [mm]2^4=1[/mm] also sind sie primitiv.
>  deine primitiven wurzeln von [mm]IZ_{17}[/mm] sind nicht bzw nur
> zum Teil richtig, wie hast du die denn bestimmt?

Ich habe zu jeder Restklasse von [mm] IZ_{17} [/mm] geschaut, ob diese teilerfremd mit [mm] \phi(17) [/mm] = 16 ist. Wenn ja, hab ich sie als primitves Element angesehen.

> auch hier gibt es 8 aber ohne 1
>  falsch sind 9,13,15
>  Gruss ledum  


Bezug
                        
Bezug
Primitive Elemente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Fr 10.02.2017
Autor: hippias

Das ist aber nicht richtig. Jedoch könntest Du so vorgehen: wenn [mm] $\omega$ [/mm] ein primitives Element ist, und ist $k$ teilerfremd zur Gruppenordnung, dann ist auch [mm] $\omega^{k}$ [/mm] ein primitives Element.

Dazu muss aber erst ein primitives Element bekannt sein; welches Du durch Bildung von Potenzen, d.h durch Ausprobieren, bestimmen kannst.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]