Primitive Elemente < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Do 09.02.2017 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | | Bestimmte die primitiven Elemente in [mm] \IZ_5 [/mm] und [mm] \IZ_{17}. [/mm] |
Hallo,
[mm] \IZ_5 [/mm] hat [mm] $\phi(4) [/mm] = 2$ primitive Elemente. Von den Elementen ${1,2,3,4}$ sind ${1,3} $ teilerfremd zu m=4 und damit primitve Elemente.
Die eins zählt also offensichtlich dazu.
Im Raum [mm] \IZ_{17} [/mm] hätte ich jetzt auch so argumentiert. Dort ist [mm] $\phi(16)=8$ [/mm] und man identifiziert die primitven Elemente ${1,3,5,7,9,11,13,15}$.
In einer Musterlösung zu [mm] \IZ_{17} [/mm] hat man jedoch folgendes gemacht:
3 ist primitives Element von [mm] \IZ_{17}, [/mm] denn:
[mm] 3^1 [/mm] = 3
[mm] 3^2 [/mm] = 9
[mm] 3^3 [/mm] = 10
[mm] 3^4 [/mm] = 13
[mm] 3^5 [/mm] = 5
[mm] 3^6 [/mm] = 15
[mm] 3^7 [/mm] = 11
[mm] 3^8 [/mm] = 16
[mm] 3^9 [/mm] = 14
[mm] 3^{10} [/mm] = 8
[mm] 3^{11} [/mm] = 7
[mm] 3^{12} [/mm] = 4
[mm] 3^{13} [/mm] = 12
[mm] 3^{14} [/mm] = 2
[mm] 3^{15} [/mm] = 6
[mm] 3^{16} [/mm] = 1
Also sind 3, 10, 5, 11, 14, 7, 12 und 6 die primitiven Elemente von [mm] \IZ_{17}, [/mm] wohl weil diese Zahlen bei den Ergebnisse mit den Exponenten 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 und 15 stehen.
Nach der gleichen Logik hätte ich bei [mm] \IZ_5 [/mm] auch nochmal das primitve Element 3 nehmen können und anschließend:
[mm] 3^1 [/mm] = 3
[mm] 3^2 [/mm] = 4
[mm] 3^3 [/mm] = 2
[mm] 3^4 [/mm] = 1
und hätte dementsprechend für die primitven Elemente in [mm] \IZ_5 [/mm] 3 und 2 heraus.
Was stimmt denn nun?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Fr 10.02.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 1 zählt man nicht zu den primitiven Elementen. in [mm] IZ_5 [/mm] ist [mm] 3^4=1 [/mm] und [mm] 2^4=1 [/mm] also sind sie primitiv.
deine primitiven wurzeln von [mm] IZ_{17} [/mm] sind nicht bzw nur zum Teil richtig, wie hast du die denn bestimmt? auch hier gibt es 8 aber ohne 1
falsch sind 9,13,15
Gruss ledum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Fr 10.02.2017 | | Autor: | magics |
> Hallo
> die 1 zählt man nicht zu den primitiven Elementen. in
> [mm]IZ_5[/mm] ist [mm]3^4=1[/mm] und [mm]2^4=1[/mm] also sind sie primitiv.
> deine primitiven wurzeln von [mm]IZ_{17}[/mm] sind nicht bzw nur
> zum Teil richtig, wie hast du die denn bestimmt?
Ich habe zu jeder Restklasse von [mm] IZ_{17} [/mm] geschaut, ob diese teilerfremd mit [mm] \phi(17) [/mm] = 16 ist. Wenn ja, hab ich sie als primitves Element angesehen.
> auch hier gibt es 8 aber ohne 1
> falsch sind 9,13,15
> Gruss ledum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Fr 10.02.2017 | | Autor: | hippias |
Das ist aber nicht richtig. Jedoch könntest Du so vorgehen: wenn [mm] $\omega$ [/mm] ein primitives Element ist, und ist $k$ teilerfremd zur Gruppenordnung, dann ist auch [mm] $\omega^{k}$ [/mm] ein primitives Element.
Dazu muss aber erst ein primitives Element bekannt sein; welches Du durch Bildung von Potenzen, d.h durch Ausprobieren, bestimmen kannst.
|
|
|
|
