Primitive roots modulo n < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | Show that there are exactly 6 integers n such that there are exactly 8 primitive roots modulo n |
Hallo!
Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe...
Also, schauen wir mal was da steht...
Ich muss also zeigen, dass es genau 6 Zahlen [mm] n_{1},...,n_{6} [/mm] gibt, so dass die Einheitengruppen [mm] (\IZ/n_{i}\IZ)^{\times} [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 6 jeweils von 8 Elementen erzeugt werden können.
Sehe ich das richtig?
Ich habe gefunden, dass die Anzahl primitiver Wurzeln mod n [mm] \varphi(\varphi(n)) [/mm] ist.. wenn ich dies aber nach n auflöse, bekomme ich mehr als nur 6 zahlen.. nämlich:
[mm] \varphi(\varphi(n)) [/mm] = 8 [mm] \Leftrightarrow [/mm] n [mm] \in \{25,31,32,33,34,40,44,48,50,60,62,66,70,72,78,84,90\}
[/mm]
Wenn ich jetzt noch berücksichtige: n hat genau eine Primitivwurzel, wenn n = 1, 2, 4, [mm] p^{k}, 2p^{k} [/mm] für p prim, dann bleibt übrig:
n [mm] \in \{25,31,32,34,50,62\}
[/mm]
Stimmt das so?
Danke für die Hilfe!
Grüsse, Amaro
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> Show that there are exactly 6 integers n such that there
> are exactly 8 primitive roots modulo n
> Hallo!
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> Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe...
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> Also, schauen wir mal was da steht...
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> Ich muss also zeigen, dass es genau 6 Zahlen
> [mm]n_{1},...,n_{6}[/mm] gibt, so dass die Einheitengruppen
> [mm](\IZ/n_{i}\IZ)^{\times}[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] 6 jeweils von 8
> Elementen erzeugt werden können.
> Sehe ich das richtig?
>
Das stimmt so, vorausgesetzt du sagst noch, dass die Einheitengruppen jeweils von 8 paarweise verschiedenen Elementen erzeugt werden, oder einfach 8 Primitivwurzeln. Aber das hast du auch so gemeint, denke ich mal.
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>
> Ich habe gefunden, dass die Anzahl primitiver Wurzeln mod n
> [mm]\varphi(\varphi(n))[/mm] ist.. wenn ich dies aber nach n
> auflöse, bekomme ich mehr als nur 6 zahlen.. nämlich:
>
> [mm]\varphi(\varphi(n))[/mm] = 8 [mm]\Leftrightarrow[/mm] n [mm]\in \{25,31,32,33,34,40,44,48,50,60,62,66,70,72,78,84,90\}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt noch berücksichtige: n hat genau eine
> Primitivwurzel, wenn n = 1, 2, 4, [mm]p^{k}, 2p^{k}[/mm] für p
> prim, dann bleibt übrig:
Genau, denn nur wenn das gilt, ist die Einheitengruppe überhaupt zyklisch, hat also ein erzeugendes Element.
>
> n [mm]\in \{25,31,32,34,50,62\}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ich habe deine ns jetzt nicht alle überprüft, die Argumentation ist aber korrekt.
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>
> Danke für die Hilfe!
>
> Grüsse, Amaro
Grüße Sleeper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
Danke, T-Sleeper :)
Grüsse, Amaro
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