Primring, Primkörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo,
meine Frage bezieht sich auf den Primring bzw. den Primkörper eines endlichen Körpers [mm] \IF_p_^n [/mm] (p Primzahl, n [mm] \in \IN).
[/mm]
Und zwar ist ja ein Primring von einem Ring gleich der Menge [mm] \IZ [/mm] e (wobei e das neutrale Element der Ringmultiplikation ist) und dies ist ja der kleinste Unterring des gegebenen Ringes.
Der Primkörper eines Körpers [mm] \IK [/mm] ist ja wohl auch der kleinste Unterkörper, der in [mm] \IK [/mm] enthalten ist.
Jetzt meine Frage: Wenn ich einen endlichen Körper [mm] \IF_p_^n [/mm] gegeben habe, ist dann die Menge des Primringes automatisch gleich der Menge des Primkörpers von [mm] \IF_p_^n? [/mm] Ich denke, dass die Menge des Primkörpers nicht kleiner sein kann als die des Primringes, denn ein Körper ist ja immer auch ein kommutativer Ring. Aber könnte die Menge des Primkörpers nicht größer sein als die des Primringes?
Also meine Frage nochmal auf den Punkt gebracht:
Sind Primring und Primkörper eines endlichen Körpers immer identisch?
Viele Grüße,
Ellie :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ellie123,
> meine Frage bezieht sich auf den Primring bzw. den
> Primkörper eines endlichen Körpers [mm]\IF_p_^n[/mm] (p Primzahl,
> n [mm]\in \IN).[/mm]
> Und zwar ist ja ein Primring von einem Ring
> gleich der Menge [mm]\IZ[/mm] e (wobei e das neutrale Element der
> Ringmultiplikation ist) und dies ist ja der kleinste
> Unterring des gegebenen Ringes.
> Der Primkörper eines Körpers [mm]\IK[/mm] ist ja wohl auch der
> kleinste Unterkörper, der in [mm]\IK[/mm] enthalten ist.
Ja.
> Jetzt meine Frage: Wenn ich einen endlichen Körper
> [mm]\IF_p_^n[/mm] gegeben habe, ist dann die Menge des Primringes
> automatisch gleich der Menge des Primkörpers von [mm]\IF_p_^n?[/mm]
> Ich denke, dass die Menge des Primkörpers nicht kleiner
> sein kann als die des Primringes, denn ein Körper ist ja
> immer auch ein kommutativer Ring.
Ja.
Mit dieser Überlegung ergibt sich sogar, dass der Primring jedes (!) Körpers ein Unterring des entsprechenden Primkörpers ist.
> Aber könnte die Menge
> des Primkörpers nicht größer sein als die des
> Primringes?
>
> Also meine Frage nochmal auf den Punkt gebracht:
> Sind Primring und Primkörper eines endlichen Körpers
> immer identisch?
Ja.
Allgemeiner sind Primkörper und Primring genau in den Körpern identisch, die Charakteristik [mm] $\not=0$ [/mm] haben.
Primringe und Primkörper lassen sich in kommutativen Ringen mit 1 bzw. Körpern übrigens explizit charakterisieren:
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 (z.B. ein Körper) der Charakteristik [mm] $m\in\IN_0$ [/mm] mit neutralem Element e bezüglich der Multiplikation.
Dann ist der Primring von $R$ isomorph zu [mm] $\IZ/m\IZ$.
[/mm]
Der (eindeutig bestimmte) Isomorphismus zwischen diesen Ringen ist gegeben durch [mm] $\IZ/m\IZ\to R,\quad m+\IZ\mapsto [/mm] m*e$.
Falls $R$ ein Körper der Charakteristik $p$ für eine Primzahl $p$ ist, ist somit der Primring von $R$ isomorph zu [mm] $\IZ/p\IZ=\IF_p$.
[/mm]
Insbesondere ist dieser Primring schon ein Körper.
Damit stimmen Primring und Primkörper überein.
Falls $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, ist der Primring P von $R$ isomorph zu [mm] $\IZ/0\IZ$, [/mm] also zu [mm] $\IZ$.
[/mm]
Der eindeutig bestimmte Isomorphismus ist gegeben durch [mm] $\IZ\to P,\quad n\mapsto [/mm] n*e$
Der Primkörper $K$ von $R$ ist isomorph zu [mm] $\IQ$.
[/mm]
Der wiederum eindeutig bestimmte Isomorphismus ist gegeben durch [mm] $\IQ\to K,\quad\bruch{n}{m}\mapsto(n*e)*(m*e)^{-1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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