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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Sei $n>1$ ungerade. Beweise:
[mm] $$\exists [/mm] x,y [mm] \in \IN:~\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}~\Leftrightarrow~n~hat~Primteiler~~p\equiv [/mm] 3~(mod~4)$$ |
Hallo,
bei dieser Aufgabe fehlt mir, so glaube ich, der richtige Ansatz. Also mit der Aussage auf der rechten Seite, kann ich so gut wie nichts anfangen, weil mir ja nur bekannt ist, dass einer der Primteiler kongruent 3 mod 4 ist. Ich weiß nicht wie ich daraus eine Gleichung basteln kann! Fallunterscheidung??
Die Hinrichtung raff ich auch nicht ganz. Man kann ja die Gleichung umstellen nach n und dann was mit Modulo-Rechnung machen, aber ich komm da einfach zu nichts Gescheitem, hehe.
VIelen Dank für eure Hilfe,
Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:17 So 06.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hi,
Also erstmal [mm] "\Leftarrow", [/mm] da es leichter ist.
Dazu betrachtest du am besten zuerst nur [mm] n=p\equiv [/mm] 3 mod 4.
Somit n=4*k+3, dann gilt :
[mm] \bruch{4}{4k+3}=\bruch{1}{k+1}+\bruch{1}{(4k+3)(k+1)} \Rightarrow [/mm] o.k.
und für [mm] n_2=n*l, (l\in\IN) [/mm] eine bel. Zahl mit Primteiler p, diese Gleichung einfach mit [mm] \bruch{1}{l} [/mm] erweitern
Nun [mm] "\Rightarrow"
[/mm]
es gibt 2 Möglichkeiten für n ungerade:
1.) n=4k+3
dann ist [mm] n=p\equiv [/mm] 3 mod 4
2.) n=4k+1
dann ist
[mm] \bruch{4}{4k+1}=\bruch{1}{k+1+m}+\bruch{3+4m}{(k+1+m)(4k+1)}
[/mm]
Der 2. Bruch läßt sich nur kürzen, wenn die Bedingung erfüllt ist [mm] (k\equiv [/mm] 2 mod 3 und m=0???).
Warum genau sehe ich gerade nicht. Aber ich will ja auch nicht zu viel verraten. Frag nochmal nach, wenn du nicht drauf kommst.
Ciao.
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Erstmal danke, die Rückrichtung funktioniert ja so prima!!
Allerdings muss ich für [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] mehr tun oder? Angenommen, [mm] $n=p\equiv [/mm] 3 ~(mod~4)$ und $p [mm] \in \IP$, [/mm] dann sind wir fertig. Ist $n [mm] \notin \IP$, [/mm] aber [mm] $n\equiv [/mm] 3 ~(mod~4)$, dann ex. $p [mm] \in \IP, ~p\equiv [/mm] 3 ~(mod~4)$ und $p | n$. Stimmt das immer?
Was du zum Fall $n=4k+1$ schreibst, verstehe ich nicht wirklich. Wie kommst du auf diese Zerlegung? Und warum folgt daraus die geforderte Primteilereigenschaft?
Danke,
Ole
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mo 14.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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