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Forum "Zahlentheorie" - Primzahl
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Primzahl: Korrektur,Tipp,Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Sa 20.06.2015
Autor: nudidudi

Aufgabe
Es sei $p [mm] \in \IN\setminus\{1\}$.Zeigen [/mm] sie,dass $p$ genau dann eine primzahl ist,wenn für alle $b,c [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt:

$p|(bc) [mm] \Rightarrow [/mm] p|b$ oder  $p|c$

Behauptung

$p$ ist Primzahl $ [mm] \gdw [/mm]  p|(bc) [mm] \Rightarrow [/mm] p|b$ oder  $p|c$

[mm] $"\Rightarrow"$ [/mm]

$p$ ist Primzahl , dass heißt laut skript $ p [mm] \in \IZ$ [/mm]  und $ p>1$ , also $p [mm] \in \IN\setminus\{1\}$ [/mm] und nur $ [mm] \pm [/mm] 1$  und $ [mm] \pm [/mm] p$  als Teilerbesitzt.

1. ist ja $p [mm] \in \IN\setminus\{1\}$ [/mm] geben und das ist lauf augabenstellung erfüllt . also wie gesagt muss ja $p|( [mm] \pm 1\cdot{}\pm [/mm] p) [mm] \Rightarrow [/mm] p|( [mm] \pm [/mm] 1)$oder [mm] $p|(\pm [/mm] p) $

potentiell gesehen könne [mm] \pm [/mm] der rechte Faktor im nenner sein oder der linke genau wie p .darum kann man es verallgemeinern zu b und c mit [mm] b,c\in \IZ \Rightarrow [/mm] $p|( [mm] c\cdot{}b) \Rightarrow [/mm] p|( c)$oder $p|(b)$

die rückrichtung bekomme ich irgednwie nicht hin..:/

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Primzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Sa 20.06.2015
Autor: hippias


> Es sei [mm]p \in \IN\setminus\{1\}[/mm].Zeigen sie,dass [mm]p[/mm] genau dann
> eine primzahl ist,wenn für alle [mm]b,c \in \IZ[/mm] gilt:
>  
> [mm]p|(bc) \Rightarrow p|b[/mm] oder  [mm]p|c[/mm]
>  Behauptung
>
> [mm]p[/mm] ist Primzahl [mm]\gdw p|(bc) \Rightarrow p|b[/mm] oder  [mm]p|c[/mm]
>  
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
>
> [mm]p[/mm] ist Primzahl , dass heißt laut skript [mm]p \in \IZ[/mm]  und [mm]p>1[/mm]
> , also [mm]p \in \IN\setminus\{1\}[/mm] und nur [mm]\pm 1[/mm]  und [mm]\pm p[/mm]  
> als Teilerbesitzt.

O.K.

>  
> 1. ist ja [mm]p \in \IN\setminus\{1\}[/mm] geben und das ist lauf
> augabenstellung erfüllt . also wie gesagt muss ja [mm]p|( \pm 1\cdot{}\pm p) \Rightarrow p|( \pm 1)[/mm]oder
> [mm]p|(\pm p)[/mm]
>  
> potentiell gesehen könne [mm]\pm[/mm] der rechte Faktor im nenner
> sein oder der linke genau wie p .

Potentiell gesehen ist das voellig unverstaendlich. Von welchem Nenner sprichst Du?

> darum kann man es
> verallgemeinern zu b und c mit [mm]b,c\in \IZ \Rightarrow[/mm]  [mm]p|( c\cdot{}b) \Rightarrow p|( c)[/mm]oder
> [mm]p|(b)[/mm]

Das muesstest Du erst einmal beweisen.

Ich weiss ja nicht, auf welche Saetze Du zurueckgreifen kannst. Ich versuche Dir einen Tip zu geben, der gewisse Kenntnisse von gemeinsamen Teilern voraussetzt.

[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es sei $p$ eine Primzahl und seien [mm] $a,b\in \IZ$ [/mm] mit [mm] $p\vert [/mm] ab$. Zu zeigen ist, dass [mm] $p\vert [/mm] a$ oder [mm] $p\vert [/mm] b$.
Nimm an, dass [mm] $p\not\vert [/mm] a$.

Nun zeige Du, dass $p$ und $a$ teilerfremd sind. Dann gibt es [mm] $r,s\in \IZ$ [/mm] so, dass $1= sp+ra$ gilt (kennst Du das?). Schlussfolgere daraus eine Darstellung fuer $b$ und damit, dass [mm] $p\vert [/mm] b$ gilt.

>  
> die rückrichtung bekomme ich irgednwie nicht hin..:/

[mm] $\Leftarrow$ [/mm] Es habe die $p$ die Eigenschaft aus der Aufgabenstellung und es sei $a$ ein Teiler von $p$. Zu zeigen ist, dass $a= [mm] \pm1$ [/mm] oder $a= [mm] \pm [/mm] p$.
Da $a$ ein Teiler ist, gibt es ein $b$ mit $p= ab$. Nun wende die Voraussetzung an.

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Primzahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Sa 20.06.2015
Autor: nudidudi

ahh okay


Annahme:
$P [mm] \not\vert [/mm] a$  das heißt $a$ kann nicht $p$ also [mm] $a\neq [/mm] p$ ,weil wenn $a=p$ wäre würde $a$ aufjedenfall $p$ teilen ,da $a$ ja dann die primzahl selbst wäre und da eine primzahl nur durch sich selbst und $1$ teilbar sein kann muss [mm] $a\neq [/mm] p$ sein.  also das heist $ ggT(p,a)=1$ das heißt das b die Primzahl selbst ist?


Rückrichtung

$ [mm] \Leftarrow [/mm] $ Es habe $ p $ die Eigenschaft aus der Aufgabenstellung und es sei $ a $ ein Teiler von $ p $. Zu zeigen ist, dass $ a= [mm] \pm1 [/mm] $ oder $ a= [mm] \pm [/mm] p $.
Da $ a $ ein Teiler ist, gibt es ein $ b $ mit $ p= ab $. Nun wende die Voraussetzung an.

das heißt$   p$   wird geteil von $  p|a$   oder $  p|b $  

wenn $ a= [mm] \pm1 [/mm] $  heißt dass das $  b$   die primzahl ist und wenn  $ a= [mm] \pm [/mm] p $ heißt dass das $  b =1$   ist

so gut?



Bezug
                        
Bezug
Primzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Sa 20.06.2015
Autor: hippias


> ahh okay
>  
>
> Annahme:
>  [mm]P \not\vert a[/mm]  das heißt [mm]a[/mm] kann nicht [mm]p[/mm] also [mm]a\neq p[/mm]
> ,weil wenn [mm]a=p[/mm] wäre würde [mm]a[/mm] aufjedenfall [mm]p[/mm] teilen ,da [mm]a[/mm]
> ja dann die primzahl selbst wäre und da eine primzahl nur
> durch sich selbst und [mm]1[/mm] teilbar sein kann muss [mm]a\neq p[/mm]
> sein.  

Ich vermute mit diesem Geschreibsel moechtest Du sagen, dass [mm] $a\neq [/mm] p$ ist, wenn $a$ nicht von $p$ geteilt wird. Das ist richtig...

> also das heist [mm]ggT(p,a)=1[/mm]

... hat aber nichts mit gemeinsamen Teilern zu tun. Also: wieso sind $a$ und $p$ teilerfremd, wenn [mm] $p\not\vert [/mm] a$? Sei $d$ ein gemeinsamer Teiler von $a$ und $p$. Wegen [mm] $d\vert [/mm] p$ folgt... fuehre Du es zu Ende.

> das heißt das b die
> Primzahl selbst ist?

Nein. Wieso beachtest Du nicht meinen Hinweis?

>
>
> Rückrichtung
>  
> [mm]\Leftarrow[/mm] Es habe [mm]p[/mm] die Eigenschaft aus der
> Aufgabenstellung und es sei [mm]a[/mm] ein Teiler von [mm]p [/mm]. Zu zeigen
> ist, dass [mm]a= \pm1[/mm] oder [mm]a= \pm p [/mm].
>  Da [mm]a[/mm] ein Teiler ist,
> gibt es ein [mm]b[/mm] mit [mm]p= ab [/mm]. Nun wende die Voraussetzung an.
>
> das heißt[mm] p[/mm]   wird geteil von [mm]p|a[/mm]   oder [mm]p|b[/mm]  
> wenn [mm]a= \pm1[/mm]  heißt dass das [mm]b[/mm]   die primzahl ist und wenn
>  [mm]a= \pm p[/mm] heißt dass das [mm]b =1[/mm]   ist
>  
> so gut?

Das ist komplett unverstaendlich. Kann sein, dass Du das richtige meinst. Aber ich bin nicht bereit eine Ratestunde einzulegen, nur weil Du zu faul bist Dich klar auszudruecken.
Ich habe Dir doch geschrieben, dass Du zeigen musst, dass [mm] $a=\pm [/mm] 1$ oder [mm] $a=\pm [/mm] p$. Du aber schreibst: wenn [mm]a= \pm1[/mm]  heißt dass...
und
wenn [mm]a= \pm p[/mm] heißt dass...
Damit setzt Du genau das voraus, was Du eigentlich beweisen sollst.

Also sei $p=ab$ und nimm z.B. an, dass [mm] $p\vert [/mm] a$. Schreibe dann $a= dp$. Zusammen mit $p=ab$ folgt jetzt was fuer $b$, $d$ und $a$?

>  
>  


Bezug
                                
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Primzahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Sa 20.06.2015
Autor: nudidudi

sei $d=ggt(a,p) [mm] \gdw [/mm] d|a$ und $d|p$  und  sei $x := [mm] \frac{a}{d}$ [/mm] und $y := [mm] \frac{p}{d}$ [/mm]

dann ist $d=ggt(a,p) =ggt(d [mm] \cdot{}\frac{a}{d},d \cdot{}\frac{p}{d})= [/mm]  ggt(d [mm] \cdot{} [/mm] x,d [mm] \cdot{} [/mm] y)= [mm] d\codt{}ggt(x,y) [/mm] $

also $d= [mm] d\codt{}ggt(x,y) [/mm]  \ gdw 1=ggt(x,y)$ also sind $a$und $p$ teilerfremd , denn wenn man zwei ganze zahlen durch ihren $ggt(a,p)$ teilt sind sie teilerfremd :) müsste b jetzt nicht die primzahl selbst sein?


mit $p=ab$ daran bastel ich noch gerade :)

Bezug
                                        
Bezug
Primzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 So 21.06.2015
Autor: hippias


> sei [mm]d=ggt(a,p) \gdw [/mm]

[mm] $\iff$ [/mm] ist hier falsch; nur [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ist i.a. richtig

> [mm] d|a[/mm] und [mm]d|p[/mm]  und  sei [mm]x := \frac{a}{d}[/mm]
> und [mm]y := \frac{p}{d}[/mm]
>  
> dann ist [mm]d=ggt(a,p) =ggt(d \cdot{}\frac{a}{d},d \cdot{}\frac{p}{d})= ggt(d \cdot{} x,d \cdot{} y)= d\codt{}ggt(x,y)[/mm]
>  
> also [mm]d= d\codt{}ggt(x,y) \ gdw 1=ggt(x,y)[/mm] also sind [mm]a[/mm]und [mm]p[/mm]
> teilerfremd ,

Nein. Du hast damit allenfalls gezeigt, dass $x$ und $y$ teilerfremd sind.

> denn wenn man zwei ganze zahlen durch ihren
> [mm]ggt(a,p)[/mm] teilt sind sie teilerfremd :)

S.o.

> müsste b jetzt
> nicht die primzahl selbst sein?

Du hast nirgends benutzt, dass $p$ prim ist. Nochmal: Sei [mm] $d\vert [/mm] a$ und [mm] $d\vert [/mm] p$. Da $p$ prim ist, folgt fuer $d$, dass ... jetz Du.

>  
>
> mit [mm]p=ab[/mm] daran bastel ich noch gerade :)


Bezug
                                                
Bezug
Primzahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 So 21.06.2015
Autor: nudidudi

Da $ p $ prim ist, folgt fuer $ d $, dass d entweder $d=1$ oder $d=p$ ist, weil eine primzahl ist nur durch sich selbst oder $1$ teilbar.


guck mal ich hab mir heute morgen im bett was auch gedacht geht das auch?

$p$ ist ja prim und teil das produkt $ab$ also $ p|ab$ und angenommen $p|a$ ist teilerfremd dann muss $p$ ja $b$ teilen  aufgrund der primfaktorzerlung von $p$ da $p [mm] \in \IN\setminus\{1\}$ [/mm] ist

angenommen $p|a$ sind teilerfremd dann muss  $p$ ein teiler von $b$ sein

.Jetzt kommt dein Hinweis da $p$ und $a$ teilerfremd sind folgt daraus  $fa+gp=1$ mit [mm] $f,g\in \IZ$ [/mm]

die gleichung multipliziere ich nun mit $b$, $bfa+gpb=b$

jetzt steht ja im linken summand bfa das kann man ja auch so schreiben $f(ab)$  und $ab$ wird ja von $p$ geteilt also $ ab=dp$ mit $d [mm] \in \IZ$ [/mm]

also steht da $f(dp)+g(pb)=b [mm] \gdw [/mm] p(fd+gb)=b  [mm] \Rightarrow$ [/mm] nun ist $p$ ein faktor von$ b$ und teil ihn somit

konklusion: der fall für $p|b$ sind teilerfremd geht analog, daraus folgt die behauptung das entweder $p|a$ oder $ p|b$ teilt.


[mm] $"\Leftarrow"$ [/mm]


"Also sei $ p=ab $ und nimm z.B. an, dass $ [mm] p\vert [/mm] a $. Schreibe dann $ a= dp $. Zusammen mit $ p=ab $ folgt jetzt was fuer $ b $, $ d $ und $ a $? "

sei $ p=ab $

annahme $ [mm] p\vert [/mm] a $
$a$ lässt sich dann darstellen als $ a=dp$  also heißt das $ p=dpb [mm] \gdw [/mm] p=(db)*p$  

$d$ lässt sich jetzt darstellen als [mm] d=\frac{p}{a} [/mm] also [mm] $\Rightarrow p=(\frac{p}{a}b)*p= [/mm] ab$ daraus folgt die annahme . ist da so gut?

Bezug
                                                        
Bezug
Primzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 So 21.06.2015
Autor: hippias


> Da [mm]p[/mm] prim ist, folgt fuer [mm]d [/mm], dass d entweder [mm]d=1[/mm] oder [mm]d=p[/mm]
> ist, weil eine primzahl ist nur durch sich selbst oder [mm]1[/mm]
> teilbar.
>  
>
> guck mal ich hab mir heute morgen im bett was auch gedacht
> geht das auch?
>  
> [mm]p[/mm] ist ja prim und teil das produkt [mm]ab[/mm] also [mm]p|ab[/mm] und

Was soll

> angenommen [mm]p|a[/mm] ist teilerfremd

denn bedeuten?!

> dann muss [mm]p[/mm] ja [mm]b[/mm] teilen  
> aufgrund der primfaktorzerlung von [mm]p[/mm] da [mm]p \in \IN\setminus\{1\}[/mm]
> ist

Das ist Unsinn.

>
> angenommen [mm]p|a[/mm] sind teilerfremd dann muss  [mm]p[/mm] ein teiler von
> [mm]b[/mm] sein

S.o.

Meine Guete, das ist doch nicht zu schwer! Sei [mm] $p\vert [/mm] ab$ und es gelte [mm] $p\not\vert [/mm] a$, sodass also $a$ und $p$ teilerfremd sind!

>  
> .Jetzt kommt dein Hinweis da [mm]p[/mm] und [mm]a[/mm] teilerfremd sind folgt
> daraus  [mm]fa+gp=1[/mm] mit [mm]f,g\in \IZ[/mm]
>  
> die gleichung multipliziere ich nun mit [mm]b[/mm], [mm]bfa+gpb=b[/mm]
>  
> jetzt steht ja im linken summand bfa das kann man ja auch
> so schreiben [mm]f(ab)[/mm]  und [mm]ab[/mm] wird ja von [mm]p[/mm] geteilt also [mm]ab=dp[/mm]
> mit [mm]d \in \IZ[/mm]
>  
> also steht da [mm]f(dp)+g(pb)=b \gdw p(fd+gb)=b \Rightarrow[/mm]
> nun ist [mm]p[/mm] ein faktor von[mm] b[/mm] und teil ihn somit

In Ordnung.

>  
> konklusion: der fall für [mm]p|b[/mm] sind teilerfremd geht analog,
> daraus folgt die behauptung das entweder [mm]p|a[/mm] oder [mm]p|b[/mm]
> teilt.

>  
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
>  
>
> "Also sei [mm]p=ab[/mm] und nimm z.B. an, dass [mm]p\vert a [/mm]. Schreibe
> dann [mm]a= dp [/mm]. Zusammen mit [mm]p=ab[/mm] folgt jetzt was fuer [mm]b [/mm], [mm]d[/mm]
> und [mm]a [/mm]? "
>  
> sei [mm]p=ab[/mm]
>
> annahme [mm]p\vert a[/mm]
> [mm]a[/mm] lässt sich dann darstellen als [mm]a=dp[/mm]  also heißt das
> [mm]p=dpb \gdw p=(db)*p[/mm]  
>
> [mm]d[/mm] lässt sich jetzt darstellen als [mm]d=\frac{p}{a}[/mm]

Nein. Allenfalls ist $d= [mm] \frac{a}{p}$. [/mm]

> also
> [mm]\Rightarrow p=(\frac{p}{a}b)*p= ab[/mm] daraus folgt die annahme
> . ist da so gut?

Sag' Du es mir: ist es gut, wenn man aus der Annahme die Annahme schlussfolgert?

Nocheinmal: Du hast $p=dap$. Was heisst das fuer $da$, $d$ und $a$?

Bezug
                                                                
Bezug
Primzahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 So 21.06.2015
Autor: nudidudi

sorry, ich bin ein wenig dumm ..:/

Du hast $ p=dap $. Was heisst das fuer $ da $, $ d $ und $ a $?  

ja das heißt doch wenn  p=dap dass da|p teilt oder nicht ?

da laut annahme  p|a sind p und d teilerfremd und das heißt ggt(p,d)=1

also ist p eine primzahl.

falls das falsch sein sollte, möchte ich mich vorneweg bei dir entschuldigen. Ich schätze deine Hinweise tipps und bemühungen und ich möchte mich nicht undankbar zeigen ,wenn ich sie befolge ,aber ich hab einfach ein mega brett vorm kopf,das tut mir leid und ich schäme mich dafür ..:/


edit: wenn p=dap muss d dann nicht d=1 sein ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Primzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 So 21.06.2015
Autor: fred97

da=1

FRED

Bezug
                                                                                
Bezug
Primzahl: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:15 So 21.06.2015
Autor: nudidudi

Und daraus folgt p ist prim oder?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Primzahl: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Di 23.06.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                                        
Bezug
Primzahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:14 Mo 22.06.2015
Autor: hippias


>  
> falls das falsch sein sollte, möchte ich mich vorneweg bei
> dir entschuldigen. Ich schätze deine Hinweise tipps und
> bemühungen und ich möchte mich nicht undankbar zeigen
> ,wenn ich sie befolge ,aber ich hab einfach ein mega brett
> vorm kopf,das tut mir leid und ich schäme mich dafür ..:/

Dafuer gibt es absolut keinen Grund: ich helfe den Leuten hier gerne. Und wie die meisten anderen Menschen auch, habe ich viel Muehe gehabt zu lernen einen mathematischen Beweis zu fuehren. Was aber einen schlechten Eindruck bei mir, und vielleicht nur bei mir, hinterlaesst, ist die gleichgueltige und allen Regeln der Rechtschreibung spottende Ausdruckweise. Das halte ich fuer unangebracht.

Anderer Leute Hinweise zu verstehen, ist nicht selten ganz schoen schwer. Du wirst sehen, dass Du nach einer Weile der Uebung ein Repertoire an Beweistechniken und Herangehensweise erlangt haben wirst, das Dir auch in anderen Situationen von Nutzen sein wird.

Bezug
        
Bezug
Primzahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Sa 20.06.2015
Autor: hippias

Und natuerlich
[willkommenvh]

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