Primzahl teilt Schnapszahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mo 12.05.2014 | | Autor: | huberT |
| Aufgabe | | Beweise, dass jede Primzahl p unendlich viele Schnapszahlen teilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir wissen, wenn [mm] p\inP [/mm] gilt ggT(n,p) = 1 für alle [mm] n\inN. [/mm] Sei also [mm] p\inP [/mm] eine Primzahl
Wir definieren eine Schnapszahl als
s = [mm] a*\summe_{i\ge0}10^{i} [/mm] mit [mm] a\in{1,2,...,9}.
[/mm]
Nach dem Fundamentalsatz besitzt jede Schnapszahl (Element der natürlichen Zahlen) eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Damit finden wir eine Schnapszahl s die von unserem p geteilt wird. Es ex. also ein [mm] m\inN [/mm] mit s = p*m. s ist von der Form [mm] a*\summe_{i\ge0}10^{i}, [/mm] d.h. ein Produkt von natürlichen Zahlen. Nehmen wir an p teilt nicht a, dann ist ggT(a,p)=1 (da p prim). Nach der Division mit Rest gilt 1 = q*p + r*a für gewisse [mm] q,r\inZ. [/mm]
Dann folgt
[mm] \summe_{i\ge0}10^{i} [/mm] = [mm] \summe_{i\ge0}10^{i} [/mm] * 1
= [mm] \summe_{i\ge0}10^{i}*q*p [/mm] + [mm] \summe_{i\ge0}10^{i}*a*r [/mm]
= [mm] \summe_{i\ge0}10^{i}*q*p [/mm] + r*s
= [mm] \summe_{i\ge0}10^{i}*q*p [/mm] + r*p*m
= [mm] P*(\summe_{i\ge0}10^{i}*q [/mm] + r*m)
D.h. p teilt [mm] \summe_{i\ge0}10^{i}.
[/mm]
Das habe ich bis jetzt herausgefunden. Aber irgendwie hilft mir das nicht weiter :(
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> Beweise, dass jede Primzahl p unendlich viele Schnapszahlen
> teilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wir wissen, wenn [mm]p\inP[/mm] gilt ggT(n,p) = 1 für alle [mm]n\inN.[/mm]
> Sei also [mm]p\inP[/mm] eine Primzahl
> Wir definieren eine Schnapszahl als
>
> s = [mm]a*\summe_{i\ge0}10^{i}[/mm] mit [mm]a\in{1,2,...,9}.[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da hast du wohl vergessen, eine obere Grenze für die Summation
anzugeben, denn sonst wäre jede Schnapszahl unendlich groß !
> Nach dem Fundamentalsatz besitzt jede Schnapszahl (Element
> der natürlichen Zahlen) eine eindeutige
> Primfaktorzerlegung. Damit finden wir eine Schnapszahl s
> die von unserem p geteilt wird. Es ex. also ein [mm]m\inN[/mm] mit s
> = p*m. s ist von der Form [mm]a*\summe_{i\ge0}10^{i},[/mm] d.h. ein
> Produkt von natürlichen Zahlen. Nehmen wir an p teilt
> nicht a, dann ist ggT(a,p)=1 (da p prim). Nach der Division
> mit Rest gilt 1 = q*p + r*a für gewisse [mm]q,r\inZ.[/mm]
> Dann folgt
> [mm]\summe_{i\ge0}10^{i}[/mm] = [mm]\summe_{i\ge0}10^{i}[/mm] * 1
> = [mm]\summe_{i\ge0}10^{i}*q*p[/mm] +
> [mm]\summe_{i\ge0}10^{i}*a*r[/mm]
> = [mm]\summe_{i\ge0}10^{i}*q*p[/mm] + r*s
> = [mm]\summe_{i\ge0}10^{i}*q*p[/mm] + r*p*m
> = [mm]P*(\summe_{i\ge0}10^{i}*q[/mm] + r*m)
>
> D.h. p teilt [mm]\summe_{i\ge0}10^{i}.[/mm]
>
> Das habe ich bis jetzt herausgefunden. Aber irgendwie hilft
> mir das nicht weiter :(
Hallo huberT
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich möchte dir nur mal einen einfachen Tipp geben, der dich
ein Stücklein weiter bringen dürfte. Angenommen, wir hätten
zu einer gewissen Primzahl p eine passende "Schnapszahl", sagen
wir die Zahl
$\ s\ =\ a * [mm] \summe_{i=0}^n 10^{i}$
[/mm]
Dann ist es leicht, eine weitere Schnapszahl anzugeben, welche
p als Teiler hat, zum Beispiel die Zahl
$\ [mm] s_n\ [/mm] =\ a [mm] *\summe_{i=0}^{2\,n+1} 10^{i}$
[/mm]
(warum ?) ... und wie erhält man dann weitere unendlich
viele passende Schnapszahlen zu p ?
Den "wichtigeren" Teil des Beweises, nämlich den Nachweis,
dass es zu jeder Primzahl p wenigstens eine Schnapszahl s=k*p
gibt, wollte ich dir aber jetzt noch nicht sogleich verraten ...
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 12.05.2014 | | Autor: | huberT |
Meintest du sicher s = [mm] a*a*\summe_{i=0}^{n}10^{i}
[/mm]
und nicht s = [mm] a*\summe_{i=0}^{n}10^{i} [/mm] ?
und habe ich nicht gezeigt, dass man zu jeder Primzahl p eine Schnapszahl findet, die von p geteilt wird, indem ich sage:
Betrachten wir eine Schnapszahl s = [mm] \summe_{i=0}^{n}10^{i},
[/mm]
dann besitzt s (Element der natürlichen Zahlen) nach dem Fundamentalsatz eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Da die Menge der Schnapszahlen offenbar unendlich ist existiert auch zu jeder Primzahl eine Schnapszahl, die von dieser Primzahl geteilt wird.
Ich habe versucht deinen Tipp per Induktion zu beweisen. Also, wenn wir annehmen dass p ein Teiler von
s = [mm] a*a*\summe_{i=0}^{n}10^{i} [/mm] ist, dass dann auch p ein Teiler von s = [mm] a*\summe_{i=0}^{2n+1}10^{i} [/mm] ist. Allerdings scheitere ich hier schon beim Induktionsanfang.
Ich lass es für heute gut sein, meine Nerven sind am Ende..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Di 13.05.2014 | | Autor: | abakus |
"Da die Menge der Schnapszahlen offenbar unendlich ist existiert auch zu jeder Primzahl eine Schnapszahl, die von dieser Primzahl geteilt wird."
Diese Schlussfolgerung ist abenteuerlich.
Es könnte doch auch möglich sein, dass diese Schnapszahlen nur eine bestimmte Auswahl an Primzahlen als Primfaktoren besitzen.
Die Schnapszahl [mm] $a*10^n+a*10^{n-}+...+a*10^2+a*10+a$ [/mm] lässt sich schreiben als [mm] $a*(10^n+10^{n-1}+...+10^2+10+1)$, [/mm] und für [mm] $10^n+10^{n-1}+...+10^2+10+1$ [/mm] gibt es eine Summenformel.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Di 13.05.2014 | | Autor: | huberT |
das stimmt, entschuldigung für die abenteuerliche Schlussfolgerung.
Mir fällt dazu nur die geometrische Summenformel ein. Dann hätte ich
s = [mm] a*a*\summe_{i=0}^{n}10^{i} [/mm] = [mm] a*a*\bruch{1-10^{n}}{1-10}
[/mm]
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] a*\summe_{i=0}^{2n+1}10^{i} [/mm] = [mm] a*\bruch{1-10^{2n+1}}{1-10}.
[/mm]
und daran kann ich jetzt sehen dass wenn p ein Teiler von s ist p auch [mm] s_{n} [/mm] teilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> das stimmt, entschuldigung für die abenteuerliche
> Schlussfolgerung.
>
> Mir fällt dazu nur die geometrische Summenformel ein. Dann
> hätte ich
>
> s = [mm]a*a*\summe_{i=0}^{n}10^{i}[/mm] =
> [mm]a*a*\bruch{1-10^{n}}{1-10}[/mm]
>
> [mm]s_{n}[/mm] = [mm]a*\summe_{i=0}^{2n+1}10^{i}[/mm] =
> [mm]a*\bruch{1-10^{2n+1}}{1-10}.[/mm]
Es ist [mm] \summe_{i=0}^{N}10^{i}=\bruch{1-10^{N+1}}{1-10}
[/mm]
>
> und daran kann ich jetzt sehen dass wenn p ein Teiler von s
> ist p auch [mm]s_{n}[/mm] teilt?
Vielleicht verstehe ich das Problem nicht. Ist p eine Primzahl und n [mm] \in \IN,
[/mm]
so ist $p* [mm] \summe_{i=0}^{n}10^{i}$ [/mm] eine Schnappszahl für jedes n [mm] \ge [/mm] 2.
Edit: obiges war ein von mir gewaltiger Griff ins Klo
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Di 13.05.2014 | | Autor: | huberT |
Ist p eine Primzahl und n [mm] \in \IN,
[/mm]
so ist $p* [mm] \summe_{i=0}^{n}10^{i}$ [/mm] eine Schnappszahl für jedes n [mm] \ge [/mm] 2.
Das gilt aber doch nicht, denn wenn p = 13 und n = 2 dann gilt:
[mm] 13*\summe_{i=0}^{2}10^{i} [/mm] = 13*(1+10+100) = 13 + 130 + 1300 = 1443
und 1443 ist keine schnapszahl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ist p eine Primzahl und n [mm]\in \IN,[/mm]
>
> so ist [mm]p* \summe_{i=0}^{n}10^{i}[/mm] eine Schnappszahl für
> jedes n [mm]\ge[/mm] 2.
>
> Das gilt aber doch nicht, denn wenn p = 13 und n = 2 dann
> gilt:
>
> [mm]13*\summe_{i=0}^{2}10^{i}[/mm] = 13*(1+10+100) = 13 + 130 + 1300
> = 1443
>
> und 1443 ist keine schnapszahl
Du hast recht. Da hab ich ins Klo gegriffen ! Pardon.
FRED
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Hallo huberT,
zeige, dass für $p>5$ gilt: [mm] p\big|s=\summe_{i=0}^{p-2}10^i.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:55 Di 13.05.2014 | | Autor: | huberT |
hallo reverend ;)
Sei p prim und p > 5. Wir wollen zeigen dass p ein Teiler von einer Schnapszahl
s = [mm] a*\summe_{i=0}^{p-2}10^{i} [/mm] ist (wobei [mm] a\in{1,...,9}).
[/mm]
Es gilt mit der geometrischen Summenformel
s = [mm] a*\summe_{i=0}^{p-2}10^{i} [/mm] = [mm] a*\bruch{1-10^{p-1}}{1-10}. [/mm]
Dann erhalten wir mit dem Satz von Fermat nach dem für prime p
[mm] a^{p-1}\equiv [/mm] 1 mod p, sofern ggT(a,p) = 1 :
s = [mm] a*\bruch{1-10^{p-1}}{1-10} [/mm] = [mm] a*(\bruch{-1}{9}) [/mm] * [mm] (1-10^{p-1})
[/mm]
das heißt
s [mm] \equiv a*(\bruch{-1}{9}) [/mm] mod p * (1 mod p - [mm] 10^{p-1} [/mm] mod p)
[mm] \gdw [/mm] (Satz von Fermat)
s [mm] \equiv a*(\bruch{-1}{9}) [/mm] mod p * (1 - 1 mod p)
[mm] \gdw
[/mm]
s [mm] \equiv a*((\bruch{-1}{9})) [/mm] * (1-1)) mod p
[mm] \gdw
[/mm]
s [mm] \equiv a*((\bruch{-1}{9})) [/mm] * 0 ) modp
[mm] \gdw
[/mm]
s [mm] \equiv [/mm] 0 mod p.
Das heißt p teilt s.
Danke euch allen schonmal. Ich glaube ich hab die Lösung jetzt:
Wir zeigen zuerst dass jede Primzahl eine Schnapszahl teilt.
Für [mm] p\in{2,3,5} [/mm] ist diese Aussage klar.
Für p > 5 habe ich das meiner Meinung nach eben gezeigt. Wir wissen also, dass jede Primzahl eine Schnapszahl teilt.
Dann zeige ich, dass wenn [mm] p\inP [/mm] eine Schnappszahl
[mm] s_1 [/mm] = [mm] a*\summe_{i=0}^{n}10^{i} [/mm] teilt,
dass dann dieses p auch
[mm] s_2 [/mm] = [mm] a*\summe_{i=0}^{2n+1}10^{i}
[/mm]
und
[mm] s_3 [/mm] = [mm] a*\summe_{i=0}^{3n+2}10^{i}
[/mm]
und somit induktiv jedes weitere [mm] s_n.
[/mm]
Über eine kurze Rückmeldung würde ich mich noch freuen.
Grüße huberT
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 15.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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