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Forum "Zahlentheorie" - Primzahlen
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Primzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 So 25.10.2015
Autor: Fry

Aufgabe
<br>
Seien [mm] $a_1,...,a_n\in\mathbb [/mm] N$.
Zeigen Sie:
Ist p eine Primzahl mit [mm] $p|a_1*...*a_n$, [/mm] so existiert ein [mm] $i\in\{1,...,n\}$ [/mm] mit [mm] $p|a_i.$ [/mm]



<br>

Hallo :),
könnte jemand von euch meinen Beweis kontrollieren?
Also der obige Satz soll mit vollständiger Induktion gezeigt werden:

I.A. $n=1$: [mm] $p|a_1$ [/mm] ist klar
I.V. Die obige Behauptung gelte für ein festes [mm] $n\in\mathbb [/mm] N$.
I.S. [mm] n\to [/mm] n+1: Es sei p eine Primzahl mit [mm] $p|a_1*...*a_{n+1}$ [/mm]
Da Primzahlen Primelemente in [mm] $\mathbb [/mm] Z$ sind, folgt aus [mm] $p|a_1*...*a_{n+1}$, [/mm] dass
[mm] $p|a_{n+1}$ [/mm] oder [mm] $p|a_1*...*a_{n}$. [/mm]
Im zweiten Fall gilt die Induktionsvoraussetzung und die Behauptung ist gezeigt.

Viele Grüße
Fry

        
Bezug
Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 So 25.10.2015
Autor: koepper

Hallo Fry,
an diesem recht simplen Beweis gibt es nichts zu beanstanden.
LG

Bezug
        
Bezug
Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 So 25.10.2015
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

wenn du weißt, dass Primzahlen die Primelemente in [mm] $\IZ$ [/mm] sind, ist es ja trivial. Bist du sicher, dass du das benutzen darfst? Die Aufgabe macht eigentlich nur Sinn, wenn man die Primzahlen als irreduzible Elemente in [mm] $\IZ$ [/mm] kennengelernt hat.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
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