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Forum "Zahlentheorie" - Primzahlen, ggT, Potenzen
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Primzahlen, ggT, Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Di 20.10.2015
Autor: wunschca

Aufgabe 1
Für welche Primzahlen p gibt es eine natürliche Zahl k, so dass [mm] 2*p+1=k^3 [/mm] gilt? Beweisen Sie Ihr Ergebnis


Aufgabe 2
Seien a,b,c,n∈N mit ggT(a,b)=1 und [mm] a*b=c^n [/mm] . Zeigen Sie: Es existieren d,e∈N , so dass [mm] a=d^n [/mm] und [mm] b=e^n [/mm] gilt


Hallo!

Zu Aufgabe 1, ich bin alle p und k Konstelationen bis k=27 durchgegangen. da war ich dann schon bei p um die 20000.

Es gilt da nur für p=13 denn: [mm] 2*13+1=27=3^3. [/mm]

Nun weiß ich leider nicht, wie ich mein Ergebnis beweisen soll. Habe erst überlegt, einen Gegenbeweis zu führen oder einen Widerspruchsbeweis, aber irgendwie komme ich auf nichts. Hat hier vielleicht jemand eine Idee?


Zu Aufgabe 2 habe ich kaum was, also noch weniger als zur 1. Ich weiß hier muss gelten:
[mm] a|c^n [/mm] und [mm] b|c^n [/mm] und [mm] d^n*e^n=c^n, [/mm] sowie [mm] ggT(d^n,e^n)=1. [/mm]
Aber wo soll ich hier anfangen?

Vielen Dank schon mal!

Der Vollständigkeit wegen:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Primzahlen, ggT, Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Di 20.10.2015
Autor: abakus


> Für welche Primzahlen p gibt es eine natürliche Zahl k,
> so dass [mm]2*p+1=k^3[/mm] gilt? Beweisen Sie Ihr Ergebnis

Hallo,
diese Gleichung lässt sich umschreiben zu
[mm] $k^3-1=2p$, [/mm]
und [mm]  $k^3-1$ [/mm]  lässt sich faktorisieren zu
(k-1)(.....).
Wenn das nun 2p ergeben soll ist entweder eine Klammer 1 und die andere 2p; oder eine Klammer ist 2 und die andere p.

Gruß Abakus

>

> Seien a,b,c,n∈N mit ggT(a,b)=1 und [mm]a*b=c^n[/mm] . Zeigen Sie:
> Es existieren d,e∈N , so dass [mm]a=d^n[/mm] und [mm]b=e^n[/mm] gilt

>

> Hallo!

>

> Zu Aufgabe 1, ich bin alle p und k Konstelationen bis k=27
> durchgegangen. da war ich dann schon bei p um die 20000.

>

> Es gilt da nur für p=13 denn: [mm]2*13+1=27=3^3.[/mm]

>

> Nun weiß ich leider nicht, wie ich mein Ergebnis beweisen
> soll. Habe erst überlegt, einen Gegenbeweis zu führen
> oder einen Widerspruchsbeweis, aber irgendwie komme ich auf
> nichts. Hat hier vielleicht jemand eine Idee?

>
>

> Zu Aufgabe 2 habe ich kaum was, also noch weniger als zur
> 1. Ich weiß hier muss gelten:
> [mm]a|c^n[/mm] und [mm]b|c^n[/mm] und [mm]d^n*e^n=c^n,[/mm] sowie [mm]ggT(d^n,e^n)=1.[/mm]
> Aber wo soll ich hier anfangen?

>

> Vielen Dank schon mal!

>

> Der Vollständigkeit wegen:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Bezug
                
Bezug
Primzahlen, ggT, Potenzen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:02 Fr 23.10.2015
Autor: wunschca

Aufgabe
Seien a,b,c,n∈N mit ggT(a,b)=1 und  [mm] a*b=c^n [/mm] . Zeigen Sie: Es existieren d,e∈N , so dass [mm] a=d^n [/mm]  und  [mm] b=e^n [/mm]  gilt.

Vielen Dank für die Beantwortung der ersten Frage. Konnte diese sehr gut nachvollziehen und bin die Aufgabe noch mal durchgegangen.

Hat jemand eine Idee zu dieser Aufgabenstellung. Bräuchte nur einen Ansatz. Danke!

Bezug
                        
Bezug
Primzahlen, ggT, Potenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Fr 23.10.2015
Autor: abakus

Hallo,
nehmen wir mal an, es wäre n=5.
[mm] $c^5$ [/mm] ließe sich dann beispielsweile als Produkt [mm] $c^1\cdot c^4$ [/mm] oder als  [mm] $c^2\cdot c^3$ [/mm] oder ... schreiben.
ABER: Laut Aufgabenstellung sind die Fälle 
[mm]  $a=c^1,\;b= c^4$ ,   $a=c^2,\;b= c^3$ [/mm]  NICHT möglich, denn der ggT von a und b wäre dann c oder sogar eine größere Potenz von c.
Das soll mal als erster Impuls genügen.

Gruß Abakus
 

Bezug
                        
Bezug
Primzahlen, ggT, Potenzen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Di 27.10.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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