Primzahlen und Teilbarkeit < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Bazie96 |
| Aufgabe | Thema: Primzahlen und Teilbarkeit
- Teilbarkeitsregeln
- Methoden zur Primzahlen Bestimmung
- was ist eine Primzahl?
- Modulo?
- Jede natürliche Zahl n>1 hat mindestens eine Primzahl als (echten oder unechten) Teiler...?
- Satz von Euklid
- Wechselquersumme??????
- Mathematiker dazu?? |
Ich muss bis 31.1 ein Portfolio über Primzahlen und Teilbarkeit als Vorwissenschaftliche Arbeit zur Vorbereitung auf die Matura schreiben und habe oben die groben Inhaltspunkte aufgelistet...
Da ich in meinem Buch und im Internet schon so einiges gefunden habe, liegen mir nun folgende "Problemthemchen" besonders am Herzen: Methoden zur Primzahlen Bestimmung (habe bis jetzt: moderner Algorithmus, Primfaktorenzerlegung und Sieb des Eratosthenes),
was ist eine Primzahl? ( bis jetzt hab ich das: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Die Bezeichnung Primzahl kommt aus dem Lateinischem (primus=vorderste), also vorderste Zahl. Daraus folgt dass sie niemals das Produkt von 2 natürlichen Zahlen, die größer als 1 ist, sein kann.Jede Primzahl ist ungerade, ausgenommen die Primzahl 2, da sie sonst durch die (Prim)Zahl 2 teilbar und keine Primzahl wäre.) Was könnt ich noch hinzufügen? was fehlt?, für was brauch ich da modulo????? (Bis jetzt leider noch erfolglos)
Satz von Euklid? (erscheint mir in Wikipedia etwas "zu intelligent" und kompliziert für diese Arbeit...^^)
Großes Problem in der ganzen Klasse ist die Wechselquersumme und es wär echt toll wenn mir das jemand erklären würde :)
und welche Mathematiker haben das ganze beeinflusst bzw. in welchen Bereichen und wozu braucht man "Primzahlen und Teilbarkeit"
Großes Dankeschön schon im Voraus
glG Bazie96
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
Zur Primzahlbestimmung:
Du musst hier unterscheiden zwischen der Frage "Wie finde ich Primzahlen?" und "Wie teste ich, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist" (die sog. Primzahltests).
Als Stichpunkte würde ich dir hier folgendes ans Herz legen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fermatscher_Primzahltest
diesen kannst du ganz gut mit reinbringen, wenn du bei der "modulo"-Frage den kleinen Fermat erwähnst.
http://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl
Diesen solltest du zumindest kurz erwähnen, da (wenn mich nicht alles täuscht) die größten heutzutage bekannten Primzahlen Mersenne-Primzahlen sind.
Zur Frage, was eine Primzahl ist:
Der Ausdruck "prim" ist in der (linearen) Algebra definiert als:
$p$ heißt prim, wenn aus $p | a*b$ bereits $p|a$ oder $p|b$ folgt.
Das ganze hat noch ein paar Bedingungen mehr, aber die müssen dir momentan keine Sorgen machen.
Also für ganze Zahlen:
Wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, so muss sie bereits einen Faktor teilen.
Deine Aussagen sind natürlich alle nicht falsch, aber doch etwas sehr lang und vielleicht nicht ganz geeignet für die Definition dieses zentralen Begriffs.
Den Satz von Euklid solltest du auf jeden Fall mit reinbringen, allein damit es etwas mathematisch wird und nicht nur Theorie/Geschichte beinhaltet.
Wenn du zu diesem Fragen hast kannst du sie gerne stellen, aber wenn man den Beweis einmal verstanden hat ist er an sich nicht sehr kompliziert.
Zur Wechselquersumme - oder alternierende Quersumme:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quersumme#Alternierende_Quersumme
Was genau möchtest du damit machen?
Möchtest du beweisen, dass eine Zahl genau dann durch 11 teilbar ist, wenn es ihre alternierende Quersumme ist?
Wenn ja dann sag Bescheid und sag vor allem wie gut du dir das Thema "modulo" schon angeguckt hast (siehe unten), dann kann dir dabei sicher geholfen werden. ;)
Als Mathematiker nennen könntest du:
Euler
Fermat
Mersenne
Gauß (der schon wieder^^)
und noch einige weitere.
Allerdings würde ich an deiner Stelle nur die nennen, von denen du auch etwas (etwa einen Satz, etc.) mit rein bringst.
Für die Anwendung und die Frage "wozu das ganze?" brauchen wir erstmal modulo-Betrachtungen.
Wir zerlegen hier die Menge [mm] $\IZ$ [/mm] der ganzen Zahlen in sogenannte Restklassen modulo $n$, wobei $n$ eine natürliche Zahl ist.
Zum Beispiel könnte die Menge der Restklassen diese sein:
[mm] $\{ [0], [1], \cdots , [n-1] \}$
[/mm]
Restklassen werden oft in eckigen Klammern geschrieben, aber nicht immer.
Die Restklassen entstehen, wie der Name schon vermuten lässt, durch Division mit Rest durch $n$.
Das ganze mal am Beispiel 3:
Hier haben wir die Restklassen [0], [1], [2] und es ist:
$[1] = [mm] \{1,4,7,10, \cdots , -2,-5,-8, \cdots \} [/mm] = 1 + [mm] 3\IZ$
[/mm]
Also einfach alle ganzen Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 haben.
Die letzte Schreibweise, $1 + [mm] 3\IZ$ [/mm] bedeutet hierbei, dass wir auf 1 beliebige Vielfache der 3 draufaddieren dürfen, also $1 + [mm] 3\IZ [/mm] = [mm] \{ 1 + 3*k | k \in \IZ \}$.
[/mm]
Das mag für den Anfang etwas verwirrend klingen, ist aber für Primzahltests und moderne Anwendung essenziell.
Bevor ich dir ein wenig über Anwendung erzähle noch eine Feststellung:
Mit diesen Restklassen kann man [mm] $\textbf{vertreterunabhängig}$ [/mm] rechnen.
Hierfür lässt man gerne die eckligen Klammern weg und schreib (mod 3) ans Ende der Rechnung.
Also etwa:
$1 + 2 [mm] \equiv [/mm] 0$ (mod 3)
Diese Gleichung bedeutet übersetzt:
Wenn wir eine Zahl, die bei Division den Rest 1 hat, und eine, die den Rest 2 hat, addieren, erhalten wir eine Zahl, die den Rest 0 hat; also durch 3 teilbar ist.
Wie du siehst benutzt man hier kein = sondern ein [mm] $\equiv$, [/mm] um zu verdeutlichen, dass es keine Gleichheit sondern eine Kongruenz ist.
Sollten bis hierher Fragen aufgetreten sein immer her damit, denn jetzt kommt der Teil mit "vertreterunabhängig":
Dies bedeutet, dass man aus den Restklassen beliebige Vertreter wählen kann, also an ein paar Beispielen:
$1 + 2 [mm] \equiv [/mm] 1 - 1 [mm] \equiv [/mm] 0$ (mod 3)
Also anstatt mit der 2 zu rechnen kann man auch mit der -1 rechnen.
$1*6 [mm] \equiv [/mm] 1*0 [mm] \equiv [/mm] 0$ (mod 3)
$2*2 [mm] \equiv [/mm] (-1)*(-1) [mm] \equiv [/mm] 1$ (mod 3)
Versuch dir am besten an ein paar Beispielen klar zu machen, wieso, wenn man zwei Zahlen multipliziert, die den Rest 2 (mod 3) haben, ein Rest von 1 rauskommt.
Und noch eine kleine Warnung:
Die Vertreterunabhängigkeit gilt nur für die Addition und die Multiplikation.
So ist etwa [mm] $2^2 \equiv [/mm] 2*2 [mm] \equiv [/mm] 1$ (mod 3), aber [mm] $2^5 \equiv [/mm] 32 [mm] \equiv [/mm] 2$ (mod 3)
Auch mit Wurzeln und ähnlichem solltest du Modulo erst hantieren, wenn du ein wenig mehr weißt (also nach ein paar Semestern Uni^^).
Hast du dies nun alles verstanden (wenn nicht frag einfach ;) ) so ist hoffentlich auch klar, was mit (mod n) gemeint ist; und das ist das Modulo-Rechnen.
Dies findet zum Beispiel im kleinen Fermat Anwendung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kleiner_fermatscher_Satz
Auch in der modernen Anwendung von Primzahlen spielen solche Modulo-Rechnungen eine wichtige Rolle; etwa in der Kryptographie:
http://de.wikipedia.org/wiki/RSA-Kryptosystem
Hier gibt es noch viele andere Verschlüsselungen, falls du noch welche haben möchtest hilft dir google sicher gern weiter. ;)
Und auch dein Problem mit der Quersumme lässt sich lösen, wenn du das ganze Modulo 11 betrachtest: Eine Zahl ist genau dann kongruent zu 0 mod 11, wenn es ihre alternierende Quersumme ist.
Sollten noch Fragen offen sein oder sollte ich was vergessen haben frag ruhig.
lg
Schadow
PS:
Erwähnen solltest du vielleicht auch den Begriff
![[]](/images/popup.gif) elementare Zahlentheorie, denn dieser Teilbereich der Mathematik interessiert sich sehr für Primzahlen und was man damit alles tolles machen kann.
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