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Hallo,
mich interessiert eine Frage:
Es gibt unendlich viele Primzahlen , gibt es auch unendlich viele Primzahlenzwillinge , also [mm] p_2 [/mm] - [mm] p_1 [/mm] = 2
Alle Primzahlenzwillinge , außer (3 und 5 ) haben folgendes gemeinsam : Alle sind durch 6 teilbar.
Somit hat man entweer die Form 6n-1 , oder 6n+1
Ich habe mir die Primzahlen bis 100.000 angeguckt und stoße auf Grenzen , je größer die Zahlen werden , desto schwerer wird es.
Eigentlich müssen es unendlich viele Primzahlenzwillinge geben. Hat da jemand Ahnung , wie man da irgendwie vorgeht ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mi 19.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
hättest du mal wiki bemüht, wüsstest du , dass es dafür oder das gegentiel keinen Beweis gibt. Näheres siehe dort.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
neben Leduarts Antwort:
> Hallo,
> mich interessiert eine Frage:
>
> Es gibt unendlich viele Primzahlen , gibt es auch unendlich
> viele Primzahlenzwillinge , also [mm]p_2[/mm] - [mm]p_1[/mm] = 2
>
> Alle Primzahlenzwillinge , außer (3 und 5 ) haben
> folgendes gemeinsam : Alle sind durch 6 teilbar.
ein Primzahlzwilling ist ein Paar: [mm] $(p_1,p_2)$ [/mm] mit Primzahlen o.E. [mm] $p_1=p_2-2\,.$
[/mm]
Was soll das heißen, dass ein solches Paar durch [mm] $6\,$ [/mm] teilbar ist? Weder
[mm] $p_1$ [/mm] noch [mm] $p_2$ [/mm] kann durch [mm] $6\,$ [/mm] teilbar sein, denn andernfalls hätten
wir doch ein Problem: Wäre [mm] $p_1$ [/mm] durch [mm] $6\,$ [/mm] teilbar, so wäre [mm] $p_1$ [/mm]
keine Primzahl mehr.
> Somit hat man entweer die Form 6n-1 , oder 6n+1
Vermutlich meinst Du also: Der Mittelwert der Primzahlen [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$
[/mm]
eines Primzahlzwillings [mm] $(p_1,p_2)$ [/mm] ist durch [mm] $6\,$ [/mm] teilbar.
Aber das ist auch nicht verwunderlich: [mm] $$(p_1+p_2)/2=(p_1+p_1-2)/2=p_1-1\,,$$
[/mm]
und [mm] $p_1-1\,$ [/mm] ist sicher durch [mm] $2\,$ [/mm] teilbar, weil jede Primzahl ungleich
[mm] $2\,$ [/mm] sicher gerade ist. Angenommen, es wäre [mm] $p_1-1\,$ [/mm] nicht durch 3
teilbar: [mm] $p_1-1=3k+r$ [/mm] mit [mm] $r=1\,$ [/mm] oder [mm] $r=2\,$ [/mm] und einem
[mm] $k\in \IN_0\,.$
[/mm]
Es gilt also
[mm] $$p_1=3k+(r+1)$$
[/mm]
und
[mm] $$p_2=3k+(r+3)=3*(k+1)+r$$
[/mm]
mit $k [mm] \in \IN_0$ $r=1\,$ [/mm] oder [mm] $r=2\,.$ [/mm]
1. Fall: Ist [mm] $r=2\,,$ [/mm] so folgt [mm] $p_1=3*(k+1)\,,$ [/mm] und damit $3 | [mm] p_1\,,$ [/mm] also
kann dann nur [mm] $p_1=3$ [/mm] und [mm] $p_2=5$ [/mm] sein.
2. Fall: Ist [mm] $r=1\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$p_1+p_2=3k+2+(3k+3+1)=6k+6$$
[/mm]
und damit
[mm] $$(p_1+p_2)/2=3(k+1)\,,$$
[/mm]
und damit ist [mm] $p_1-1=(p_1+p_2)/2$ [/mm] offensichtlich doch durch 3 teilbar.
Widerspruch.
> Ich habe mir die Primzahlen bis 100.000 angeguckt und
> stoße auf Grenzen , je größer die Zahlen werden , desto
> schwerer wird es.
>
> Eigentlich müssen es unendlich viele Primzahlenzwillinge
> geben.
Warum MÜSSTE es die denn eigentlich geben?
> Hat da jemand Ahnung , wie man da irgendwie vorgeht
> ?
Warten wir mal auf die Zahlentheoretiker oder Algebraiker, die sind da
sicher besser informiert, was den aktuellen Stand der Forschung betrifft.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Do 20.12.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Vielen Dank für die Antworten.
Das Problem, das ich hier angesprochen habe , ist noch ein ungelöstes Problem in der Mathematik. Schien am Anfang einfach zu sein, doch man stößt auf gewaltige Probleme , naja, haut wohl nicht hin , ist zu hoch für mich :D
Vielen Dank trotzdem.
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