Primzahlzerlegung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Fr 18.04.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Es sei $M := [mm] \left\{ 7n + 1: n\in\mathbb{N} \right\}$
[/mm]
Ein Element $a [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus \left\{ 1\right\} [/mm] $ heiße "atomar", wenn es sich nicht in der Form $a = b [mm] \cdot [/mm] c$ mit $b,c [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus \left\{ 1\right\}$ [/mm] darstellen lässt.
Beweisen Sie, dass jedes Element aus $M [mm] \setminus \left\{ 1\right\}$ [/mm] sich als Produkt von endlich vielen atomaren Elementen darstellen lässt. |
Hallo zusammen,
komme bei dem Beweis nicht wirklich weiter.
Würde das ganze per Induktion nach $l$ beweisen. Für $l=0$ und $l=1$ ist die Aussage wahr.
Induktionsschritt: Die Aussage sei wahr für ein [mm] $l\in\mathbb{N}$, [/mm] es gilt also [mm] $7l+1=p_1\cdot [/mm] ... [mm] \cdot p_r$ [/mm] für $r$ atomare Zahlen aus $M$. Ich betrachte $7(l+1)+1$.
$7(l+1)+1=7l+8=7l+1+7$ und nach der Voraussetzung
[mm] $7(l+1)+1=p_1\cdot [/mm] ... [mm] \cdot p_r [/mm] +7$. Ich muss also zeigen, dass [mm] $p_1\cdot [/mm] ... [mm] \cdot p_r [/mm] +7$ gleich einem Produkt von $s$ atomaren Zahlen [mm] $q_1,...,q_s$ [/mm] ist, dass also [mm] $q_1\cdot [/mm] ... [mm] \cdot q_s=p_1\cdot [/mm] ... [mm] \cdot p_r [/mm] +7$. Hier komme ich leider nicht weiter, bzw. bin mir auch nicht sicher, ob der Beweis so geführt werden sollte.
Wäre wieder sehr dankbar für Eure Hinweise 
Viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Fr 18.04.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Gregor,
Bei vielen Zerlegungsproblemen funktioniert Induktion über die Grösse nicht besonders gut, da die Primfaktorzerlegung ja wild hin und her springt. So ist es ja auch in diesem Fall. Aber hier gibt es eine ziemlich einfache Lösung des Problems:
Sei [mm]m \in M\setminus \{1\}[/mm]. Falls [mm]m[/mm] atomar ist, so ist die Zerlegung bereits da. Falls [mm]m[/mm] aber nicht atomar ist, dann gibt es [mm]b,c \in M \setminus \left\{ 1\right\}[/mm] mit [mm]m=b\cdot c[/mm]. Diese [mm]b[/mm] und [mm]c[/mm] sind ja auch wieder Elemente aus [mm]M[/mm], und sicher kleiner. Wie kann man dies ausnutzen?
Viele Grüsse,
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Fr 18.04.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Andreas,
zunächst mal vielen Dank für Deine Antwort!
Sagen wir mal, die Aussage stimmt für die ersten $r$ Zahlen in $M$. Dann betrachte ich die $(r+1)$te Zahl [mm] $m\in M\setminus \left\{ 1 \right\}$. [/mm] Falls diese atomar ist, bin ich fertig. Falls aber $m$ nicht atomar ist, dann existieren zwei Zahlen [mm] $a,b\in M\setminus \left\{ 1 \right\}$ [/mm] mit [mm] $m=a\cdot [/mm] b$. Die Zahlen $a$ und $b$ sind notwendig kleiner als $m$. Für diese gilt laut Induktionsvoraussetzung, dass sich jeweils $a$ und $b$ als Produkt atomarer Zahlen schreiben lassen. Also lässt sich $m$ schreiben als Produkt atomarer Zahlen, sprich es folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Gregor
> Hallo Gregor,
>
> Bei vielen Zerlegungsproblemen funktioniert Induktion über
> die Grösse nicht besonders gut, da die Primfaktorzerlegung
> ja wild hin und her springt. So ist es ja auch in diesem
> Fall. Aber hier gibt es eine ziemlich einfache Lösung des
> Problems:
>
> Sei [mm]m \in M\setminus \{1\}[/mm]. Falls [mm]m[/mm] atomar ist, so ist die
> Zerlegung bereits da. Falls [mm]m[/mm] aber nicht atomar ist, dann
> gibt es [mm]b,c \in M \setminus \left\{ 1\right\}[/mm] mit [mm]m=b\cdot c[/mm].
> Diese [mm]b[/mm] und [mm]c[/mm] sind ja auch wieder Elemente aus [mm]M[/mm], und
> sicher kleiner. Wie kann man dies ausnutzen?
>
> Viele Grüsse,
> Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Fr 18.04.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Gregor,
> Sagen wir mal, die Aussage stimmt für die ersten [mm]r[/mm] Zahlen
> in [mm]M[/mm]. Dann betrachte ich die [mm](r+1)[/mm]te Zahl [mm]m\in M\setminus \left\{ 1 \right\}[/mm].
> Falls diese atomar ist, bin ich fertig. Falls aber [mm]m[/mm] nicht
> atomar ist, dann existieren zwei Zahlen [mm]a,b\in M\setminus \left\{ 1 \right\}[/mm]
> mit [mm]m=a\cdot b[/mm]. Die Zahlen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] sind notwendig kleiner
> als [mm]m[/mm]. Für diese gilt laut Induktionsvoraussetzung, dass
> sich jeweils [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] als Produkt atomarer Zahlen schreiben
> lassen. Also lässt sich [mm]m[/mm] schreiben als Produkt atomarer
> Zahlen, sprich es folgt die Behauptung.
Genau! Diesem Beweis habe ich nur auszusetzen, dass du noch eine Verankerung brauchst, z.b. [mm]r=0[/mm], was sich sehr einfach nachprüfen lässt. =)
Viele Grüsse,
Andreas
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