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| Aufgabe | Volumen eines Ellipsoid
[mm] A:=\{(x,y,z): \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+\bruch{z^2}{c^2}\le1\} [/mm] |
Definition des Satzes von Cavalieri lautet ja:
Sei [mm] A=\{(x,y,z):(x,y\in A_z\subseteq\mathbb{R}^2)\} [/mm] Jordan-messbar (d.h die charackteristische Fkt. ist integrierbar), [mm] A_z [/mm] sei Jordan-messbar für alle z und [mm] I(A_z)=h(z), [/mm] dann gilt
[mm] I(A)=\integral_{\mathbb{R}}^{}{h(z) dz}=\integral_{\mathbb{R}}^{}{I(A_z) dz}
[/mm]
Ich habe auf A jetzt zweimal den Satz angewendet und bekomme dann
[mm] A_(z_y)=\{(x,y,z): \bruch{x^2}{a^2}\le1-\bruch{y^2}{b^2}-\bruch{z^2}{c^2}\}
[/mm]
Wie schaut jetzt aber [mm] I(A_(z_y)) [/mm] aus? Es müssten ja 3 geschachtelte 1-dimensionale Integrale rauskommen, die dann leicht zu berechnen wären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 So 04.12.2011 | | Autor: | Omikron123 |
Hat jemand eine Idee?
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Hallo Omikron,
überleg nochmal...
Hier mal die Kontrolllösung: I(A)=abc
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 So 04.12.2011 | | Autor: | Omikron123 |
Ich habe das INtegral schon einmal mittels Polarkoordinaten berechnet, die Lösung ist [mm] \bruch{4}{3}\pi*abc
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 So 04.12.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ach, jetzt verstehe ich, was Du mit I(A) meinst.
> Ich habe das INtegral schon einmal mittels Polarkoordinaten
> berechnet, die Lösung ist [mm]\bruch{4}{3}\pi*abc[/mm]
Klar. Für a,b,c=1 ist die Lösung ja [mm] \bruch{4}{3}\pi. [/mm] Meine Antwort sollte nur die Abhängigkeit von den drei Parametern aufnehmen.
Aber weißt Du damit jetzt nicht, wie das Integral aufzustellen ist?
Grüße
reverend
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Das ist das Problem, ich weiß es leider nicht. Bei Polarkoordinaten hat man die folgenden drei Integrale
[mm] \integral_{0}^{1}{}\integral_{0}^{\pi}{}\integral_{0}^{2\pi}{...}
[/mm]
Nur scheitere ich daran [mm] I(A_z) [/mm] bzw. [mm] I(A_{z_y}) [/mm] zu formulieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch
[mm] $A_z=\{(x,y) \in \IR^2: x^2/a^2+y^2/b^2 \le 1-z^2/c^2\}$
[/mm]
Für |z|>c ist [mm] A_z= \emptyset. [/mm] Also:
$ [mm] I(A)=\integral_{\mathbb{R}}^{}{h(z) dz}=\integral_{\mathbb{R}}^{}{I(A_z) dz} =\integral_{-c}^{c}{I(A_z) dz} [/mm] $
Für |z| [mm] \le [/mm] c (fest) ist [mm] A_z [/mm] eine Ellipse . Also ist [mm] I(A_z)= [/mm] ?
FRED
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Für eine Ellipse muss ja auf der rechten Seite gleich 1 stehen, also mittels Umformungen erhalte ich folgende Ungleichung:
[mm] \bruch{x^2*c^2}{a^2*(c^2-z^2)}+\bruch{y^2*c^2}{b^2*(c^2-z^2)}\le{1}
[/mm]
A von einer Ellipse ist [mm] uv\pi [/mm] also müsste dann in unserem Falle [mm] u=\bruch{c^2}{a^2*(c^2-z^2)} [/mm] und [mm] v=\bruch{c^2}{b^2*(c^2-z^2)} [/mm]
[mm] I(A_z)=\integral_{-c}^{c}{uv\pi dz}
[/mm]
Kann das so stimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mo 05.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest direkt sehen dass deine achsen u,v falsch sind für z gegen 0 gehen sie gegen unendlich ausserdem hast du für wenn du den kehrwert nimmst noch für u und v Längenquadrate also als fläche [mm] Länge^4 [/mm]
also 2 dicke Fehler. Langsamer rechnen ist meist schneller!
Gruss leduart
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Also für u habe ich jetzt
[mm] \bruch{a^2(c^2-z^2)}{c^2}, [/mm] analoges für v...
Den zweiten Teil deiner Antwort verstehe ich nicht ganz, irgendetwas fehlt bei mir ja noch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Di 06.12.2011 | | Autor: | Omikron123 |
Hat jemand noch eine Idee?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Di 06.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Achsen u,v gehen in [mm] x^2/u^2+y^2/v^2=1 [/mm] sind im Nenner doch Quadrate!
du willst die Fläche [mm] \pi*u*v
[/mm]
wenn u und v wie bei dir Längenquadrate wären, käm dabei [mm] Länge^4 [/mm] raus.
So einfache Dimensionsüberlegungen helfen Formeln zu überprüfen. also richtig ist:
[mm] u=\wurzel{\bruch{a^2(c^2-z^2)}{c^2}}
[/mm]
Gruss leduart
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