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Hallo,
Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?
Ein dreiseitiges Prisma hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 4 cm. Die Höhe der Säule beträgt 5 cm. Zeichne ein Netz des Prismas und berechne dann Volumen und Oberfläche.
Ich hab da gar keinen Durchblick. Bitte helft mir.
LG Silvia und Danke
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Hallo, mal ein Bild,
![[]](/images/popup.gif) Netz, anklicken
du kennst doch bestimmt einige Formeln, deine Hausaufgaben machen wir nicht, stelle hier vor, was du schon kannst
Steffi
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Also,
die Formeln weiß ich:
O= 2 x G + M
V= G x h
g x h / 2 x h
Aber ich weiß nicht welche Zahlen ich einsetzen muss.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mo 03.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also,
> die Formeln weiß ich:
> O= 2 x G + M
> V= G x h
> g x h / 2 x h
Das ist doch schonmal gut.
Für ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a gilt:
[mm] $h_{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot [/mm] a$
Das ganze stammt vom Satz des Pythagoras, aus der Bedingung [mm] $a^{2}=h_{a}^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}$, [/mm] weitere Informationen und eine Skizze dazu findest du bei den Mathematischen BasteleienEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Für die Fläche eines solchen Dreiecks gilt dann:
$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\sqrt{3}}{2}\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^{2}$
In deinem Fall hat die Grundfläche, also das gleichseitige Dreieck die Seitenlänge a=5cm, also die Fläche:
A=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (5cm)^{2}=\frac{25cm^{2}\cdot\sqrt{3}}{4}\approx10,82cm^{2}
Nun hast du zwei dieser Dreiecke als Grundflächen des Prismas.
Für die Mantelfläche eines jeden Prismas gilt:
$M=u_{g}\cdot h_{p}$. u_{g} ist dabei der Umfang der Grundfläche, h_{p} die Prismenhöhe. Das ganze kannst du dir als "abgerolltes" Rechteck vorstellen.
Hier also, da der umfang des Dreiecks 3\cdot5cm=15cm sind und die Höhe h_{p}=5cm bekommst du:
M=15cm\cdot5cm=75cm^{2}
Damit hast du dann für die Gesamtoberfläche:
O=2\cdot G+M=\ldots
> Aber ich weiß nicht welche Zahlen ich einsetzen muss.
> Danke
>
Marius
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Hallo,
Erstmal vielen dank.
Eine Frage hätte ich noch:
Hat das Dreieck nicht die Seitenlänge 4 cm?
Wäre dann nicht die Grundfläche 3 x 4cm = 12 cm²
Also demnach:
V = 12 cm² x 5 cm = 60 cm3
M = 4 x 4 cm x 5 cm= 60 cm²
Also:
O = 2 x 12 cm² + 60 cm² = 84 cm²
Ist das dann so richtig?
Danke
LG Silvia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Mo 03.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
> Erstmal vielen dank.
> Eine Frage hätte ich noch:
> Hat das Dreieck nicht die Seitenlänge 4 cm?
Ja
> Wäre dann nicht die Grundfläche 3 x 4cm = 12 cm²
Nein, das wäre ein Rechteck.
Da die Grundfläche das gleichseitige Dreieck ist, hast du hier, mit [mm] $A_{gleichs.Dr.}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$:
[/mm]
[mm] G=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot(4cm)^{2}=4\cdot\sqrt{3}cm^{2}
[/mm]
> Also demnach:
> V = 12 cm² x 5 cm = 60 cm3
>
> M = 4 x 4 cm x 5 cm= 60 cm²
> Also:
> O = 2 x 12 cm² + 60 cm² = 84 cm²
>
> Ist das dann so richtig?
Nein, denn die Grundfläche ist immer noch das gleichseitige Dreieck.
>
> Danke
> LG Silvia
Marius
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Hallo,
danke nochmal, aber jetzt bin ich ganz verwirrt.
Nochmal:
V= 15 cm² x 5 cm = 75 cm3
O= 2 x 15 cm² + 80 cm² = 110 cm²
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mo 03.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
> danke nochmal, aber jetzt bin ich ganz verwirrt.
Warum? Ich habe dir doch fast alles schon vorgekaut. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck, dafür gibt es die Flächenformel
[mm] $A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$, [/mm] wobei a die Seitenlänge des Dreiecks ist. Hier ist a=4cm, du hast also die Grundfläche:
[mm] $G=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot(4cm)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot16cm^{2}$=4\cdot\sqrt{3}cm^{2},
[/mm]
Also hast du für das Volumen, die Grundfläche G ist oben berechnet, und die Prismahöhe [mm] h_{p} [/mm] ist 5cm
[mm] V=G\cdot h_{p}=4\cdot\sqrt{3}cm^{2}\cdot5cm=20\cdot\sqrt{3}cm^{3}
[/mm]
Für die Mantelfläche eines jeden Prismas gilt, wie ich schon scrieb:
[mm] $M=u_{g}\cdot h_{p}$. [/mm] Dabei ist [mm] u_{g} [/mm] der Umfang der Grundfläche, [mm] h_{p} [/mm] die Prismenhöhe.
Hier also, da der Umfang des gleichseitigen Dreiecks [mm] u=a+a+a=3a=3\cdot4cm=12cm [/mm] sind und die Höhe [mm] h_{p}=5cm [/mm] bekommst du:
[mm] M=12cm\cdot5cm=60cm^{2}
[/mm]
Nun setze die Oberfläche aus 2G+M zusammen, mehr musst du nicht mehr tun.
> Nochmal:
> V= 15 cm² x 5 cm = 75 cm3
>
> O= 2 x 15 cm² + 80 cm² = 110 cm²
>
> Stimmt das so?
Nein, warum weichst du immer wieder von meinen Lösungsideen ab?
Marius
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Hallo,
ich hoffe jetzt stimmt's:
V= 10 cm² x 5 cm = 50 cm3
O = 2 x 10 cm² + 60 cm = 80 cm²
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mo 03.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> ich hoffe jetzt stimmt's:
>
> V= 10 cm² x 5 cm = 50 cm3
>
> O = 2 x 10 cm² + 60 cm = 80 cm²
>
>
Nein, es steht schon komplett da, incl. der Herleitung.
Für das Volumen gilt:
$ [mm] V=G\cdot h_{p}=\underbrace{4\cdot\sqrt{3}cm^{2}}_{G}\cdot\underbrace{5cm}_{h_{p}}=20\cdot\sqrt{3}cm^{3}\approx34,6cm^{3} [/mm] $
Für die Oberfläche O gilt:
[mm] O=2\cdot\underbrace{4\cdot\sqrt{3}cm^{2}}_{G}+\underbrace{60cm^{2}}_{M}=\ldots
[/mm]
Diese simple Addition führe nun noch zuende aus. Mehr musst du nicht mehr tun. Alles andere haben wir schon erledigt.
Warum setzt du immer wieder mit neuen falschen Werten an?
Marius
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Mich verwirrt das Wurzelzeichen, weil wir das noch nicht hatten.
Nach meinem Wissen erhält man die Fläche vom Dreieck : g x h / 2, deshalb immer 10 cm²
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mo 03.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Mich verwirrt das Wurzelzeichen, weil wir das noch nicht
> hatten.
> Nach meinem Wissen erhält man die Fläche vom Dreieck : g
> x h / 2, deshalb immer 10 cm²
Diese Fläche gilt in einem beliebigen Dreieck, aber die Höhe h muss senkrecht auf der Seite g stehen. Und die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck ist nicht gleich der Seitenkante.
In einem gleichseitigen Dreieck, wie du es hier hast, kannst du die Fläche über den Umweg des Satzes des Pythagoras und einiger Umformungen nur noch von der Seitenkante a abhängig machen. Wenn ihr diesen Satz des Pythagoras und die Wurzeln noch nicht behandelt habt, könnt ihr diese Aufgabe dann nur zeichnerisch lösen.
Dazu solltest du das Prismanetz konstruieren
Dann solltest du sehen, dass sich die Oberfläche aus einem großen Rechteck (das in drei kleine Rechtecke unterteilt ist) zusammensetzt, und zwei gleichseitigen Dreiecken, die du mit dem Kongruenzsatz SSS (alle drei Seiten sind 4cm) auch konstruieren kannst. Miss dann in diesen Dreiecken die Höhe in diesen Dreiecken, also den Abstand eines Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite.
Danach kannst du mit den abgemessenen Werten näherungsweise die Fläche der Dreiecke bestimmen.
Hast du diese Fläche, kannst du dann die Oberfläche berechnen, indem du diese dann mit 5, also der Körperhöhe multiplizieren, um das Volumen des Prismas zu berechnen.
Für die Oberfläche multipliziere die Driecksfläche mit 2 und addiere dann die Fläche des Rechtecks dazu.
Marius
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Hallo,
Vielen Dank für deine Mühe. Bin gespannt, was der Lehrer morgen sagt.
LG Silvia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mo 03.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hier noch das Netz, anhand dessen müsstest du das ganze nachvollziehen können.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das rote Dreieck musst du über den Kongruenzsatz SSS konstruieren, die rote Linie ist die Höhe in dem Dreieck, die du messen musst, um die Fläche dieses roten Dreiecks zu berechnen.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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