Problem: Lösung der Aufgaben < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
Also meine Aufgabe besteht darin, dass ich die Aufgabe nicht ganz verstehe oder einen falschen Lösungsansatz mache. Die Aufgabe ist aufgeteilt in 4 Einzelaufgabe. Es wäre nett wenn ihr mir helfen könntet, ich brauche nämlich dringend Hilfe.
Zunächst wollte ich hinzufügen das ich ein Bild zu dieser Aufgabe habe
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgabe 3: a) Hier so also gefragt das ich die Ebenen E1 und E2 beschreiben soll als Parametergleichung darstelle und sie dann in die Koordinatenform umwandele. Ich habe zuvor eine Frage im Forum veröffentlicht, und habe sie mit euere Hilfe auch geschaft.
Allgemein Darstellung --> Punkt (x1/x2/x3)
A(32/12/8) B(12/12/8) C(12/20/8) D(32/6/12) E(6/6/12) F(6/20/12)
E1:
Parameterform: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] + [mm] \alpha \overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] \beta \overrightarrow{AD}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{32 \\ 12\\ 8} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{-20 \\ 0\\ 0} [/mm] + [mm] \beta \vektor{0\\ -6\\ 4}
[/mm]
Koordinatenform: 2*x2 + 3*x3 = 48
E2:
Parameterform: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0C} [/mm] + [mm] \alpha \overrightarrow{CB} [/mm] + [mm] \beta \overrightarrow{CF}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{12 \\ 20\\ 8} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{0\\ -8\\ 0} [/mm] + [mm] \beta \vektor{-6\\ 0\\ 4}
[/mm]
Koordinatenform: 2*x1 + 3*x3 = 48
Weiter muss man Sagen unter welchem Winkel sich die Ebenen E1 und E2 längs der Dachkehle [mm] \overline{BE} [/mm] schneiden. Das Problem ist nur das ich nicht weiss welcher Winkel gemeint ist. Es wäre nett wenn es mir jemand sagen könnte und vielleicht ein paar Tipps zur berechnung geben könnte.
Aufgabe 3: b) Es ist ja nicht schwer auszurechnen wie lang [mm] \overline{BE} [/mm] ist. Man muss ja nur denn Richtungsvektor kennen bzw. ausrechnen und die Koordinaten Quadrieren, Addieren und dann die Wurzel daraus ziehen.
Ich habe für [mm] \overrightarrow{BE} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0E} [/mm] - [mm] \overrightarrow{0B}
[/mm]
= [mm] \vektor{6\\ 6\\ 12} [/mm] - [mm] \vektor{12\\ 12\\ 8} [/mm]
= [mm] \vektor{-6\\ -6\\ 4}
[/mm]
Die Länge: [mm] \vmat{BE} [/mm] = [mm] \wurzel{x1²+x2²+x3²}
[/mm]
= [mm] \wurzel{-6²-6²+4²}
[/mm]
= 9,38
Als nächstes Muss ich noch denn Neigungswinkel zwischen der Grundrissebene (x1x2-Ebene) und der Dachkehle bestimmen.
Ich habe mir das so überlegt das ich die Grundrisseben um 8 nach oben verschiebe, so dass die Dachkehle die Ebene schneidet, kann man das überhaupt machen?
Somit versuche ich den Winkel zwischen der Dachkehle als Gerade und des Grundrisses als Ebene zu bestimmen.
Um die Grundrissebene zu beschreiben habe ich zuerst die äussersten Punkte genommen
P (0/0/8) Q (32/0/8) R (32/20/8) S (0/20/8)
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] + [mm] \alpha \overrightarrow{PQ} [/mm] + [mm] \beta \overrightarrow{PS}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 8} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{32\\ 0\\ 8} [/mm] + [mm] \beta \vektor{0\\ 20\\ 0}
[/mm]
Dann wollte ich den Normalenvektor auf dem Punkt B bestimmen.
Desshalb habe ich versucht die Koordinatenform von der obigen Parameterform aufzustellen was aber wegen den Nullen nicht ganz funktioniert. Deshalb wollte ich euere Meinung hören. Ich habe:
Koordinatenform: - x1 + 4*x2 = 8
Wie könnte ich jetzt den Normalenvektor berechnen, vorrausgesetzt die Koordinatengleichung stimmt.
Ich galube man kann die Kooefizienten der Koordinatengleichung als Normalenvektor nehmen, also
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 4\\ 0}
[/mm]
dann wollte ich mit der Formel sin [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{ \vmat{\overrightarrow{u} * \overrightarrow{n}}}{\vmat{\overrightarrow{u}}* \vmat{\overrightarrow{u}}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{u} [/mm] entspricht [mm] \overrightarrow{BE} [/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0B} [/mm] + [mm] \alpha \overrightarrow{BE}
[/mm]
Die Geradengleichung: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{12\\ 12\\ 8} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{-6\\ -6\\ 4}
[/mm]
sin [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\vmat{- 6*-1 - 6*4 + 4*0}}{ \wurzel{-6²-6²+4²}* \wurzel{-1²-4²+0²}}
[/mm]
= [mm] \bruch{18}{38,68}
[/mm]
= 0,47
[mm] \alpha [/mm] = 28,03°
Aufgabe 3: c) Zusätzlich wurde auch eine Antenne auf der Ebene E2 angebracht mit der Spitze H (8/14/16) und man muss die Koordinaten des Antennenfusses bestimmen, also den Lotfußpunkt.
Die Ebene E2 ist als Koordinatengleichung: 2*x1 + 3*x3 = 48
also ist der Normalenvektor: [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{2\\0\\3}
[/mm]
Da jeder Normalenvektor der Ebene E ein Richtungsvektor der Lotgerade bzw. Antenne ist kann man die Gerade bzw. Antenne als Geradengleichung
aufschreiben:
Ich bezeichne die Antenne als g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{8\\14\\16} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{2\\0\\3}
[/mm]
aus der Geradenleichung entnimmt man: x1= 8 + 2 [mm] \alpha; [/mm] x2= 14 ; x3= 16 + 3 [mm] \alpha [/mm]
Einsetzten in die Ebenengleichung: 2 * (8 + 2 [mm] \alpha) [/mm] + 14 + 3 * (16 + 3 [mm] \alpha) [/mm] = 48
Lösen der Gleichung: 78 + 13 [mm] \alpha [/mm] = 48
= -2,31
In die Geradengleichung einsetzten: x1= 8 + 2 * -2,31; x2= 14; x3= 16 + 3 * -2,31
Lotfuß G = [mm] \vektor{3,38\\14 \\9,07} [/mm]
Es ist gefragt ob man die Antennenspitze vom Punkt V (41/-7/1) sehen kann. Ich weiss aber nicht wie ich das anstellen soll, könntet ihr mir paar Lösungsansetzte geben?
Aufgabe 3: d) Bei Sonneneinstrahlung in Richtung des Vektors [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] \vektor{ 8\\-5\\-6} [/mm] wirft die Antenne einen Schatten auf das Dach des Hauses. Nun soll ich den Schattenpunkt auf der Dackehle [mm] \overline{BE} [/mm] und und zusätzlich den Schatten der Spitze H auf der Dachebene E1 berechnen.
Bei diesem Aufgabenteil weiss ich absolut nicht was ich machen soll, bitte helft mir.
Wie ihr seht habe ich versucht die Aufgaben zu Lösen, aber einige sind mir zu schwer, es wäre nett wenn ihr mir schnell helfen könntet und auch meine Lösungen auf Fehler überprüfen könntet.
Ich Danke allen schon im Voraus, die einenmir Hilfestellung geben können.
Euer Peacemaker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Mein lieber Scholli, hast du hier dein ganzes Mathebuch abgetippt?
Nächstes Mal lieber in verschiedene Diskussionsstränge schreiben, erhöht die Übersicht.
Auch wenn die Bilder (noch) nicht hochgeladen sind, versuch ich mal ein paar Antworten.
Aufgabe 3a: wie gesagt: hab zwar das Bild nicht, aber der Schnittwinkel zweier Ebenen ist einfach zu berechnen. Sind [mm]\vec{n_1}[/mm] und [mm]\vec{n_2}[/mm] die Normalenvektoren der Ebenen, so bekommst du den Schnittwinkel [mm]\alpha[/mm] über die Formel: [mm]cos(\alpha)=\bruch{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}[/mm].
Aufpassen: im Zähler steht der Betrag eines Skalarproduktes, im Nenner das Produkt zweier Vektorlängen.
Juhu, das Bild ist hochgeladen 
Also, den Winkel zu beschreiben, ist nicht einfach... Für die Vorstellung ist es vielleicht praktisch, sich den ganzen unnützen Kram aus der Zeichnung wegzudenken, und nicht zu vergessen, dass Ebenen mathematisch unendlich weit in jede Richtung reichen. Vielleicht erhöht das die Anschaulichkeit ein wenig. Und wenn nicht: denk dir einfach das "längs der Dachkehle BE" aus dem Aufgabentext weg
Aufgabe 3b: Die Länge der Dachkehle hast du richtig berechnet.
Zum Schnittwinkel: verschieben brauchst du gar nicht (außer, du willst es dir besser vorstellen können). Wie immer gilt: wenn wir mathematisch eine Ebene oder Gerade aufstellen, reicht sie unendlich weit in alle ihre Richtungen.
> Somit versuche ich den Winkel zwischen der Dachkehle als
> Gerade und des Grundrisses als Ebene zu bestimmen.
So ist's schon richtig. Für Schnittwinkel Gerade-Ebene bracuhst du nur: Richtungsvektor von g und Normalenvektor von E.
> Um die Grundrissebene zu beschreiben habe ich zuerst die
> äussersten Punkte genommen
>
> P (0/0/8) Q (32/0/8) R (32/20/8) S (0/20/8)
Bis hierher richtig.
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 8}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{32\\ 0\\ 8}[/mm] + [mm]\beta \vektor{0\\ 20\\ 0}[/mm]
Fehler: im ersten Richtungsvektor müsste es heißen: [mm]\vektor{32 \\ 0 \\ 0[/mm]
> Dann wollte ich den Normalenvektor auf dem Punkt B
> bestimmen.
>
> Desshalb habe ich versucht die Koordinatenform von der
> obigen Parameterform aufzustellen was aber wegen den Nullen
> nicht ganz funktioniert. Deshalb wollte ich euere Meinung
> hören. Ich habe:
>
> Koordinatenform: - x1 + 4*x2 = 8
Naja, stimmt dann natürlich auch nicht mehr (wobei du dich wohl auch bei der Umrechnung vertan hast, mit deiner Parameterform müsste sich auch ein anderer Normalenvektor ergeben).
> Wie könnte ich jetzt den Normalenvektor berechnen,
> vorrausgesetzt die Koordinatengleichung stimmt.
Mach's dir doch mal viel einfacher: der Normalenvektor ist doch der zur Ebene senkrechte Vektor. Zu welcher Ebene? Hier: zur [mm]x_1-x_2-[/mm]Ebene. Und dazu senkrecht steht? Die [mm]x_3-[/mm]Achse. Also nimm doch als Normalenvektor einfach [mm]\vec{n}=\vektor{0 // 0 // 1}[/mm]. Überzeugt?
> Ich galube man kann die Kooefizienten der
> Koordinatengleichung als Normalenvektor nehmen, also
So würd's auch gehen, wenn man die Koordinatengleichung vor sich hat.
>
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 4\\ 0}
[/mm]
Hat sich ja jetzt erledigt.
> dann wollte ich mit der Formel sin [mm](\alpha)[/mm] = [mm]\bruch{ \vmat{\overrightarrow{u} * \overrightarrow{n}}}{\vmat{\overrightarrow{u}}* \vmat{\overrightarrow{u}}}[/mm]
Mach genau dasselbe nochmal mit dem richtigen Normalenvektor, bis auf den hat die Rechnung gestimmt.
Nur was Formales: schreib bei den Wurzeln lieber [mm]\wurzel{(-6)^2+...}[/mm], statt [mm]\wurzel{-6^2+...}[/mm]. Ist streng mathematisch nicht richtig (da sonst das Quadrat nur auf die 6 wirken würde, und nicht auch auf das Minus).
> Aufgabe 3: c) Zusätzlich wurde auch eine Antenne auf der
> Ebene E2 angebracht mit der Spitze H (8/14/16) und man muss
> die Koordinaten des Antennenfusses bestimmen, also den
> Lotfußpunkt.
Ab hier wird's einfach für mich: genau diese Aufgabe hat schon mal jemand gepostet. Ich werd den Link in ner Mitteilung nachliefern. Wahrscheinlich dauert die Suche wieder ewig, weil mich der Server mal wieder nicht "ranlässt".
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Ersteinmal vielen vielen dank e.kandrai. Du hast mir sehr weitergeholfen bei meinem Problem.
Ich habe jedoch noch ein paar Fragen wenn es dich nicht stört, also:
Zu 3. a)
Du hast ja geschrieben das ich das mit der Winkelformel um den Schnittwinkel zwischen den zwei geraden bestimmen kann. Kann ich das so einfach machen, denn ich verstehe nicht die Ebenen schneiden sich irgendwie schief und deshalb weiss ich nicht ganz wie das rechnen soll
mit der Formel mit den 2 Ebenenhabe ich als Winkel [mm] \alpha [/mm] = 46°
mit jeweils den 2 Normalenvektoren der E1: [mm] \overrightarrow{n1} [/mm] = [mm] \vektor{0\\2\\3} [/mm] und E2: [mm] \overrightarrow{n2} [/mm] = [mm] \vektor{2\\0\\3}
[/mm]
stimmt das??
ZU 3. b)
Also ich habe den Fehler in der Ebenengleichung behoben, aber das Problem ist ich bekomme keine Koordinatengleichung hin. z.B habe ich x3 = 8
Aber du hast ja noch geschreiben das ich das vereinfachen kann indem ich den Normalenvektor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] nehmen könne, tut mir Leid aber ich habe das irgendwie nicht ganz verstanden, wieso gerade 1 und nicht 3 oder 5 und wieso die Nullen??
Du hast noch geschreiben das ich die Ebene nicht um 8 zu verschieben brauche aber wenn ich z.B den Vektor bis auf den Boden lang zeichne und damit die Ebene schneidet weiss ich aber nicht die Koordinaten der Geraden auf den Boden. Ich glaube aber das ich zu kompliziert denke, oder?
ZU 3. c)
Den Link den dur mir geschickt hast ist sehr hilfreich gewesen, dort hast du auch geschrieben das der Normalenvektor und damit der Richtungsvektor genau die gleichen Koordinaten wie der Normalenvektor oben hat??
Tud mir wirklich leid aber ich verstehe das mit den Normalenvektoren nicht ganz, sie sind Ortoghonal und es gibt unendlich viele auf der Ebene??
Du hast in dem Link geschreiben das ich die Antenne nicht verschiebe, was ja stimmt aber wie soll ich den Punkt G also den Lotfuß bestimmen.
Zu 3. d)
Ich weiss, dass das zu viel verlangt ist aber ich brauche Hilfe bei der Schattenaufgabe, sowas habe ich noch nie gemacht und verstehe sie nicht ganz kannst du oder jemand anders mir ein Paar Tipps geben
Bei Sonneneinstrahlung in Richtung des Vektors [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] \vektor{ 8\\-5\\-6} [/mm] wirft die Antenne einen Schatten auf das Dach des Hauses. Nun soll ich den Schattenpunkt auf der Dackehle [mm] \overline{BE} [/mm] und und zusätzlich den Schatten der Spitze H auf der Dachebene E1 berechnen
Ich bin für jede Hilfe oder Lösungsansetzte dankbar und Danke jedem der mir Hilft.
Euer Peacmaker
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So, dann woll'n wa mal.
Zur Aufgabe 3a)
> Du hast ja geschrieben das ich das mit der Winkelformel um
> den Schnittwinkel zwischen den zwei geraden bestimmen kann.
> Kann ich das so einfach machen, denn ich verstehe nicht die
> Ebenen schneiden sich irgendwie schief und deshalb weiss
> ich nicht ganz wie das rechnen soll
> mit der Formel mit den 2 Ebenenhabe ich als Winkel [mm]\alpha[/mm]
> = 46°
Liegt dein Problem darin, dass die Schnittwinkel-Formel für die Ebenen so aussieht, wie die für den Schnittwinkel von Geraden? Ist so gut wie dasselbe, nur dass man einmal Richtungsvektoren einsetzt (bei Geraden), und das andere Mal Normalenvektoren (bei Ebenen).
Dein Ergebnis [mm]\alpha \approx 46,19°[/mm] hab ich auch bekommen.
> mit jeweils den 2 Normalenvektoren der E1:
> [mm]\overrightarrow{n1}[/mm] = [mm]\vektor{0\\2\\3}[/mm] und E2:
> [mm]\overrightarrow{n2}[/mm] = [mm]\vektor{2\\0\\3}
[/mm]
>
> stimmt das??
Ja, die Normalenvektoren hast du auch richtig abgelesen.
> ZU 3. b)
>
> Also ich habe den Fehler in der Ebenengleichung behoben,
> aber das Problem ist ich bekomme keine Koordinatengleichung
> hin. z.B habe ich x3 = 8
Das ist schon richtig, das ist die Koordinatengleichung der von dir um 8 nach oben verschobenen Bodenebene.
Den Normalenvektor kannst du aus dieser Darstellung auch wieder direkt ablesen: [mm]x_3=8[/mm] ist dasselbe wie [mm]0x_1+0x_2+1x_3=8[/mm], und somit [mm]\vec{n}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm].
Davon kannst du ein beliegiges Vielfaches nehmen, also z.B. auch [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 5}[/mm] oder [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ -17}[/mm]. Dadurch änderst du nur die Länge des Vektors (und die Tatsache, ob er von der Ebene "nach oben" oder "nach unten" zeigt), aber nicht seine Orthogonalität auf die Ebene! Und deswegen kannst du als Normalenvektor alle Vektoren [mm]\vec{n}=k \cdot \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] mit [mm]k \in \IR[/mm] mit [mm]k \not= 0[/mm] wählen.
> Aber du hast ja noch geschreiben das ich das vereinfachen
> kann indem ich den Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm] nehmen könne, tut mir Leid aber ich habe
> das irgendwie nicht ganz verstanden, wieso gerade 1 und
> nicht 3 oder 5 und wieso die Nullen??
Ist jetzt klar geworden, oder?
> Du hast noch geschreiben das ich die Ebene nicht um 8 zu
> verschieben brauche aber wenn ich z.B den Vektor bis auf
> den Boden lang zeichne und damit die Ebene schneidet weiss
> ich aber nicht die Koordinaten der Geraden auf den Boden.
> Ich glaube aber das ich zu kompliziert denke, oder?
Wahrscheinlich zu kompliziert, ich kapier's jedenfalls nicht...
Ist doch so: hier ist ein Schnittwinkel gesucht. Nämlich der zwischen Gerade und Ebene. Dass die sich eh irgendwann schneiden, da sie nicht parallel sind, ist klar: sie reichen ja unendlich weit in alle ihre Richtungen.
Und der Rest ist eine geometrisch einfach Überlegung: stell dir in 2 Dimensionen zwei zueinander parallele Geraden (g und h) vor, und eine weitere Gerade (m), die die beiden anderen schneidet. Es ist klar, dass der Schnittwinkel von (g und m) derselbe ist wie von (h und m), da g parallel zu h. Klar bis jetzt?
Und deswegen ist es auch egal, ob du deine Bodenebene um 8 parallel nach oebn verschiebst, oder nicht: der Schnittwinkel wird derselbe bleiben. Richtig wär's natürlich trotzdem.
> ZU 3. c)
>
> Den Link den dur mir geschickt hast ist sehr hilfreich
> gewesen, dort hast du auch geschrieben das der
> Normalenvektor und damit der Richtungsvektor genau die
> gleichen Koordinaten wie der Normalenvektor oben hat??
Erstmal ne formale Kleinigkeit: ein Vektor hat keine Koordinaten, sondern Komponenten.
Dass es derselbe Vektor wie in 3b) ist, ist eigentlich Zufall. Bei dieser Aufgabe geht's um eine Antenne. Von dieser Antenne haben wir die Koordinaten der Spitze. Um die ganze Geradengleichung der Antenne aufzustellen, brauchen wir entweder einen weiteren Punkt, oder den Richtungsvektor. Und genau diesen wissen wir. Guck dir mal Antennen auf Dächern an: sie stehen nicht senkrecht auf die Dachfläche, sondern senkrecht zum Boden (eine Antenne ist soz. "parallel zu jeder Straßenlaterne", und die stehen ja auch senkrecht auf dem Boden).
Und ein Vektor, der nur in "oben-unten-Richtung" zeigt (also nur in [mm]x_3-[/mm]Richtung), ist immer von der Form [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ k}[/mm], wobei k fast beliebig sein darf, nur nicht Null.
> Tut mir wirklich leid aber ich verstehe das mit den
> Normalenvektoren nicht ganz, sie sind Ortoghonal und es
> gibt unendlich viele auf der Ebene??
Ja, sie stehen orthogonal auf eine Ebene, und es gibt auch unendlich viele. Beliebig dürfen sie natürlich nicht sein, aber Vielfache voneinander. Da ich mich gerade auf Straßenlaternen eingeschossen habe: die Dinger könnt's ja auch in allen möglichen Größen geben, oder sogar (naja...) welche, die senkrecht in den Boden "runtergehen": das alles wären immernoch Laternen-Vektoren, die senkrecht auf die Ebene (also den Boden) stehen.
> Du hast in dem Link geschreiben das ich die Antenne nicht
> verschiebe, was ja stimmt aber wie soll ich den Punkt G
> also den Lotfuß bestimmen.
Die Antenne sei die Gerade, die durch den Punkt "Spitze" verläuft. Und der Fußpunkt ist derjenige Punkt, wo diese Antennen-Gerade das Dach, also die Ebene [mm]E_2[/mm] schneidet.
Hinweis: Schnittpunkt Gerade-Ebene geht am einfachsten, wenn die Ebene in Koordinatenform gegeben ist.
> Zu 3. d)
>
> Ich weiss, dass das zu viel verlangt ist aber ich brauche
> Hilfe bei der Schattenaufgabe, sowas habe ich noch nie
> gemacht und verstehe sie nicht ganz kannst du oder jemand
> anders mir ein Paar Tipps geben
>
> Bei Sonneneinstrahlung in Richtung des Vektors
> [mm]\overrightarrow{r}[/mm] = [mm]\vektor{ 8\\-5\\-6}[/mm] wirft die Antenne
> einen Schatten auf das Dach des Hauses. Nun soll ich den
> Schattenpunkt auf der Dackehle [mm]\overline{BE}[/mm] und und
> zusätzlich den Schatten der Spitze H auf der Dachebene E1
> berechnen
Zuerstmal zum Schatten auf der Ebene [mm]E_1[/mm]: der Sonnenstrahl hat ja eine bestimmte, angegebene Richtung (->Richtungsvektor), sowie einen Anfangspunkt (-> Spitze H). Man kann also "die Geradengleichung des Schattens von H ausgehend" berechnen. Und dieser "H-Schatten" schneidet irgendwann [mm]E_1[/mm] ... schon ne Idee?
Ob meine Lösung für die Frage "wo schneidet der Schatten sie Dachkehle BE" allzu elegant ist, weiß ich nicht...
Stell dir das mal bildlich vor: der Sonnenstrahlenvektor hat ja eine bestimmte Richtung. Und er knallt auf voller Länge gegen die Antenne. Was für ein Schattenmuster ergibt sich also geometrisch? Eine "Schattenebene". Und was macht diese Ebene? Sie schneidet die Gerade, die durch B und E geht.
Probier mal, diese Ebene aufzustellen. Am besten in Parameterform. Was braucht man dafür? Entweder 3 Punkte, oder einen Punkt und zwei Richtungsvektoren... Mit beiden Überlegungen kommt man hier zum Ziel.
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Nochmals vielen vielen Dank e.kandrai, du hast mir dabei geholfen alles zu lösen. nur habe ich noch zwei fragen undzwar
bei der umwandlung von der Parameter- in die Koordinatengleichung habe ich nicht ganz verstanden wieso wir die zeile mit einem Parameter z.B [mm] \alpha [/mm] nicht weiter verwertet haben
die zweite bezieht sich auf die Aufgabe3 d)
Die Frage ist ob bei es sich bei dem Schatten auf der Dachkehle /overline {BE} sich nicht um eine Gerade handelt die die Dachkehle schneidet???
Vielen Dank im Voraus
Euere Peacemaker
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> bei der umwandlung von der Parameter- in die
> Koordinatengleichung habe ich nicht ganz verstanden wieso
> wir die zeile mit einem Parameter z.B [mm]\alpha[/mm] nicht weiter
> verwertet haben
Bei der Umwandlung müssen die Parameter alle weg, und diesen bekommen wir nicht weg. Also lassen wir die Zeile weg.
Klingt komisch, was? Wird aber eher klar, wenn man die Umwandlung auf eine andere Art macht: man berechnet zuerst den Normalenvektor der gesuchten Ebene. Und beim dem sieht man, dass eine Komponente =0 sein muss.
> die zweite bezieht sich auf die Aufgabe3 d)
>
> Die Frage ist ob bei es sich bei dem Schatten auf der
> Dachkehle /overline {BE} sich nicht um eine Gerade handelt
> die die Dachkehle schneidet???
Naja, der Schatten selber ist ne ganze Ebene (zumindest ein Teil einer Ebene - nur so hoch, wie die Antenne ist). Wenn du einen Stift in die Sonne hältst, dann wirft der auch einen "ebenenförmigen" Schatten. Und von dieser ganzen Schatten-Ebene (der Antenne) ist es natürlich nur eine Teilmenge, die nachher die Kante BE schneidet, also eine Schatten-Gerade, die in dieser Schatten-Ebene liegt.
Ich denke schon, dass man das ganze auch mit Schatten-Gerade statt Schatten-Ebene berechnen kann, wird aber viel schwieriger, glaube ich. Man müsste sich ja denjenigen Punkt der Antenne erstmal raussuchen, der "als Schatten" in Richtung des Sonnenstrahl-Vektors nachher auch die Kante BE schneidet... nö, dann lieber mit Ebene, würd ich sagen.
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Ich habe mal versucht die Aufgabe mit dem Schatten zu lösen:
Zuerst für den Schatten auf dem Dach
Ich habe den Vektor der Sonneneinstrahlung [mm] \overrightarrow{f} [/mm] = [mm] \vektor{8\\-5\\-6} [/mm] als Richtungsvektor für die Geradengleichung genommen. und H also Ortsvektor:
r: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{8\\14\\16} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{8\\-5\\-6}
[/mm]
Dann habe ich die Komponenten des Richtungsvektors in die Ebenengleichung E1: 2*x2 + 3*x3 = 48 eingesetzt und habe als [mm] \alpha [/mm] = 1
Alles eingesetzt habe ich als [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] \vektor{16\\9\\10} [/mm]
Ist das richtig ?
Mein zweites Anliegen ist das ich nicht weiss wie ich den Schattenpunkt auf der Dachkehle berechenen soll. ich konnte einfach nicht rausfinden welche Ebene die Antenne bildet, sodass die Ebene die Dachkehle schneidet ich brauche irgendeine konkrete Angabe??
Was ich auch nicht verstehe ist das der Schatten sowohl auf die Ebene E1 als auch auf die Dachkehle scheint
Ich Danke im Voraus
Euer Peacemaker
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> Alles eingesetzt habe ich als [mm]\overrightarrow{r}[/mm] =
> [mm]\vektor{16\\9\\10}[/mm]
>
> Ist das richtig ?
Yepp, hab dasselbe raus.
> Mein zweites Anliegen ist das ich nicht weiss wie ich den
> Schattenpunkt auf der Dachkehle berechenen soll. ich konnte
> einfach nicht rausfinden welche Ebene die Antenne bildet,
> sodass die Ebene die Dachkehle schneidet ich brauche
> irgendeine konkrete Angabe??
Schwierig zu erklären... Wenn "von hinten" die Sonne draufscheint, dann geht doch von jeden Punkt der Antenne aus ein geradenförmiger Schatten aus, richtig?
Und wenn man sich jetzt alle diese Schattengeraden der Antenne anschaut (diese hat ja eine bestimmte Länge "von oben bis unten"), dann bilden alle diese Schattengeraden zusammen eine Schattenebene (wobei "Ebene" vielleicht kein optimaler Begriff ist, da dieser Schatten nach oben und unten nicht unendlich ausgedehnt ist).
Besser kann ich's nicht erklären.
Jetzt brauchen wir also die Ebenengleichung. Fangen wir mal an, diese in Parameterform zusammenzubasteln.
Was haben wir schon? Wir haben schon (mind.) einen Punkt, z.B. die Antennenspitze. Und wir haben einen Richtungsvektor - den Sonneneinfallsvektor kannst du als Richtungsvektor nehmen.
Dann also nur noch ein Richtungsvektor. Nimm doch den Richtungsvektor der Antenne!
Ist schwer zu erklären, vielleicht wird's durch meine Skizze klar.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Was ich auch nicht verstehe ist das der Schatten sowohl auf
> die Ebene E1 als auch auf die Dachkehle scheint
Naja, der Schatten kommt ja "schräg oben". Natürlich muss er nicht BE schneiden, aber laut Aufgabenstellung tut er's doch.
Und die Ebene E1 würde auch nicht geschnitten werden, wenn die Sonne z.B. von vorne nach hinten scheinen würde (dann käme der Schatten auf die Rückseite des Hauses).
Naja, irgendwie hab ich das Gefühl, nicht allzu vernünftig auf deine letzte Frage geantwortet zu haben...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Danke e.kandrai
Also Ich habe für die Schattenebene raus:
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OH} [/mm] + [mm] \alpha \overrightarrow{k} [/mm] + [mm] \betha \overrightarrow{GH}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{8\\14\\16} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{8\\-5\\-6} [/mm] + [mm] \betha \vektor{8-8\\14-14\\16 - \bruch{32}{3}}
[/mm]
Diese habe ich dann versucht in die Koordinatenform umzuwandeln:
I x1 = 8 + 8 [mm] \alpha
[/mm]
II x2 = 14 - 5 [mm] \alpha
[/mm]
III x3 = 16 -6 [mm] \alpha -\bruch{16}{3}\beta
[/mm]
Ich habe die ersten beiden (also I und II) umgeformt:
5*I + 8*II = 40 + 40 [mm] \alpha [/mm] + 70 +(-40) [mm] \alpha [/mm]
5*x1 + 8*x2 = 110
Ich wusste jetzt nicht ob ich die erste mit der dritten (also I und III) miteinander nehmen soll.
wenn ja könntest du bitte dann sagen wie ich die (I und II) und (I und III) zu einer Koordinatengleichung bekomme.
Danke im Voraus
Euer Peacemaker
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> I x1 = 8 + 8 [mm]\alpha
[/mm]
> II x2 = 14 - 5 [mm]\alpha
[/mm]
> III x3 = 16 -6 [mm]\alpha -\bruch{16}{3}\beta[/mm]
Richtig bis jetzt.
> Ich habe die ersten beiden (also I und II) umgeformt:
>
> 5*I + 8*II = 40 + 40 [mm]\alpha[/mm] + 70 +(-40) [mm]\alpha[/mm]
>
> 5*x1 + 8*x2 = 110
Fast, es müsste heißen [mm]5x_1+8x_2=152[/mm]
[mm]5\cdot 8 + 8 \cdot 14=40+112=152[/mm]
> Ich wusste jetzt nicht ob ich die erste mit der dritten
> (also I und III) miteinander nehmen soll.
Das [mm]\beta[/mm] aus III bekommst du mal wieder nicht weg, also wird die III einfach weggelassen, und du wirfst nur das [mm]\alpha[/mm] in I und II raus.
> wenn ja könntest du bitte dann sagen wie ich die (I und II)
> und (I und III) zu einer Koordinatengleichung bekomme.
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Vielen Dank für die Mühe e.kandrai
also ich habe zwar die Gleichung jetzt, also
[mm]5x_1+8x_2=152[/mm]
aber das Problem ist Ich bekomme nichts für [mm] \alpha [/mm] raus
die Geradengleichung ist ja:
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{8\\14 \\16} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{0\\0\\-\bruch{16}{3}}
[/mm]
also 5 * 8 + 8 * 14 + 0 [mm] *-\bruch{16}{3} [/mm] = 152
und ich bekomme für [mm] \alpha [/mm] nichts raus
könntest du dies überprüfen und ein Ergebniss für den Schnittpunkt hinzuschreiben, wenn es dir nichts ausmacht??
Vielen Dank im Voraus
Euer Peacemaker
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Du hast da die Gerade genommen, auf der die Antenne liegt.
Du brauchst aber die Geradengleichung der Kante BE, ich glaub die hast du schon mal ausgerechnet.
Kannst es ja mal probieren, morgen kann ich dein Ergebnis dann mal nachrechnen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:46 Mo 10.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Hab den Schnittpunkt jetzt mal ausgerechnet, er lautet [mm]S(\bruch{459}{39} / \bruch{459}{39} / \bruch{320}{39}[/mm] , also etwa [mm]S(11,77 / 11,77 / 8,21)[/mm], falls ich mich nirgends verrechnet habe.
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Vielen Vielen Dank für deine Antwort
Ich habe für den Schnittpunkt die gleichen Komponenten wie du.
Somit habe ich dank deiner Hilfe alle Aufgaben gelöst.
Nochmals Vielen Dank
Euer Peacemaker
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Hallo!
Ich habe eine Frage:
Aus welchem Buch stammt die Aufgabe mit diesem Haus?
Wäre klasse, wenn mir das jemand beantworten könnte.
Viele Grüße
Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 22.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Do 06.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
So, gefunden. Ist schon 38 Tage her, guckst du hier.
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| Aufgabe | e) Weisen Sie nach: wenn das Sonnenlicht in Richtung des Vektors u einfällt, liegt das Dach der Ebene E2 nicht im Schatten.
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So, dass das so ist ist mir klar. Das Licht kommt ja von oben rechts und was sollte einen Schatten darauf werfen?
Aber wie kann man das rechnerisch nachweisen?
Für jeden Punkt der Dachfläche 2 sollte gelten:
[mm] g:\vec{x}=\vec{p}-*\lambda*\vec{u} [/mm] hat für positive [mm] \lambda [/mm] keinerlei Schnittpunkte mit einer jeden Seitenfläche des Hauses.
Oder anders:
Die Körper
[mm] K1:\vec{x}=\vec{c}+\lambda*(\vec{b}-\vec{c})+\mu*(\vec{f}-\vec{c})-\nu*\vec{u} [/mm]
[mm] 0\le\lambda/\mu\le1 [/mm] ; [mm] 0\le\nu
[/mm]
und
[mm] K2:\vec{x}=\vec{b}+\lambda*(\vec{f}-\vec{c})+\mu*(\vec{e}-\vec{b}-\vec{f}+\vec{c})-\nu*\vec{u}
[/mm]
[mm] 0\le\lambda\le1 [/mm] ; [mm] 0\le\mu\le1-\lambda [/mm] ; [mm] 0\le\nu
[/mm]
haben keine Schnittpunkte mit irgendeiner Seitenfläche des Hauses.
Aber das ist unglaublich kompliziert, zumal noch die ganzen Ebenen bestimmt werden müssten und ihre Parameter auch noch eingeschränkt.
Es muss doch eine einfache Lösung dafür geben, die ich aber absolut nicht sehe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Sa 15.11.2008 | | Autor: | reverend |
Hi Salamence,
es macht echt keinen Sinn, nach fast vier Jahren einen alten Thread aufzuwärmen, indem man eine neue Aufgabe einstellt.
Stell eine neue Frage ein, und wenn Du findest, dass diese Diskussion dafür hilfreich ist, dann setz einen Verweis.
Grüße
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