Problem bei Aufgabe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es sei f : [a, b] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion mit f(a) · f(b) < 0.
(a) Geben Sie einen iterativen, auf Intervalschachtelung basierenden, Algorithmus zur Nullstellenbestimmung
von f an.
(b) Weisen Sie die Konvergenz der in (a) erzeugten Intervalgrenzen gegen eine Nullstelle von f nach.
Bemerkung: Dieses Vorgehen liefert einen konstruktiven Beweis des Nullstellensatzes von Bolzano. |
Kann mir da jemand helfen? Ich habe KEINE Ahnung, wie ich da rangehn soll. Tipps bzw. ein Ansatz wäre echt hilfreich. Danke vielmals. Sry, dass ich keine Lösungsvorschläge habe, nur hab wirklich GAR keine Ahnung xD
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> Es sei f : [a, b] [mm]\to \IR[/mm] eine stetige Funktion mit f(a) ·
> f(b) < 0.
>
> (a) Geben Sie einen iterativen, auf Intervalschachtelung
> basierenden, Algorithmus zur Nullstellenbestimmung
> von f an.
>
> (b) Weisen Sie die Konvergenz der in (a) erzeugten
> Intervalgrenzen gegen eine Nullstelle von f nach.
>
> Bemerkung: Dieses Vorgehen liefert einen konstruktiven
> Beweis des Nullstellensatzes von Bolzano.
> Kann mir da jemand helfen? Ich habe KEINE Ahnung, wie ich
> da rangehn soll. Tipps bzw. ein Ansatz wäre echt
> hilfreich. Danke vielmals. Sry, dass ich keine
> Lösungsvorschläge habe, nur hab wirklich GAR keine Ahnung
> xD
Guten Abend SolRakt,
damit du dir das Ganze möglichst selbständig überlegst,
möchte ich nur erste Tipps geben:
1.) Skizziere dir einen (Phantasie-) Graph einer derartigen
Funktion in einem x-y-Koordinatensystem.
2.) Was genau kann man grafisch gesehen aus der
Bedingung $\ f(a)*f(b)\ <\ 0$ schließen ?
3.) Begründe anschaulich, weshalb eine solche Funktion
zwischen a und b wenigstens eine Nullstelle haben muss !
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok, danke für deine Antwort. Ich versuchs. Hab jetzt auch was länger überlegt xD
Da f(a) * f(b) < 0, muss f(a) < 0 und f(b) < 0 oder umgekehrt. Kann man jetzt OE behaupten, dass f(a) < f(b)?
Die Funktion kann aber beliebig ausehn, darf nur keine Sprünge enthalten.
Gilt das mit der Nullstelle nicht wegen dem Zwischenwertsatz.
ich nenne einfach g(x):=f(x)-y, y [mm] \in [/mm] (f(a), f(b))
Dann gilt: f(a) - y < 0
Und: f(b) - y > 0
Somit gibt es nach dem Nullstellensatz von Bolzano eine Nullstelle mit f(x) = 0
Soweit ok? Kannst du mir denn noch weiterhelfen?
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> Ok, danke für deine Antwort. Ich versuchs. Hab jetzt auch
> was länger überlegt xD
>
> Da f(a) * f(b) < 0, muss f(a) < 0 und f(b) < 0 oder
> umgekehrt. Kann man jetzt OE behaupten, dass f(a) < f(b)?
NEIN! Wenn f(a)<0 und f(b)<0. Dann ist f(a)f(b)>0!!!
-4*-5>0
4*-5<0
-4*5<0
4*5>0
Kommst du jetzt drauf?
>
> Die Funktion kann aber beliebig ausehn, darf nur keine
> Sprünge enthalten.
Mit anderen Worten: sie ist stetig.
>
> Gilt das mit der Nullstelle nicht wegen dem
> Zwischenwertsatz.
Der ZWS ist eine reine EXISTENZ-Aussage. Also es exiistiert eine Nst. Du sollten aber einen Algorithmus angeben. Das Zauberwort lautet wie von dir geschrieben: Intervalschachtelung
>
Den Rest solltest du vergessen. Interpretier erst einmal f(a)f(b)<0 richtig.
> ich nenne einfach g(x):=f(x)-y, y [mm]\in[/mm] (f(a), f(b))
Nimm oBdA f(a)<f(b) an.
>
> Dann gilt: f(a) - y < 0
>
> Und: f(b) - y > 0
>
> Somit gibt es nach dem Nullstellensatz von Bolzano eine
> Nullstelle mit f(x) = 0
>
> Soweit ok? Kannst du mir denn noch weiterhelfen?
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> NEIN! Wenn f(a)<0 und f(b)<0. Dann ist f(a)f(b)>0
Worauf soll ich aber genau kommen? Nach dem Nullste... existiert somit eine Nullstelle mit f(x) = 0. Wolltest du das hören?
> Der ZWS ist eine reine EXISTENZ-Aussage. Also es exiistiert eine Nst. Du
> sollten aber einen Algorithmus angeben. Das Zauberwort lautet wie von
> dir geschrieben: Intervalschachtelung
Ja, und genau da finde ich irgendwie keinen Durchblick. Ich weiß, was mit Algorithmus gemeint ist (in Info xD), aber wie ist das hier gemeint?
> Nimm oBdA f(a)<f(b) an.
Ok. Aber kannst du mir eklären, worauf dieser Algorithmus abzielen soll. Komm da irgendwie nicht drauf bzw. kann mir da auch nichts wirkliches vorstellen. Hmm. Danke vielmals
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> > NEIN! Wenn f(a)<0 und f(b)<0. Dann ist f(a)f(b)>0
>
> Worauf soll ich aber genau kommen? Nach dem Nullste...
> existiert somit eine Nullstelle mit f(x) = 0. Wolltest du
> das hören?
Es würde ein Satz mit dem Wort "Vorzeichen" passen.
>
> > Der ZWS ist eine reine EXISTENZ-Aussage. Also es exiistiert
> eine Nst. Du
> > sollten aber einen Algorithmus angeben. Das Zauberwort
> lautet wie von
> > dir geschrieben: Intervalschachtelung
>
> Ja, und genau da finde ich irgendwie keinen Durchblick. Ich
> weiß, was mit Algorithmus gemeint ist (in Info xD), aber
> wie ist das hier gemeint?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im dem orangenen Intervall liegt eine Nullstelle. Wie würdest du das Intervall verändern, damit das Intervall kleiner wird aber noch die Nullstelle drin legt?
>
> > Nimm oBdA f(a)<f(b) an.="">
>
> Ok. Aber kannst du mir eklären, worauf dieser Algorithmus
> abzielen soll. Komm da irgendwie nicht drauf bzw. kann mir
> da auch nichts wirkliches vorstellen. Hmm. Danke vielmals
Wenn es wirklich nichts wird:
[mm] $f(a_0)<0,f(b_0)>0$
[/mm]
Sei [mm] $I_0=[a_0,b_0]$ [/mm] ein Intervall in dem die Nullstelle liegt. setze [mm] $m:=\frac{a+b}{2}$ [/mm] Ist f(m)>0 dann ist [mm] $b_1:=m$. [/mm] Ist f(m)<0 dann ist [mm] $a_1:=m$
[/mm]
Und das neue Intervall ist [mm] $I_1:=[a_1,b_1]$
[/mm]
Dann wieder von vorne. "Bisektionsverfahren"
</f(b)>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Versteh ich das richtig, dass man immer die Hälfte des vorherigen Intervalls nimmt? Sry, möchte damit nicht nerven, aber so ganz klar wird mir das leider nicht. Ich versuchs mal so zu beschreiben, wie ich das verstanden habe.
Also, man hat ein Intervall [a,b] und in diesem Intervall soll eine Nullstelle liegen (da haben wir wegen dem Vorzeichen ja gezeigt). Jetzt wählt man die Mitte dieses Intervalls und schaut, ob dies, also hier f(m) größer 0 ist. Wenn dem so ist, muss die Nullstelle also links von m liegen. Wenn f(m) kleiner 0 ist, dann muss sie weiter rechts von m liegen. Da das passt, können wir in den entsprechenden Stellen m als a1 oder b1 schreiben. Versteh ich so richtig (natürlich nur salopp formuliert)?
Aber das Wort Bisektionsverfahren höre ich leider zum ersten Mal. Was meinst du damit?
Und was soll </f(b)> bedeuten? Sry aber möchte das ja schon wissen xD Sieht nach Info aus, aber das wirds ja nicht sein ;) Danke wieder für Hilfe.
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> Versteh ich das richtig, dass man immer die Hälfte des
> vorherigen Intervalls nimmt? Sry, möchte damit nicht
> nerven, aber so ganz klar wird mir das leider nicht. Ich
> versuchs mal so zu beschreiben, wie ich das verstanden
> habe.
Ist schon ok.
>
> Also, man hat ein Intervall [a,b] und in diesem Intervall
> soll eine Nullstelle liegen (da haben wir wegen dem
> Vorzeichen ja gezeigt). Jetzt wählt man die Mitte dieses
> Intervalls und schaut, ob dies, also hier f(m) größer 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist. Wenn dem so ist, muss die Nullstelle also links von m
> liegen. Wenn f(m) kleiner 0 ist, dann muss sie weiter
> rechts von m liegen. Da das passt, können wir in den
> entsprechenden Stellen m als a1 oder b1 schreiben. Versteh
> ich so richtig (natürlich nur salopp formuliert)?
Ja du verkleinerst bei jeden Schritt das Intervall. Du kürzt es um die Hälfte undzwar so, dass immer die Nullstelle noch drin liegt. Dann erhälst du eine Folge der linken Intervallgrenzen [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$ [/mm] und der rechten Intervallgrenzen [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$. [/mm] Die [mm] $a_n$ [/mm] sind monoton wachsend und nach oben durch die [mm] $b_n$ [/mm] beschränkt. Die [mm] $b_n$ [/mm] sind monoton fallen und nach unten durch die [mm] $a_n$ [/mm] beschränkt. Salopp gesagt konvergieren beide gegen die Nullstelle.
Hier sieht man es schön:
http://www.exp.univie.ac.at/sc/nlg/bisect.png
> Aber das Wort Bisektionsverfahren höre ich leider zum
> ersten Mal. Was meinst du damit?
Ich wollte dir nur einen Begriff zum googeln geben.
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> Und was soll bedeuten? Sry aber möchte das ja
> schon wissen xD Sieht nach Info aus, aber das wirds ja
> nicht sein ;) Danke wieder für Hilfe.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Dann habe ich das ja so grob verstanden. Aber vielen Danke für deine ausführliche Erklärung. Hab auch grad mal was über dieses Verfahren gelesen. Das Bisektionsverfahren scheint der Oberbegriff für das zu sein, was du mir grad erklärt hast. Danke nochmal. Aber wie soll man die Konvergenz nachweisen (Aufgabe b)? Kann mir da jemand einen Tipp geben oder einen Ansatz?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Aber wie soll man die
> Konvergenz nachweisen (Aufgabe b)? Kann mir da jemand einen
> Tipp geben oder einen Ansatz?
schau dir nochmal den letzten Tipp von wieschoo an, da steht eigentlich alles drin. Du zeigst, dass die Nullstelle für alle n zwischen [mm] $a_n\:$ [/mm] und [mm] $b_n\:$ [/mm] liegt und zeigst, dass der Abstand zwischen [mm] $a_n\:$ [/mm] und [mm] $b_n\:$ [/mm] kleiner als jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] wird.
Überlege dir, welche Beziehung zwischen [mm] $|b_{n+1}-a_{n+1}|$ [/mm] und [mm] $|b_{n}-a_{n}|$ [/mm] besteht, das heißt wie ändert sich die Intervallgröße in jedem Schritt.
LG Lippel
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:02 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> schau dir nochmal den letzten Tipp von wieschoo an, da steht eigentlich
> alles drin. Du zeigst, dass die Nullstelle für alle n zwischen $ [mm] a_n\: [/mm] $ und $ > [mm] b_n\: [/mm] $ liegt und zeigst, dass der Abstand zwischen $ [mm] a_n\: [/mm] $ und $ [mm] b_n\: [/mm] > $ kleiner als jedes $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ wird.
> Überlege dir, welche Beziehung zwischen $ [mm] |b_{n+1}-a_{n+1}| [/mm] $ und $
> [mm] |b_{n}-a_{n}| [/mm] $ besteht, das heißt wie ändert sich die Intervallgröße in
> jedem Schritt.
Danke erstmal für deine Antwort. Ich hab wieschoos Beitrag auch komplett verstanden (u.a auch dank der tollen Skizze), aber wie fange ich jetzt hier an?
> Du zeigst, dass die Nullstelle für alle n zwischen $ [mm] a_n\: [/mm] $ und $ > [mm] b_n\: [/mm] > $ liegt
Wie kann man das denn machen???
> und zeigst, dass der Abstand zwischen $ [mm] a_n\: [/mm] $ und $ [mm] b_n\: [/mm] > $ kleiner > als jedes $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ wird.
Meinst du [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] b_{n}| [/mm] ? Kann man davon ausgehn, dass die Folgen gegen die gesuchte Nullstelle konvergieren, also sei [mm] x_{0} [/mm] die Nullstelle, dann gilt (?):
[mm] |a_{n} [/mm] - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] |b_{n} [/mm] - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Dann gilt:
[mm] |a_{n} [/mm] - [mm] b_{n}| [/mm] = [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] x_{0} [/mm] + [mm] x_{0} [/mm] - [mm] b_{n}|
[/mm]
[mm] \le |a_{n} [/mm] - [mm] x_{0}| [/mm] + [mm] |x_{0} [/mm] - [mm] b_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] = 2 [mm] \varepsilon
[/mm]
SO?
> Überlege dir, welche Beziehung zwischen $ [mm] |b_{n+1}-a_{n+1}| [/mm] $ und $
> [mm] |b_{n}-a_{n}| [/mm] $ besteht, das heißt wie ändert sich die Intervallgröße in
> jedem Schritt.
Woraut möchtest du hinaus? Sry aber sehs nicht :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Mi 19.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Er möchte darauf hinaus (lege ich jetzt fest), dass das intervallHALBIERUNGSverfahren das Intervall halbiert, die Länge als 2 hoch minus irgendetwas ist.
Sollte eine Mitteilung sein. Sorry.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> die Länge als 2 hoch minus irgendetwas ist
Wieso gilt das denn? Hmm..irgendwie blick ich da noch nicht durch. Obwohl ich diesen Algorithmus verstanden hab und auch den Grundgedanken mit den Folgen. Aber was soll mir das bringen? Das sehe ich irgendwie nicht :(
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> > die Länge als 2 hoch minus irgendetwas ist
>
> Wieso gilt das denn?
Hallo,
welche Länge hat das Startintervall [mm] I_0:=[a_0, b_0]?
[/mm]
[mm] L(I_0)=b_0-a_0.
[/mm]
Und das erst? [mm] L(I_1)=...*L(I_0)
[/mm]
Und das zweite? [mm] L(I_2)=...*L(I_0)
[/mm]
Und das n-te? [mm] L(I_n)=...*L(I_0)
[/mm]
> Hmm..irgendwie blick ich da noch nicht
> durch. Obwohl ich diesen Algorithmus verstanden hab und
> auch den Grundgedanken mit den Folgen. Aber was soll mir
> das bringen?
???
Was meinst Du mit "bringen"?
Anschaulich dürfte die Vorgehensweise doch klar sein, oder?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:11 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/bisektion/Bisektion.pdf
Ich habe auf der zweiten Seite (oben) die Lösung gefunden, aber kann mir das bitte jemand erklären.
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> http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/bisektion/Bisektion.pdf
>
> Ich habe auf der zweiten Seite (oben) die Lösung gefunden,
> aber kann mir das bitte jemand erklären.
Hallo,
ansonsten geht's Dir gut?
Verstehe ich das richtig?
Die, die Dir in ihrer Freizeit helfen, sollen sich ein Pamphlet runterladen, es durchlesen, in mundgerechte Häppchen schneiden, niedlich verzieren und es Dir, der Du unterdessen auf dem Sofa ein wenig entspannst, auf dem Silbertablett servieren?
Sollen wir noch ein paar Tänzerinnen zur Unterhaltung mitbringen? Oder lieber Akrobaten? Ein Duftlämpchen aufstellen?
Mannomann.
Machen wir es doch lieber so:
Du schreibst mal auf, was Du gefunden hast, kommentierst, was Du liest, und an den Stellen, an denen es Fragen gibt, stellst Du konkrete Fragen.
So könnte etwas Sinnvolles bei rauskommen, und für die Helfer hat es den Vorteil, daß erstmal Du derjenige bist, der fleißig tippt...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Do 20.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> der Du unterdessen auf dem Sofa ein wenig entspannst, auf dem
> Silbertablett servieren
Sry, sollte nicht SO rüberkommen.
Nach dem Vollständigkeitssatz existiert daher
a = lim [mm] a_{n} [/mm] ( n [mm] \to \infty) [/mm]
// was sagt dieser Satz aus?
Andererseits geht [mm] |a_{n} [/mm] − [mm] b_{n}| \le \bruch{|a − b|}{2^{n − 1}} \to [/mm] 0, also ist auch lim [mm] b_{n} [/mm] = a. Falls a nicht schon nach
endlich vielen Schritten als eines der [mm] a_{k} [/mm] oder [mm] b_{k} [/mm] aufgetreten ist, gilt f+r alle n [mm] \in \IN:
[/mm]
// Den obigen Abschnitt hab ich irgendwie nicht verstanden. Um ehrlich zu sein, ist mir der gesamte Ansatz nicht wirklich klar :(
[mm] f(a_{n}) [/mm] < 0, [mm] f(b_{n}) [/mm] > 0.
Aus der Stetigkeit von f folgt
f(a) = lim [mm] f(a_{n} [/mm] < 0,
f(a) = lim [mm] f(b_{n}) \ge [/mm] 0
woraus sich f(a) = 0 ergibt, wie behauptet.
// Ich bin mir hier nicht sicher, aber vielleicht auch deswegen nicht, weil ich den vorherigen Abschnitt nicht verstanden habe.
So besser. ;) Danke nochmal.
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> Nach dem Vollständigkeitssatz existiert daher
> a = lim [mm]a_{n}[/mm] ( n [mm]\to \infty)[/mm]
>
> // was sagt dieser Satz aus?
>
> Andererseits geht [mm]|a_{n}[/mm] − [mm]b_{n}| \le \bruch{|a − b|}{2^{n − 1}} \to[/mm]
> 0, also ist auch lim [mm]b_{n}[/mm] = a. Falls a nicht schon nach
> endlich vielen Schritten als eines der [mm]a_{k}[/mm] oder [mm]b_{k}[/mm]
> aufgetreten ist, gilt f+r alle n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> // Den obigen Abschnitt hab ich irgendwie nicht verstanden.
> Um ehrlich zu sein, ist mir der gesamte Ansatz nicht
> wirklich klar :(
Hallo,
den genauen Beweis kann man ja an vielen Stellen nachlesen, also 1:1 abschreiben, wenn man das mag - offenbar bist Du jedoch gewillt, zu verstehen, was Du tust.
Ich möchte Dir also die Vorgehensweise nochmal erläutern - obgleich eigentlich schon alles gesagt wurde.
Ich beziehe mich dabei nicht speziell auf das von Dir genannte Dokument.
Du hast eine stetige Funktion f mit (oBdA) f(a)<0 und f(b)>0 mit a<b.
Rein anschaulich-intuitiv ist klar, daß es zwischen a und b (mindestens) eine Stelle gibt, an welcher der Funktionswert =0 ist.
(Wenn ich am Sonntagmorgen ein rohes Ei in den Kochtopf tue und es sich dann beim Frühstück als hartgekocht entpuppt statt als wachsweich wie gewünscht, so kann ich immerhin sicher sein, daß es einen Zeitpunkt gab, zu welchem es aus meiner Sicht genau richtig war.)
In der mehrfach besprochenen Weise wird nun durch fortgesetzte Intervallhalbierung eine Intervallschachtelung konstruiert derart, daß das neue Intervall stets halb so lang ist wie das vorhergehende, und der Funktionswert am linken Intervallrand [mm] \le [/mm] 0 ist und der am rechten >0.
(Falls an einer Intervallmitte mal der Funktionswert =0 ist, können wir uns freuen und aufhören. Dann haben wir ja eine Nullstelle gefunden. Falls nicht, machen wir immer so weiter.)
Ich denke, anschaulich ist es doch wirklich klar, daß wir uns auf diese Weise einer Nullstelle der Funktion f nähern, also immer genauer sagen können, wo diese liegt, denn das Intervall wird ja immer kleiner.
Unsere Intuition reicht jedoch nicht. Ein Beweis muß her dafür, daß wir mit dem im Thread beschriebenen Verfahren wirklich eine Nullstelle der Funktion finden.
Es muß also bewiesen werden, daß der Algorithmus das tut, was wir von ihm erwarten.
Überlege Dir, daß [mm] a_k
Überlege Dir, daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] der linken Intervallränder eine monoton wachsende Folge ist, welche nach oben durch b beschränkt ist.
Überlege Dir, daß die Folge [mm] (b_n) [/mm] der rechten Intervallränder eine monoton fallende Folge ist, welche nach unten durch a beschränkt ist.
Was wissen wir über Folgen, die monoton und beschränkt sind?
Was wissen wir also über [mm] (a_n) [/mm] und über [mm] (b_n)?
[/mm]
(Ich sag's Dir: sie haben jeweils einen Grenzwert. Diesen wichtigen Satz muß man unbedingt kennen. Sonst kann man einpacken. )
Überlege Dir jetzt, daß der GW von [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] ein gemeinsamer Grenzwert [mm] \xi [/mm] ist.
Betrachte dazu den Grenzwert für [mm] k\to \infty [/mm] von [mm] b_k-a_k=\bruch{1}{k}(b-a).
[/mm]
Die Folgen sind extra so gemacht, daß für alle k gilt
[mm] f(a_k)\le [/mm] 0 < [mm] f(b_k).
[/mm]
Bilde hiervon nun den Grenzwert für [mm] k\to \infty.
[/mm]
Was bekommst Du?
Nun bedenke die Stetigkeit von f. Du erhältst was?
Jetzt ist man fertig.
Man hat gezeigt, daß [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] gegen einen gemeinsamen Grenzwert [mm] \xi [/mm] mit [mm] f(\xi)=0 [/mm] konvergieren.
Gruß v. Angela
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