Problem bei PZ < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich will diese Funktion hier vereinfachen, komme aber nicht auf die Werte ABCD nach der PZ.
Wir sollen nicht mit komplexen Zahlen rechnen!
[mm] \integral_{a}^{b}{x/(x^2+1)^2 dx}
[/mm]
Vielleicht andere Ideen als PZ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Di 09.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Tipp :
Substitution: u= [mm] x^2+1
[/mm]
FRED
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danke schon gemacht, musste mir nur vorher noch ne liste mit grundintegralen runterladen!
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habs glaube ich mit grundintegralen gelöst.
[mm] t=x^2+1 [/mm] dt/dx=2x
1/2 * [mm] \integral_{x^2+1}^{x^2+1}{1/t^2 dt}
[/mm]
das ergibt
1/2*(-1)*t^(-1)
in den oben besagten Grenzen??
Zudem war gefragt, ob das Integral von
[mm] \integral_{0}^{infty}{f(x) dx} [/mm] existiert.
habe dazu entklammert und mit dem majorantenkriterium gelöst
[mm] f(x)=x/(x^4+2x^2+1)
[/mm]
[mm] =1/(x^3+2x+1/x)
[/mm]
und dann eine funktion g(x) bestimmt, die auf jeden fall im besagten intervall größer ist
[mm] g(x)=1/x^3
[/mm]
da a=3 und somit >3 konvergiert das Integral
und [mm] \integral_{a}^{b}{ 1/x^3dx} [/mm] existiert.
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Hallo philipp-100,
> habs glaube ich mit grundintegralen gelöst.
>
> [mm]t=x^2+1[/mm] dt/dx=2x
>
> 1/2 * [mm]\integral_{x^2+1}^{x^2+1}{1/t^2 dt}[/mm]
>
> das ergibt
>
> 1/2*(-1)*t^(-1) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> in den oben besagten Grenzen??
Nein, die Grenzen sind falsch, es ist hier bei dir obere=untere Grenze, das Integral wäre also 0
alte untere Grenze: $x=a$, aus [mm] $t=x^2+1$ [/mm] folgt also [mm] $t=a^2+1$ [/mm] als neue untere Grenze ...
Du kannst aber auch [mm] $-\frac{1}{2t}$ [/mm] zuerst wieder resubstituieren, also schreiben als [mm] $-\frac{1}{2(x^2+1)}$ [/mm] und die alten Grenzen a und b nehmen
>
>
> Zudem war gefragt, ob das Integral von
>
> [mm]\integral_{0}^{infty}{f(x) dx}[/mm] existiert.
> habe dazu entklammert und mit dem majorantenkriterium
> gelöst
>
> [mm]f(x)=x/(x^4+2x^2+1)[/mm]
> [mm]=1/(x^3+2x+1/x)[/mm]
> und dann eine funktion g(x) bestimmt, die auf jeden fall
> im besagten intervall größer ist
>
> [mm]g(x)=1/x^3[/mm]
>
> da a=3 und somit >3 konvergiert das Integral
>
> und [mm]\integral_{a}^{b}{ 1/x^3dx}[/mm] existiert.
>
Das ist doch alles viel zu kompliziert, du hast doch eben schon eine Stammfunktion für $f(x)$ ausgerechnet, setze mal 0 als untere Grenze und $M$ als obere Grenze, berechne den Wert und lasse dann [mm] $M\to\infty$ [/mm] laufen.
Es ist ja hier ein uneigentliches Integral gesucht:
[mm] $\int\limits_{0}^{\infty}{f(x) \ dx}=\lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_{0}^M{f(x) \ dx}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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danke schachuzipus,
im teil a der aufgabe, sollte man es zuerst mit einem kriterium, ganz ohne Integration bestimmen.
deswegen wollte ich wissen, ob genau dieser lösungsweg richtig ist.
so, müssten die grenzen doch richtig sein, oder:
[mm] \integral_{a^2+1}^{b^2+1}{f(t) dt}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> danke schachuzipus,
> im teil a der aufgabe, sollte man es zuerst mit einem
> kriterium, ganz ohne Integration bestimmen.
> deswegen wollte ich wissen, ob genau dieser lösungsweg
> richtig ist.
Die Idee ist richtig, aber du musst aufpassen mit der Abschätzung durch die Funktion g, so wie ich das auf die Schnelle sehe, hast du mit $g(x)$ keine konvergente Majorante gefunden (zumindest nicht auf dem Intervall [mm] $(0,\infty)$
[/mm]
Deine Majorante [mm] $\frac{1}{x^3}$ [/mm] divergiert nämlich schon auf $(0,1)$
Vllt. zerlegst du das Integral besser mal in [mm] $\int\limits_{0}^{1}{f(x) \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int\limits_{1}^{\infty}{f(x) \ dx}$
[/mm]
Das erste Integral ist endlich (wieso?), für das zweite kannst du eine Abschätzung wie deine machen ...
[mm] $\frac{x}{(x^2+1)^2}\le\frac{x}{(x^2)^2}=\frac{1}{x^3}$
[/mm]
Nun musst du "nur" noch zeigen, dass [mm] $\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^3} \ dx}$ [/mm] endlich ist
>
> so, müssten die grenzen doch richtig sein, oder:
>
> [mm]\integral_{a^2+1}^{b^2+1}{f(t) dt}[/mm]
LG
schachuzipus
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