Problem beim Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Fr 17.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ähm, der Beweis des Monotoniekriteriums geht ja so:
Für [mm] a_{n} [/mm] monoton steigend.
Sei a [mm] ={sup{a_{n}, n \in \IN}}#
[/mm]
sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0
Dann ex. ein [mm] n_{0} [/mm] mit [mm] a_{n_{0}} [/mm] > a - [mm] \varepsilon
[/mm]
Für n [mm] \ge n_{0} [/mm] => a - [mm] \varepsilon \le a_{n_{0}} \le a_{n} \le [/mm] a
[mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] für n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
d.h. [mm] a_{n} \to [/mm] a
Falls mich jetzt jemand fragt, was ich da mache, sei gesagt, dass ich das aus einem meiner Bücher abgeschrieben habe (und genauso so stehts auch da drin)
Versteh das aber nicht. Kann mir jemand erklären, wie dieser Beweis funkioniert? Gut ist es, wenn man mir diese einzelnen Schritte (s.o.) mal erklären könnte. Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Fr 17.12.2010 | | Autor: | iks |
Hallo SolRakt!
> Für [mm]a_{n}[/mm] monoton steigend.
Oder Sei [mm] $(a_n)$ [/mm] eine monotone nach oben beschränkte reelle Folge.
Dann existiert auch das Supremum der Folge.
>
> Sei * nun * [mm]a={\sup a_{n}, n \in \IN}}#[/mm]
>
So ist:
[mm] $a_1\leq a_2\leq\ldots\leq a<\infty$.
[/mm]
> Sei [mm]0<\varepsilon\in\IR[/mm]
gegeben. Dann ist [mm] $a-\varepsilon$ [/mm] keine obere Schranke von [mm] $(a_n)$.
[/mm]
Es existiert also
>
> ein [mm]n_{0}\in\IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit $a-\varepsilon\leq a_{n_0}$
d.h. $a-a_{n_0}<\varepsilon}$. Sein nun $n\in\IN$ mit $n>n_0$. Auf Grund der Monotonie ist $a_{n_0}<a_n$ also
$a-a_n\leq a-a_{n_0}<\varepsilon$
Desweiteren ist wieder nach Voraussetzung $a_n<a (\forall n\in\IN)$. Woraus für $n>n_0$
$|a-a_n|=a-a_n<\varepsilon$
folgt.
> Für n [mm]\ge n_{0}[/mm] => a - [mm]\varepsilon \red{<} a_{n_{0}} \le a_{n} \le a[/mm]
>
(1) [mm] $a-\varepsilon
[mm] (2)$a-\varepsilon
(1) und (2) im Zusammenspiel heißt nach Definition des Betrages:
> [mm]|a_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm] für n [mm]\ge n_{0}[/mm]
>
> d.h. [mm]a_{n} \to[/mm] a
>
VG iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Fr 17.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Gut, danke vielmals. ich glaub, dass ich das verstanden habe, aber schaue mir das nochmal genauer an. Wenn ich noch Fragen habe, melde ich mich ;)
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