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Problem bzgl Aufgabenstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Do 02.05.2019
Autor: Juliane03

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion
$f : [mm] \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, [/mm] y) [mm] \mapsto \left\{\begin{array}{cc}{\frac{x^{2}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} & {f ü r(x, y) \neq(0,0)} \\ {0} & {f ü r(x, y)=(0,0)}\end{array}\right.$ [/mm]

(a) Untersuchen Sie f auf Stetigkeit.
(b) Ist f partiell differenzierbar nach x bzw. y? Bestimmen Sie ggf. die partiellen Ableitungen von f.
(c) Bestimmen Sie wo f auch differenzierbar ist und geben Sie für diese Punkte die Ableitung an.

Meine Frage dreht sich um die Aufgabe b und c, dort soll ich jeweils eine Ableitung angeben, dass Problem ist, dass ich nicht weiß wie man es gerne hätte.
Z.B hätte ich bei c dies hier angegeben

[mm] $f^{\prime} [/mm] : [mm] \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R},(x, [/mm] y) [mm] \rightarrow\left(\frac{y^{2} *\left(x^{2}+2 x-y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, \frac{2 x^{2}(x+1) y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right)$ [/mm]

Aber was will man dann bei b?



Kurze Anmerkung:

Mir ist bewusst, dass die Aufgabe noch mehr als die Ableitung verlangt, deshalb werde ich dies nun ganz kurz beantworten.

(a) f ist nicht im Punkt (0,0) stetig.
(b) f ist in x nicht partiell differenzierbar im Punkt (0,0), also nur auf [mm] R2\{(0,0)},y [/mm] ist auf ganz R2 partiell differenzierbar.

(c) Wegen (a) und den Fakt das f aus einer Zusammensetzung differenzierbarer Funktionen besteht, ist f auf [mm] R2\{(0,0)} [/mm] differenzierbar.


Ich würde mir wünschen, wenn mir Jemand sagen würde, was man von mir genau wissen will bzgl der Ableitungen, ich verstehe den Text nämlich  nicht so wirklich.

Lg
Jule


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

Dies kommt von mir persönlich:
https://www.mathelounge.de/627216/diese-aufgabe-differenzierbarkeit-losen-verstandnisproblem

Dies kommt von meinem Kommilitonen:
https://www.onlinemathe.de/forum/Wie-sollte-ich-diese-Aufgabe-loesen

        
Bezug
Problem bzgl Aufgabenstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Fr 03.05.2019
Autor: fred97


> Gegeben sei die Funktion
>  [mm]f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto \left\{\begin{array}{cc}{\frac{x^{2}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} & {f ü r(x, y) \neq(0,0)} \\ {0} & {f ü r(x, y)=(0,0)}\end{array}\right.[/mm]
>  
> (a) Untersuchen Sie f auf Stetigkeit.
> (b) Ist f partiell differenzierbar nach x bzw. y? Bestimmen
> Sie ggf. die partiellen Ableitungen von f.
> (c) Bestimmen Sie wo f auch differenzierbar ist und geben
> Sie für diese Punkte die Ableitung an.
>  Meine Frage dreht sich um die Aufgabe b und c, dort soll
> ich jeweils eine Ableitung angeben, dass Problem ist, dass
> ich nicht weiß wie man es gerne hätte.
>  Z.B hätte ich bei c dies hier angegeben
>  
> [mm]f^{\prime} : \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \rightarrow\left(\frac{y^{2} *\left(x^{2}+2 x-y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, \frac{2 x^{2}(x+1) y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right)[/mm]

Das ist richtig.


>  
> Aber was will man dann bei b?

Na ja, wie Du oben gezeigt hast ist f in jedem Punkt (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) partiell nach x und y differenzierbar. Die partiellen Ableitungen in solchen Punkten sind

[mm] f_x(x,y)=\frac{y^{2} *\left(x^{2}+2 x-y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} [/mm] und [mm] f_y(x,y)= \frac{2 x^{2}(x+1) y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} [/mm]

Weiter wird in b) verlangt, dass Du auch noch die Existenz der partiellen Ableitungen in (0,0) untersuchst und gegebenenfalls ihre Werte bestimmst.

Also:

ist f in (0,0) partiell nach x differenzierbar ? Wenn ja, so bestimme [mm] f_x(0,0), [/mm]

ist f in (0,0) partiell nach y differenzierbar ? Wenn ja, so bestimme [mm] f_y(0,0). [/mm]

Wenn Du das erledigt hast ist b) komplett.




>  
>
>
> Kurze Anmerkung:
>  
> Mir ist bewusst, dass die Aufgabe noch mehr als die
> Ableitung verlangt, deshalb werde ich dies nun ganz kurz
> beantworten.
>  
> (a) f ist nicht im Punkt (0,0) stetig.

Das stimmt zwar, aber wie begründest Du das ?


>  (b) f ist in x nicht partiell differenzierbar im Punkt
> (0,0),

Auch das stimmt, aber auch hier fehlt die Begründung.



> also nur auf [mm]R2\{(0,0)}, > y[/mm] ist auf ganz R2 partiell
> differenzierbar.


Das ist unverständlich ! Gehts hier um die Existenz von [mm] f_y(0,0) [/mm] ? f ist in (0,0) partiell nach y differenzierbar und [mm] f_y(0,0)=0. [/mm] Zeige dies !


>
> (c) Wegen (a) und den Fakt das f aus einer Zusammensetzung
> differenzierbarer Funktionen besteht, ist f auf [mm]R2\{(0,0)}[/mm]

Du meinst sicher [mm] R^2 \setminus \{(0,0)\} [/mm]

> differenzierbar.

Das ist richtig.

In c) wird weiter verlangt, dass Du f auf Differenzierbarkeit in (0,0) untersuchst. Das ist aber sehr einfach, denn f ist in (0,0) nicht stetig.


>  
>
> Ich würde mir wünschen, wenn mir Jemand sagen würde, was
> man von mir genau wissen will bzgl der Ableitungen, ich
> verstehe den Text nämlich  nicht so wirklich.
>  
> Lg
> Jule
>  
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> Dies kommt von mir persönlich:
>  
> https://www.mathelounge.de/627216/diese-aufgabe-differenzierbarkeit-losen-verstandnisproblem
>  
> Dies kommt von meinem Kommilitonen:
>  
> https://www.onlinemathe.de/forum/Wie-sollte-ich-diese-Aufgabe-loesen
>  

Vorsicht !  in diesem (mit Werbung vollgedrönten) Forum hat ein gewisser pwmeyer geschrieben

    [mm] f_x(0,0)=0. [/mm]

Das ist falsch ! Denn [mm] \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{1}{t}. [/mm] Für t [mm] \to [/mm] 0 ex. der zugeh. Grenzwert nicht !




Bezug
                
Bezug
Problem bzgl Aufgabenstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 Fr 03.05.2019
Autor: Juliane03

Hallo, danke für die Antwort, ich weiß leider nicht wie man hier zitiert, deshalb tue ich es mal etwas anders und gehe auf komplette Teile ein.

Ab dem Teil der kurzen Anmerkung, hast du geschrieben, dass dir meine Antworten nicht ausreichen, dass ist richtig. Allerdings sagte ich ja, dass ich dies hier nur kurz machen, die zugehörigen Beweise, siehe das letzte was du geschrieben hast, habe ich bereits erledig, es ging nur um die beiden Aufgaben. Und ja ich meine $R² [mm] \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] leider versagen ab und zu mal meine Latexkünste :)

Nun zu den Aufgaben:

(b)
Hier schreibe ich also nach dem Beweis für y und x die folgenden Ableitungen:

[mm] $f_{x}(x, y)=\frac{y^{2} \cdot\left(x^{2}+2 x-y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$ [/mm] und [mm] $f_{y}(x, y)=\frac{2 x^{2}(x+1) y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$ [/mm]

Nun weiß ich durch meinen Beweis, denn ich hier wegen der Länge nicht abtippen möchte, dass f für y auch im Punkt (0,0) partiell diffbar ist, aber für x ist f nicht im Punkt (0,0) partiell diffbar.

Nun soll ich, wie du geschrieben hast, wenn möglich [mm] $f_{x}(0,0)$ [/mm] und [mm] $f_{y}(0,0)$ [/mm] bestimmen.

[mm] $f_{x}(0,0)$ [/mm] ist ja nicht möglich, da f in x im Punkt (0,0) nicht partiell diffbar ist.

Für y würde allerdings folgen [mm] $f_{y}(0,0) [/mm] = 0$ ??


Die Aufgabe c würde dann ja stimmen, dort habe ich die Ableitung für $R² [mm] \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] bestimmt. Da wir aus a)  (hier habe ich den Beweis nicht extra gepostet, da es viel ist) und den Fakt, dass f aus diffbaren Funktionen besteht in $R² [mm] \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] diffbar.


lg Jule


Bezug
                        
Bezug
Problem bzgl Aufgabenstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Fr 03.05.2019
Autor: fred97


> Hallo, danke für die Antwort, ich weiß leider nicht wie
> man hier zitiert, deshalb tue ich es mal etwas anders und
> gehe auf komplette Teile ein.
>  
> Ab dem Teil der kurzen Anmerkung, hast du geschrieben, dass
> dir meine Antworten nicht ausreichen, dass ist richtig.
> Allerdings sagte ich ja, dass ich dies hier nur kurz
> machen, die zugehörigen Beweise, siehe das letzte was du
> geschrieben hast, habe ich bereits erledig, es ging nur um
> die beiden Aufgaben. Und ja ich meine [mm]R² \setminus \{(0,0)\}[/mm]
> leider versagen ab und zu mal meine Latexkünste :)
>  
> Nun zu den Aufgaben:
>  
> (b)
>  Hier schreibe ich also nach dem Beweis für y und x die
> folgenden Ableitungen:
>  
> [mm]f_{x}(x, y)=\frac{y^{2} \cdot\left(x^{2}+2 x-y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}[/mm]
> und [mm]f_{y}(x, y)=\frac{2 x^{2}(x+1) y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}[/mm]

O.K.


>  
> Nun weiß ich durch meinen Beweis, denn ich hier wegen der
> Länge nicht abtippen möchte,

Das musst Du wissen. Lang sind die Beweise nicht. Wenn Du nicht möchtest, dass ich oder jemand sonst Deine Beweise kontrolliert, so ist das Deine Sache.


>  dass f für y auch im Punkt
> (0,0) partiell diffbar ist, aber für x ist f nicht im
> Punkt (0,0) partiell diffbar.
>  
> Nun soll ich, wie du geschrieben hast, wenn möglich
> [mm]f_{x}(0,0)[/mm] und [mm]f_{y}(0,0)[/mm] bestimmen.
>  
> [mm]f_{x}(0,0)[/mm] ist ja nicht möglich, da f in x im Punkt (0,0)
> nicht partiell diffbar ist.

So ist es.


>  
> Für y würde allerdings folgen [mm]f_{y}(0,0) = 0[/mm] ??

Ja, so ist es.


>  
>
> Die Aufgabe c würde dann ja stimmen, dort habe ich die
> Ableitung für [mm]R² \setminus \{(0,0)\}[/mm] bestimmt. Da wir aus
> a)  (hier habe ich den Beweis nicht extra gepostet, da es
> viel ist)

Die Unstetigkeit von f in (0,0) zu zeigen , ist nicht viel ! Das geht ganz kurz. Ich würde gerne Deinen Beweis sehen, vielleicht ist er umständlich und lang oder sogar falsch. Dann könnte ich Dir eine kurzen (und richtigen) Beweis zeigen. Aber das ist wie gesagt Deine Sache.




und den Fakt, dass f aus diffbaren Funktionen

> besteht in [mm]R² \setminus \{(0,0)\}[/mm] diffbar.
>  
>
> lg Jule
>  


Bezug
                                
Bezug
Problem bzgl Aufgabenstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:56 Fr 03.05.2019
Autor: Juliane03

Gut dann ist b und c nun komplett:)


Hier der Beweis zu a)

Die Funktion f ist im Punkt (0,0) nicht stetig, denn für die Folge [mm] $\vek{x}_n [/mm] := [mm] (\frac{1}{n},0)$ [/mm] mit [mm] $\vek{x}_n \to \vek{0}$ [/mm] gilt:

[mm] f(\vek{x}_n) [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{n²}-0}{\frac{1}{n²}+0} [/mm] = 1 [mm] \neq [/mm] 0. Somit ist f nicht im Punkt (0,0) stetig.



Nun noch zum Fakt das f aus diffbaren Funktionen besteht.

x²,und x*y² sind diffbar, deswegen ist auch der Quotient sowie die Summe diffbar. Dies ist ein Satz aus der Vorlesung. Wichtig ist ja hier nur der Punkt (0,0) denn der Nenner macht dort ja Probleme.


Bezug
                                        
Bezug
Problem bzgl Aufgabenstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 Fr 03.05.2019
Autor: fred97


> Gut dann ist b und c nun komplett:)
>  
>
> Hier der Beweis zu a)
>  
> Die Funktion f ist im Punkt (0,0) nicht stetig, denn für
> die Folge [mm]\vek{x}_n := (\frac{1}{n},0)[/mm] mit [mm]\vek{x}_n \to \vek{0}[/mm]
> gilt:
>  
> [mm]f(\vek{x}_n)[/mm] = [mm]\frac{\frac{1}{n²}-0}{\frac{1}{n²}+0}[/mm] = 1
> [mm]\neq[/mm] 0. Somit ist f nicht im Punkt (0,0) stetig.

Ja, prima ! Und was war nun daran "lang" ?


>  
>
>
> Nun noch zum Fakt das f aus diffbaren Funktionen besteht.
>  
> x²,und x*y² sind diffbar, deswegen ist auch der Quotient
> sowie die Summe diffbar. Dies ist ein Satz aus der
> Vorlesung.

O.K.



>  Wichtig ist ja hier nur der Punkt (0,0) denn der
> Nenner macht dort ja Probleme.

Was willst Du damit sagen ?

f ist in (0,0) nicht differenzierbar, weil f in (0,0) nicht stetig ist, fertig.

Weitere Begründung:  f ist in (0,0) nicht differenzierbar, weil f in (0,0) nicht nach x partiell differenzierbar ist.


>    


Bezug
                                                
Bezug
Problem bzgl Aufgabenstellung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 Fr 03.05.2019
Autor: Juliane03

Danke und noch einen schöne Tag

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